培优课 二项式定理的综合应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦二项式定理的综合应用，涵盖多项式乘积特定项、三项展开式、整除与余数等核心题型，通过典型例题（含高考题、竞赛题）导入，以通性通法为支架，衔接基础定理与复杂问题，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于题型覆盖全面，结合数学思维（如推理能力）和数学眼光（如星期几实际问题），通过通性通法归纳（如三项展开式三种方法）培养学生解决综合问题的能力，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

培优课　 二项式定理的综合应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求两个多项式乘积的特定项问题 【例1】　（1）（x2＋1）（2x－ ）6的展开式中常数项为 ⁠ ⁠； 解析： （2x－ ）6展开式的通项为Tk＋1＝ ·（2x）6－k （－x－1）k＝（－1）k·26－k x6－2k，令6－2k＝0，则k＝3， 令6－2k＝－2，则k＝4，所以常数项为－23 ＋22 ＝－160 ＋60＝－100. － 100　 目录 数学·必修第一册 （2）（2022·新高考Ⅰ卷13题） （x＋y）8的展开式中x2y6的系 数为 （用数字作答）. 解析： （x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝ x8－ryr，r＝0， 1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝ x2y6，令r＝5，得T5＋1＝ x3y5，所以 （x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 － ＝－28. －28　 目录 数学·必修第一册 通性通法 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点； （2）找到构成展开式中特定项的组成部分； （3）分别求解再相乘，求和即得. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 若（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32，则（x＋2y）（x －y）n的展开式中x2y4的系数为 ⁠. 解析：由（2x－ ）n的展开式中二项式系数之和为32得，2n＝ 32，故n＝5，（x－y）n的展开式通项为（－1）k x5－kyk，故 x2y4的项为（－1 ＋（－1 2 ， k1＝4，k2＝3，即（－1）4 x2y4＋（－1）32 x2y4＝－15x2y4. －15　 目录 数学·必修第一册 2. 已知（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－240，则a ＝ ⁠. 解析：（x＋ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ x6－k（ ）k＝ 2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝ （舍去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋ ）6的展开 式中x2的系数为－a 22＝－240，解得a＝4. 4　 目录 数学·必修第一册 题型二 三项展开式问题 【例2】　（2024·青岛月考）（1＋x＋x2）5展开式中所有项的系数和 是 ，含x3的项的系数是 ⁠. 解析：令x＝1，则所有项的系数和是（1＋1＋12）5＝243； 243　 30　 目录 数学·必修第一册 法一　因为（1＋x＋x2）5的通项为 （1＋x）5－rx2r（r＝0，1， 2，3，4，5），所以当r＝0时，需求（1＋x）5展开式中的x3项为 x3；当r＝1时，需求（1＋x）4展开式中的x项为 x；所以含x3的项 的系数是 ＋ ＝20＋10＝30. 法二　（1＋x＋x2）5是5个式子（1＋x＋x2）连乘，欲求含x3＝ x·x·x＝x2·x的项的系数，只需在5个式子（1＋x＋x2）中选三个括号 提供x，两个括号提供1；或者一个括号提供x，一个括号提供x2，三 个括号提供1即可，所以含x3的项的系数是 ＋ ＝10＋20 ＝30. 目录 数学·必修第一册 通性通法 解决三项展开式问题的方法 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. （x＋2＋ ）3展开式中的常数项为（　　） A. 6 B. 15 C. 20 D. 28 解析： 　因为（x＋2＋ ）3＝［ ］3＝ ，所以 展开式中的常数项即分子（x＋1）6展开式中x3的系数，即 ＝ 20.故选C. 目录 数学·必修第一册 2. （x－2y＋z）8的展开式共有 项，其中含x3y3z2的项的系数 是 .（用数字作答） 解析：因为（x－2y＋z）8＝[（x－2y）＋z]8＝ （x－2y）8 ＋ （x－2y）7z＋…＋ （x－2y）z7＋ z8，由二项式定理 可知，（x＋y）n展开式中共有n＋1项，所以（x－2y＋z）8的展 开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项.（x－2y＋z）8是8个（x－2y＋ z）连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个（x－2y＋z）式子中 选定三个（x－2y＋z）内提供x，在剩下的5个（x－2y＋z）中 选定三个（x－2y＋z）内提供y，剩下的最后两个（x－2y＋z） 提供z，则x3y3z2的系数是 · （－2）3· ＝－4 480. 45　 －4 480　 目录 数学·必修第一册 题型三 有关整除或求余数问题 【例3】　（1）今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期 （　　） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 解析： 　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为 810＝（7＋1）10＝710＋ ×79＋…＋ ×7＋1＝7M＋1 （M∈N*），所以第810天相当于第1天，故为星期一. 目录 数学·必修第一册 证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1 ＝（1010＋ ×109＋…＋ ×10＋1）－1 ＝1010＋ ×109＋ ×108＋…＋102 ＝100（108＋ ×107＋ ×106＋…＋1）. 故1110－1能被100整除. （2）用二项式定理证明1110－1能被100整除. 目录 数学·必修第一册 通性通法 整除性问题或求余数问题的处理方法 （1）解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式； （2）用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数 （或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项 式定理展开，只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，则实数a的值为 ⁠. 解析：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋ 119×（－ 1）＋…＋ （－1）10]＋a＝3（1110－ 119＋…－ ×11）＋ 3×1＋a.因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除.又因为 0≤a＜11，所以a＝8. 8　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　） A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 解析： 　因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝ xk，所以x （1＋x）6的展开式中含x3的项为 x3＝15x3，所以含x3项的系数 为15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 2. （x3－2x2＋x）3的展开式中x6的系数为（　　） A. －1 B. 1 C. －20 D. 20 解析： 　（x3－2x2＋x）3＝x3（x－1）6，因此所求x6的系数即 为（x－1）6的展开式中x3的系数，由二项式定理知系数为 （－ 1）3＝－20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 3.9192被100除所得的余数为（　　） A. 1 B. 81 C. －81 D. 992 解析： 　9192＝（90＋1）92＝ ×9092＋ ×9091＋…＋ ×902＋ ×90＋ .前91项均能被100整除，剩下两项为92×90 ＋1＝8 281，显然8 281除以100所得的余数为81.故9192被100除所得 的余数为81. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 4. 在（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数是首 项为－2，公差为3的等差数列的（　　） A. 第11项 B. 第13项 C. 第18项 D. 第20项 解析： 　（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的 系数为 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝55，以－2为首项，3为公 差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3（n－1）＝3n－5，令an ＝55，即3n－5＝55，解得n＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 5. （ ＋x）（1－ ）4的展开式中x的系数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 12 解析： 　根据题意，所给式子的展开式中含x的项，由（1－ ）4展开式中的常数项乘（ ＋x）中的x以及（1－ ）4展开 式中的含x2的项乘（ ＋x）中的 两部分合并而成，所以所求系数 为1＋1×2＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 6. （多选）对于二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*），以下判 断正确的有（　　） A. 存在n∈N*，使展开式中有常数项 B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C. 对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D. 存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： 　（ ＋ ）n的展开式的通项为Tr＋1＝ ·3r· ， r＝0，1，2，…，n，（ ＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝ ·x4k －n，k＝0，1，2，…，n.则二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*）的展开式的通项为 ·3r· · ·x4k－n，未知数x的次数为 ＋4k－n＝－ － ＋4k，令－ － ＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×3× ＝75，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；令－ － ＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×30×x3× ×x－2＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 7. （ ＋ ＋ ）5（x＞0）的展开式中的常数项为 　 　. 解析：（ ＋ ＋ ）5（x＞0）可化为（ ＋ ）10，因而Tr＋1 ＝ ·（ ）10－r·（ ）10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开 式中的常数项为 ·（ ）5＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 8. 设（1＋x＋x2）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4 ＋…＋a2n＝ ⁠. 解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n①.令x＝－ 1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n②.①＋②得3n＋1＝2（a0 ＋a2＋…＋a2n），∴a0＋a2＋…＋a2n＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 9. 若（x2－a）（x＋ ）10的展开式中x6的系数为30，则a＝ ⁠. 解析：（x＋ ）10的展开式的通项为Tr＋1＝ x10－r（ ）r＝ x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为 ；令10－2r ＝6，解得r＝2，所以x6的系数为 ，所以（x2－a）（x＋ ）10 的展开式中x6的系数为 －a ＝30，解得a＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 10. 设 的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝ ⁠. 解析：由5＞ ＞ ＝4，得 的整数部分为4，则 ＝x＋4，所以（x＋4）4＝258，即 x4＋4 x3＋16 x2 ＋64 x＋256 ＝x4＋16x3＋96x2＋256x＋256＝258，故x4＋ 16x3＋96x2＋256x＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 11. 求证：32n＋2－8n－9（n∈N*）能被64整除. 证明：32n＋2－8n－9 ＝（8＋1）n＋1－8n－9 ＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82＋ 8＋ －8n－9 ＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82＋8（n＋1）＋1－8n－9 ＝ 8n＋1＋ 8n＋…＋ 82. 上式中的每一项都含有82，故原式能被64整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 12. 已知（ax2＋ ）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项 系数和为－1. （1）求n和a的值； 解： 由条件可得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （2）求（2x－1）（ax2＋ ）n的展开式中的常数项. 解： （2x－1）（ax2＋ ）n＝（2x－1）（－2x2＋x －1）7. ∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝ （－2x2）7－k （x－1）k＝ （－2）7－kx14－3k. ∴当14－3k＝－1，即k＝5时，2x· （－2）2x－1＝168； 当14－3k＝0，即k＝ 时，舍去. ∴所求的常数项为168. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 13. 当n∈N，且n＞1时，求证：2＜（1＋ ）n＜3. 证明：（1＋ ）n＝ ＋ × ＋ （ ）2＋…＋ （ ）n＝ 1＋1＋ × ＋ × ＋…＋ × ＝2＋ × ＋…＋ × ＜2＋ ＋…＋ ＜2＋ ＋ ＋…＋ ＝2＋ ＝3－（ ）n－1＜3. 显然（1＋ ）n＝1＋1＋ × ＋ × ＋…＋ × ＞2. 所以2＜（1＋ ）n＜3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 $