10.1.3 第1课时 古典概型的定义及概率计算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦古典概型的定义及概率计算，以唐明皇掷骰子的历史故事导入，引出概率问题，衔接随机事件与样本空间知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 该资料通过历史情境激发兴趣，运用列举法、树状图、列表、图示等多种方法解析古典概型，强化数学抽象与数学运算核心素养。例如用树状图分析传球问题，列表法解决骰子点数之和，帮助学生直观理解。丰富例题与分层练习，提升学生解题能力，为教师提供多样化教学资源。

10.1.3　古典概型 新课程标准解读 核心素养 1.结合具体实例，理解古典概型 数学抽象 2.能计算古典概型中简单随机事件的概率 数学运算 第1课时　古典概型的定义及概率计算 　　据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜.于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”.骰子停定，正好重四.唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的.因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色. 【问题】　你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？ 　　 　　 　　 知识点　古典概型 1.事件的概率 对随机事件发生可能性大小的　度量（数值）　称为事件的概率，事件A的概率用　P（A）　表示. 2.古典概型的定义 试验E具有如下共同特征： （1）有限性：样本空间的样本点只有　有限　个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性　相等　. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 3.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝　　＝　　.其中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 提醒　若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验还不能判断是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等. 【想一想】 掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率.这个概率模型是古典概型吗？ 提示：不是.因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等. 1.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有15种取法，其中取到白球的有6种取法，所以取到白球的概率为＝.故选A. 2.（多选）下列试验中是古典概型的为（　　） A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等 B.同时掷两颗骰子，点数和为6的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.10人随机站成一排，其中甲、乙相邻的概率 解析：ABD　由古典概型的定义和特点知：A、B、D是古典概型，C不是古典概型，因为不符合等可能性.故选A、B、D. 3.从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是. 解析：从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数的所有样本点为（2，4），（2，5），（2，7），（4，5），（4，7），（5，7），共6个，所取2个数之和为9的样本点为（2，7），（4，5），共2个，故所求概率P＝＝. 题型一 古典概型的判断 【例1】　（多选）下列试验是古典概型的是（　　） A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率 B.口袋里有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球，从中任取一球为白球的概率 C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率 D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率 解析：BD　对于A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；对于B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；对于C：向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；对于D：老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.故选B、D. 通性通法 判断一个试验是不是古典概型的步骤 （1）明确试验及其结果； （2）判断所有结果（即样本点）是否有限； （3）判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言. 【跟踪训练】 下列概率模型中属于古典概型的是（　　） A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C.某小组有男生6人，女生4人，从中任选1人当组长 D.一只使用中的灯泡寿命长短 解析：C　对于A，不属于古典概型，因为所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；对于B，不属于古典概型，因为命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性；对于C，属于古典概型，该事件显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；对于D，不属于古典概型，因为灯泡的寿命是任意一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.故选C. 题型二 古典概型的概率计算 角度1　列举法求古典概型的概率 【例2】　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求： （1）样本空间的样本点的总数n； 解：由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型. 将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球， 样本空间Ω＝{（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑1，白），（黑2，黑3），（黑2，白），（黑3，白）}，共6个样本点，所以n＝6. （2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； 解：事件“摸出2个黑球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），（黑1，黑3）}，共3个样本点. （3）摸出2个黑球的概率. 解：样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为. 通性通法 应用列举法求古典概型概率的三个步骤 此方法适合于较为简单的古典概型问题. 角度2　树状图法求古典概型的概率 【例3】　（2024·信阳月考）甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者随机将球传给无球者之一.由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球回到甲手上的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：C　画树状图如图所示， 由树状图知，共有16种等可能结果，其中第4次传球后球回到甲手中的有6种结果，所以第4次传球后球回到甲手中的概率为＝. 通性通法 树状图法的应用 　　先明确一次试验的几个步骤及顺序，使用树状图列举出一次试验的所有可能结果（即把样本点一一列举出来），求出所求事件和样本空间的样本点个数，然后代入古典概型概率公式求解.树状图法便于分析样本点间的关系，适用于较复杂的问题. 角度3　列表法求古典概型的概率 【例4】　先后抛掷两枚质地均匀的骰子. （1）求点数之和为7的概率； 解：抛掷两枚质地均匀的骰子，其情况如表所示： 记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个，分别为（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6）， 故P（A）＝＝. （2）求掷出两个4点的概率； 解：记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即（4，4），故P（B）＝. （3）求点数之和能被3整除的概率. 解：记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个，分别为（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6）.故P（C）＝＝. 通性通法 列表法的应用 　　利用表格的形式列出所有的样本点，通常用来解决试验中包含两个元素，且试验结果比较多的概率求解问题，表格的行与列分别表示不同的元素，根据试验的要求直接在表格中列出相应的结果，这种方法直观、简洁，不易出错. 角度4　图示法求古典概型的概率 【例5】　市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种报纸都不订的概率为0.038. 解析：记500户居民组成的集合为U，订阅晨报的居民的全体为集合A，订阅晚报的居民的全体为集合B，如图所示，由题意及图知两种报纸至少订阅一种的有334＋297－150＝481（户），从而两种都不订的有500－481＝19（户）.故两种报纸都不订的概率为＝0.038. 通性通法 　　从集合观点看，在一次试验中等可能出现的结果组成全集I，即card（I）＝n，而事件A所包含的k个结果组成I的一个子集，即card（A）＝k，则有P（A）＝，因此可建立事件与集合的关系，借助Venn图的直观性来研究事件，且便于弄清各种事件间的关系，并易确定n，k的值. 【跟踪训练】 1.从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（　　） A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 解析：C　从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，其中乙被选中有2种选法，故乙被选中的概率为.故选C. 2.甲、乙、丙、丁四人随机地排成一行，则甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：B　根据题意，列出所有等可能的情况，如图所示.故所有排列共有24种情况，其中甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻共有4种情况（画“√”的情况）.故所求概率P＝＝. 3.每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3名，女生2名，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为. 解析：设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），共有4个，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为P＝＝. 1.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是（　　） A.0.02 B.0.05 C.0.1 D.0.9 解析：C　由题意知，在50瓶牛奶中任取1瓶，有50个样本点，取到已过保质期的牛奶包括5个样本点，根据古典概型概率计算公式求得概率是＝0.1. 2.（多选）下列有关古典概型的说法正确的有（　　） A.试验的样本空间的样本点总数有限 B.每个事件出现的可能性相等 C.每个样本点出现的可能性相等 D.已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P（A）＝ 解析：ACD　由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故A、C正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确.故选A、C、D. 3.从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则甲、乙均不被选中的概率为. 解析：从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，有：甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，共10种选法，其中甲、乙均不被选中的有3种，所以所求事件的概率为. 4.（2024·三明月考）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是. 解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共有3个样本点，故P（A）＝＝. 1.下列试验是古典概型的是（　　） A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B.在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D.某人射击中靶或不中靶 解析：C　对于A，取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概型；对于B，一次试验的结果有无限个，故不是古典概型；对于C，满足古典概型特征，是古典概型；对于D，两个样本点发生的可能性可能不同，故不是古典概型. 2.同时掷两枚硬币，“至少出现一枚正面向上”的概率是（　　） A.　　　 　　　　　　B. C. D. 解析：D　同时掷两枚硬币，向上的面的情形有：正正，正反，反正，反反，共4种，其中“至少出现一枚正面向上”含有正反，反正及正正三个基本事件，所以概率为P＝.故选D. 3.我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：B　甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6幅彩绘是其中一个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为. 4.同时掷两个骰子，则向上的点数之和是4的概率为（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：C　同时抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和如下表所示： 由上表可知，共有36种情况，其中点数之和是4的有3个，故所求概率P＝＝. 5.（2024·中山月考）从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，则它们过正六边形中心的概率等于（　　） A. B. C. D. 解析：D　从正六边形的6个顶点中随机选择2个顶点连成线段，有线段AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15条，其中过正六边形中心的有AD，BE，CF共3条，所以过正六边形中心的概率等于＝.故选D. 6.（2024·江门月考）从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：C　设两个白球为a1，a2，两个黑球为b1，b2，则从4个球中任取2个球有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），6种等可能结果，其中至少摸到一个黑球有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），5种等可能结果，故至少摸到一个黑球的概率P＝.故选C. 7.从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b}的子集的概率是. 解析：集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中⌀，{a}，{b}，{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为＝. 8.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为169石（结果保留整数）. 解析：因为254粒内夹谷28粒，所以这批米内夹谷的概率为＝，所以这批米内夹谷为1 534×≈169. 9.有1号、2号、3号共3个信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，则A信投入1号或2号信箱的概率是. 解析：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果.投入1号或2号信箱是其中的2种结果，故A信投入1号或2号信箱的概率为. 10.一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球. （1）共有多少个样本点？ （2）摸出的2个球都是白球的概率是多少？ 解：（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下样本点（摸到1，2号球用（1，2）表示）： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.因此，共有10个样本点. （2）上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2个白球（记为事件A）， 即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）＝. 故摸出2个球都是白球的概率为. 11.（2024·泉州月考）先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：C　所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝. 12.（2024·泰安月考）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：D　记“｜a－b｜≤1”为事件A，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，列表如下： 则事件A包含的样本点共16个，又依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝. 13.设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0，1，2，3这四个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，则上述方程有实数根的概率是. 解析：∵关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有解.∴Δ＝4a2－4b2≥0，即a2≥b2，由题a是从0，1，2，3中任取的一个数，b是从0，1，2中任取的一个数，故总共有12个样本点，当a＝0，b＝0；a＝1，b＝0，1；a＝2，b＝0，1，2；a＝3，b＝0，1，2时满足a2≥b2，∴方程有实根的情况有9种，故方程有实根的概率为＝. 14.书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率： （1）取出的书不成套； （2）取出的书均为上册； （3）取出的书上、下册各一本，但不成套. 解：设第一套书的上、下册分别记为A1，A2，第二套书的上、下册分别记为B1，B2，第三套书的上、下册分别记为C1，C2. 不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率. （1）设事件A表示“取出的书不成套”， 则A＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个， 故P（A）＝＝. （2）设事件B表示“取出的书均为上册”， 则B＝{A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个， 故P（B）＝＝. （3）设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”， 则C＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}，样本点有6个，故P（C）＝＝. 15.（2024·金华月考）某学校成立三个社团，共60人参加，A社团有39人，B社团有33人，C社团有32人，同时只参加A，B社团的有10人，同时只参加A，C社团的有11人，三个社团都参加的有8人.随机选取1人，则他参加不超过两个社团的概率为. 解析：由Venn图可求得参加各社团的情况如图所示，参加不超过两个社团的概率P＝＝. 16.某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名特级教师中选出3名教师组成下届教师职称评审团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中每校至多选出1名. （1）请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点； （2）求教师A1被选中的概率； （3）求评审团中没有乙校教师的概率. 解：（1）从6名特级教师中选出3名教师组成评审团，树状图如图所示， 故组成人员的全部样本点为（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），（A1，B2，D），（A1，C，D），（A2，B1，C），（A2，B1，D），（A2，B2，C），（A2，B2，D），（A2，C，D），（B1，C，D），（B2，C，D）. （2）在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有（A1，B1，C），（A1，B1，D），（A1，B2，C），（A1，B2，D），（A1，C，D），共5个， 所以教师A1被选中的概率为. （3）评审团中没有乙校教师的样本点有（A1，C，D），（A2，C，D），共2个， 所以评审团中没有乙校教师的概率为＝. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $