6.3.1 二项式定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦二项式定理，通过观察(a+b)^1至(a+b)^4展开式的系数规律，引导学生关联组合数提出猜想，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接多项式运算与计数原理，夯实基础知识。 其亮点在于以题型为载体，通过正用逆用、特定项求解等例题，结合通性通法总结，培养逻辑推理与数学运算素养。自我诊断、跟踪训练等环节层层递进，助力学生掌握方法，教师可直接用于课堂互动，提升教学效率。

6.3.1　二项式定理 新课程标准解读 核心素养 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　观察以下各式： （a＋b）1＝a＋b， （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2， （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， … 目录 数学·必修第一册 【问题】　（1）它们的系数之间有何规律？ （2）各项系数与我们学过的组合数有何联系？ （3）那么（a＋b）n的展开式又是什么？ 目录 数学·必修第一册 知识点　二项式定理 二项式定理 （a＋b）n＝ ⁠ （n∈N*） 二项展开式 右边的多项式 二项式系数 各项的系数 ⁠ 二项展开 式的通项 ＝ ⁠ an＋ b1 bk＋…＋ bn　 （k＝0，1，2，…，n）　 bk　 目录 数学·必修第一册 提醒　二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项；②各项中a，b的 次数和都等于二项式的幂指数n；③字母a按降幂排列，次数由n递减 到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 目录 数学·必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响. （　×　） （2） an－rbr是（a＋b）n展开式中的第r项. （　×　） （3）（a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相 同. （　√　） × × √ 目录 数学·必修第一册 2. （2x－3）4的展开式中的第3项为（　　） A. －216 B. －216x C. 216 D. 216x2 解析： T3＝ （2x）2（－3）2＝216x2. 3. 在（1－2x）6的展开式中，x2的系数为 （用数字作答）. 解析：（1－2x）6的展开式的通项Tk＋1＝ （－2）kxk，当k＝2 时，T3＝ （－2）2x2＝60x2，所以x2的系数为60. 60　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 二项式定理的正用、逆用 【例1】　（1）求 的展开式； 解： 法一　 ＝ （3 ）4＋ （3 ）3· ＋ （3 ）2 ＋ （3 ）· ＋ ＝81x2＋ 108x＋54＋ ＋ . 目录 数学·必修第一册 法二　 ＝ ＝ （1＋3x）4＝ ·[1＋ ·3x＋ （3x）2＋ （3x）3＋ （3x）4]＝ （1＋12x＋54x2＋108x3＋ 81x4）＝ ＋ ＋54＋108x＋81x2. 目录 数学·必修第一册 （2）化简： （x＋1）n－ （x＋1）n－1＋ （x＋1）n－2－… ＋（－1）k （x＋1）n－k＋…＋（－1）n . 解：原式＝ （x＋1）n＋ （x＋1）n－1（－1）＋ （x＋1）n－2（－1）2＋…＋ （x＋1）n－k（－1）k＋…＋ （－1）n＝[（x＋1）＋（－1）]n＝xn. 目录 数学·必修第一册 通性通法 运用二项式定理解题的策略 （1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开， 展开时要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个 字母是升幂.形如（a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情 况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开； （2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求 解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的 系数. 提醒　逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是（a －b）n的形式. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知 3n＋ 3n－1＋ 3n－2＋…＋ 3＋ ＝1 024，则n ＝ ⁠. 解析： 3n＋ 3n－1＋…＋ 3＋ ＝ 3n·10＋ 3n－1·11 ＋…＋ 31·1n－1＋ 30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即 22n＝210，解得n＝5. 5　 目录 数学·必修第一册 2. 化简：（x＋ ）4－（x－ ）4. 解：原式＝ x4＋ x3· ＋ x2·（ ）2＋ x（ ）3＋ （ ） 4－［ x4－ x3· ＋ x2·（ ）2－ x·（ ）3＋ （ ）4］＝ 2［ x3· ＋ x·（ ）3］＝8x2＋ . 目录 数学·必修第一册 题型二 求二项展开式中的特定项 【例2】　在二项式（x－ ）12的展开式中，求：（1）第4项； 解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝ x12－r·（－ ）r＝（－1） r . （1）令r＝3，则T4＝（－1）3 ＝－220x8. 目录 数学·必修第一册 解：令12－ r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9 ＝－220. 解：若求展开式中的有理项，则12－ r为整数，即r＝0，3，6， 9，12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－ x8＝－220x8，T7＝ x4 ＝924x4，T10＝－ ＝－220，T13＝x－4. （2）常数项； （3）有理项. 目录 数学·必修第一册 通性通法 求二项展开式特定项的步骤 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 二项式（2x2－ ）6的展开式的中间项是 　－ x3　. 解析：二项式展开式的通项为Tk＋1＝ （2x2）6－k·（－ ）k＝ （－ ）k26－k x12－3k，二项展开式一共有7项，所以第4项为中间 项，即k＝3，T4＝（－ ）326－3 x12－3×3＝－ x3. － x3　 目录 数学·必修第一册 2. 若（x－ ）6展开式的常数项为60，则常数a的值为 ⁠. 解析：（x－ ）6的展开式的通项是Tr＋1＝ x6－r·（－ ）rx－ 2r＝ x6－3r（－ ）r，令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，Tr ＋1为常数项，即常数项是 a，根据已知得 a＝60，解得a＝4. 4　 目录 数学·必修第一册 题型三 二项式系数与项的系数问题 【例3】　已知（ － ）n的二项展开式中，第4项的二项式系数与 第3项的二项式系数的比为8∶3. （1）求n的值； 解： ∵第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为 8∶3， ∴ ∶ ＝8∶3，∴ ＝ ，∴n＝10. 目录 数学·必修第一册 （2）求展开式中x3项的系数及含x3项的二项式系数. 解： （ － ）n＝（ － ）10，其通项公式为Tk＋1 ＝（－2）k x5－k， 令5－k＝3，可得k＝2， ∴展开式中x3项的系数为（－2）2× ＝180. 展开式中含x3项的二项式系数为 ＝45. 目录 数学·必修第一册 通性通法 1. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数 及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数 均有关. 2. 求二项式系数可直接代入求解 .求二项展开式某项的系数可以分 为两步完成：（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确 定指数，求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整 数，r为非负整数，n≥r）；（2）根据所求的指数，求所求解的 项或项的系数. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 若（1－2x）n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为 （　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析： 　（1－2x）n的展开式的通项为Tk＋1＝ 1n－k·（－2x） k＝（－2）k xk，又展开式中x3的系数为－160，则（－2）3 ＝ －160，则 ＝20，解得n＝6. 目录 数学·必修第一册 2. 已知（ － ）n的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大 18，则n的值为 ⁠. 解析：因为（ － ）n的二项展开式为Tr＋1＝ （ ）n－r （－ ）r，所以它的第二项的系数为T2＝ （－2），该二项式的 展开式中第二项的二项式系数为 ，由（ － ）n的展开式中 第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以 － （－2）＝ 18⇒n＝6. 6　 目录 数学·必修第一册 1. 在（x－ ）10的展开式中，含x6的项的系数是（　　） A. －27 B. 27 C. －9 D. 9 解析： 　含x6的项是T5＝ x6（－ ）4＝9 x6. 目录 数学·必修第一册 2. 在 的展开式中常数项是（　　） A. －28 B. －7 C. 7 D. 28 解析： 　Tr＋1＝ · · ＝（－1） r· · · ，当8－ r＝0，即r＝6，则T7＝（－1） 6· · ＝7. 目录 数学·必修第一册 3. 代数式（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1可化 简为 ⁠. 解析：（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1＝ （x＋1）4＋ （x＋1）3（－1）1＋ （x＋1）2（－1）2＋ （x＋1）·（－1）3＋ （－1）4＝[（x＋1）－1]4＝x4. x4　 目录 数学·必修第一册 4. 在（x－ ）8的展开式中. （1）求第3项； 解： （x－ ）8＝（x－2x－2）8， 所以第3项为T3＝ x8－2（－2x－2）2＝（－2）2 x6x－4＝ 4 x2＝112x2. 目录 数学·必修第一册 解： Tr＋1＝ x8－r（－2x－2）r＝（－1）r2r x8－3r， 令8－3r＝－1，解得r＝3， 所以T4＝（－1）323 x－1＝－ . 所以含 项的系数为－448. （2）求含 项的系数. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. （x＋ ）9的展开式中的第4项是（　　） A. 56x3 B. 84x3 C. 56x4 D. 84x4 解析： 　由展开式的通项知T4＝ x6（ ）3＝84x3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 目录 数学·必修第一册 2. （x－ y）10的展开式中x6y4的系数是（　　） A. －840 B. 840 C. 210 D. －210 解析： 　在通项公式Tk＋1＝ （－ y）kx10－k中，令k＝4， 得x6y4的系数为 （－ ）4＝840. 目录 数学·必修第一册 3. 若实数a＝2－ ，则a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（　　） A. 32 B. －32 C. 1 024 D. 512 解析： 　a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（a－2）10，当a＝2 － 时，（a－2）10＝32. 目录 数学·必修第一册 4. 若二项式（2x＋ ）7的展开式中 的系数是84，则实数a＝ （　　） A. 2 B. 5 C. 1 D. 解析： 　二项式（2x＋ ）7的展开式即（ ＋2x）7的展开 式，通项公式为Tr＋1＝ （ ）7－r（2x）r＝ 2ra7－rx－7＋2r， 令－7＋2r＝－3，解得r＝2，代入得 ×22a5＝84，解得a＝ 1，故选C. 目录 数学·必修第一册 5. 使 （n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为 （　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析： 　Tr＋1＝ （3x）n－r ＝ 3n－r ，当Tr＋1是 常数项时，n－ r＝0，当r＝2，n＝5时成立. 目录 数学·必修第一册 6. （多选）对于（2x－ ）6的展开式，下列说法正确的是（　　） A. 展开式共有6项 B. 展开式中的常数项是240 C. 展开式中x－3的系数为－160 D. 展开式中x－6的系数为60 目录 数学·必修第一册 解析： 　因为n＝6，故（2x－ ）6的展开式共有7项，故选 项A错误；（2x－ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ （2x）6－ k（－1）k·（x－2）k＝（－1）k 26－kx6－3k，当k＝2时，展开式 的常数项为（－1）2·24· ＝240，故选项B正确；令6－3k＝－ 3，得k＝3，展开式中x－3的系数为（－1）3 23＝－160，故选项 C正确；令6－3k＝－6，得k＝4，展开式中x－6的系数为（－1） 4 22＝60，故选项D正确. 目录 数学·必修第一册 7. 在（x2－ ）9的展开式中，第6项的二项式系数为 ，第3项 的系数为 ⁠. 解析：由二项式定理及展开式的通项可得，第6项的二项式系数为 ＝126.由题意可知，T3＝ ·（x2）7·（－ ）2＝9x12，故第3 项的系数为9. 126　 9　 目录 数学·必修第一册 8. 在（1－x）5－（1－x）6的展开式中，含x3项的系数为 ⁠. 解析：（1－x）5中x3的系数为－ ＝－10，－（1－x）6中x3的 系数为－ ·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展开式中 x3的系数为10. 10　 目录 数学·必修第一册 9. 设（x－ ）6（a＞0）的展开式中含x3项的系数为A，常数项为 B. 若B＝4A，则a＝ ⁠. 解析：（x－ ）6（a＞0）的展开式的通项Tk＋1＝ x6－k（－ ）k＝（－a）k .令6－ ＝3，得k＝2，∴A＝a2 ＝ 15a2；令6－ ＝0，得k＝4，∴B＝a4 ＝15a4.∵B＝4A， ∴15a4＝4×15a2，又a＞0，∴a＝2. 2　 目录 数学·必修第一册 10. 在二项式（ － ）n的展开式中，前3项系数的绝对值成等差 数列. （1）求展开式的第4项； （1）展开式的第4项为：T4＝（－ ）3 ＝－7 . 解：Tr＋1＝ （ ）n－r（－ ）r＝（－ ）r ， 由前三项系数的绝对值成等差数列，得 ＋（－ ）2 ＝ 2× ， 解这个方程得n＝8或n＝1（舍去）. （2）求展开式的常数项. 解：当 － r＝0，即r＝4时，常数项为（－ ）4 ＝ . 目录 数学·必修第一册 11. （a－ ）6的展开式中 （即分子a的指数和分母b的指数相 同）项的系数为（　　） A. －15 B. 15 C. －20 D. 20 解析： 　通项公式Tr＋1＝ a6－r（－1）r ，由 可得 ＝6 －r，故r＝4，所以系数为（－1）4 ＝15.故选B. 目录 数学·必修第一册 12. （多选）对于二项式 （n∈N*），以下判断正确的有 （　　） A. 存在n∈N*，展开式中有常数项 B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C. 对任意n∈N*，展开式中没有含x的项 D. 存在n∈N*，展开式中有含x的项 目录 数学·必修第一册 解析： 　设二项式 （n∈N*）展开式的通项为Tk＋ 1，则Tk＋1＝ （x3）k＝ x4k－n，不妨令n＝4，则当k ＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k ＝1时，展开式中有含x的项，故C错误，D正确. 目录 数学·必修第一册 13. （ x＋ ）100的展开式中，系数为有理数的共有 项. 解析：（ x＋ ）100的展开式的通项Tk＋1＝ x100－ k· · .若Tk＋1的系数为有理数，则 ， 均为整数，即k 为6的整数倍.由0≤k≤100，k∈N，知k的可能取值为0，6， 12，…，96，共17个，即系数为有理数的共有17项. 17　 目录 数学·必修第一册 14. 已知在（ － ）10的展开式中满足a＞0，且常数项为 . （1）求a的值； 解： 展开式的通项为Tk＋1＝（－1）k（ ）10－ k ， 令20－ k＝0，解得k＝8， 即k＝8时，常数项为T9＝（－1）8（ ）2 ＝ ， 解得a＝1. 目录 数学·必修第一册 （2）从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项 也有无理项，求共有多少种不同的取法. 解： 令20－ k＝m，m∈Z，又0≤k≤10，k∈N， 解得k＝0，2，4，6，8，10， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项， 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有 理项也有无理项的取法共有 ＋ ＝135种. 目录 数学·必修第一册 15. 若对∀x∈R，（ax＋b）5＝（x＋2）5－5（x＋2）4＋10（x＋ 2）3－10（x＋2）2＋5（x＋2）－1恒成立，其中a，b∈R，则a ＋b＝（　　） A. －1 B. 0 C. 2 D. 3 解析： 　由（x＋2）5－5（x＋2）4＋10（x＋2）3－10（x＋ 2）2＋5（x＋2）－1＝（x＋2－1）5＝（x＋1）5，得（ax＋b） 5＝（x＋1）5，所以a＝b＝1，a＋b＝2.故选C. 目录 数学·必修第一册 16. 已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列. （1）求：a1 －a2 ＋a3 ，a1 －a2 ＋a3 －a4 ； 解： a1 －a2 ＋a3 ＝a1－2a1q＋a1q2＝a1（1－ q）2， a1 －a2 ＋a3 －a4 ＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1 （1－q）3. 目录 数学·必修第一册 （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加 以证明. 解： 归纳概括的结论为： 若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则 a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1· ＝a1（1－q）n，n为正整数. 证明：a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1· ＝a1 －a1q ＋a1q2 －a1q3 ＋…＋（－1）na1qn ＝a1[－q ＋q2 －q3 ＋…＋（－1）nqn ]＝a1 （1－q）n. 目录 数学·必修第一册 $