7.1.2 复数的几何意义-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦“复数的几何意义”核心知识点，涵盖复平面建立、复数与点/向量对应关系、模及共轭复数。课堂导入从实数与数轴对应入手，通过问题引导学生思考复数几何模型，搭建从实数到复数的认知支架。 资料以直观想象为核心，通过复平面将复数与点、向量联系，如复数对应点在象限的位置关系分析、向量平移与复数关系探究，结合数学运算（模的计算）和数学抽象（复平面概念）。帮助学生深化数形结合思想，提升解题能力，也为教师提供清晰教学脉络和丰富例题。

7.1.2　复数的几何意义 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系 直观想象 2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系 直观想象 3.通过向量的模表示复数的模 数学运算 　　我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型. 【问题】　（1）你能否为复数找一个几何模型？ （2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ 　 　 　 　 　 　 　 　 知识点一　复数与复平面内点的关系 1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，　x轴　叫做实轴，　y轴　叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b），这是复数的一种几何意义. 提醒　复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点是（a，b），而不是（a，bi）. 知识点二　复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z＝a＋bi平面向量. 为了方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，　相等　的向量表示同一个复数. 知识点三　复数的模 1.定义：向量的　模　叫做复数z＝a＋bi的　模　或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记作　｜z｜或｜a＋bi｜　. 3.公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝　　（a，b∈R）. 知识点四　共轭复数 1.定义：当两个复数的实部　相等　，虚部　互为相反数　时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做　共轭虚数　. 2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝　a－bi　. 提醒　（1）互为共轭的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称；（2）｜z｜＝｜｜. 1.复数－1＋i在复平面内对应的点在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　复数－1＋i在复平面内对应的点为（－1，1），故在第二象限.故选B. 2.（2024·济源月考）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1，2），则＝（　　） A.－1＋2i B.1＋2i C.1－2i D.－1－2i 解析：D　由题，z＝－1＋2i，故＝－1－2i，故选D. 3.若z＝－i（i为虚数单位），则｜z｜＝. 解析：因为z＝－i，所以｜z｜＝＝. 题型一 复数与复平面内点的关系 【例1】　在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点： （1）在虚轴上； 解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在复平面内对应的点为（m2－2m－8，m2＋3m－10）. 由题意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或4. （2）在第二、四象限； 分别求实数m的取值范围. 解：由题意，（m2－2m－8）（m2＋3m－10）＜0. ∴2＜m＜4或－5＜m＜－2. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，若复数在第二象限，求m的取值范围. 解：由题意，∴2＜m＜4. 2.（变设问）本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值. 解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝. 通性通法 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据； （2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 提醒　复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示. 【跟踪训练】 1.（2024·三明月考）已知复数z＝1－2i，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（　　） A.（1，－2）　　　　　　B.（1，2） C.（－2，1） D.（－1，－2） 解析：D　z在复平面内对应的点为（1，－2），关于虚轴对称的点是（－1，－2）.故选D. 2.已知复数z1＝2－ai（a∈R，i为虚数单位）对应的点在直线y＝x＋上，则复数z2＝a＋2i对应的点在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　复数z1＝2－ai（a∈R）对应的点的坐标为（2，－a），该点在直线y＝x＋上，故－a＝＋，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为（－2，2），在第二象限.故选B. 题型二 复数与复平面内向量的关系 【例2】　在复平面内，向量表示的复数为－1＋5i，将向量向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得到向量，求： （1）向量对应的复数； 解：由向量平移可知＝＝（－1，5）， ∴向量对应的复数为－1＋5i. （2）点A1对应的复数. 解：依题意A（－1，5），将A（－1，5）向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（1，6），即A1（1，6），故点A1对应的复数为1＋6i. 通性通法 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量； （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【跟踪训练】 1.（2024·连云港质检）若O为复平面的原点，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（　　） A.－10＋8i B.10－8i C.0 D.10＋8i 解析：C　由复数的几何意义，可得＝（5，－4），＝（－5，4），所以＋＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），所以＋对应的复数为0. 2.在复平面内，把复数1＋i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转180°，求所得向量对应的复数. 解：复数1＋i对应的向量的坐标为（1，1）， 将向量按逆时针方向旋转180°，则对应的向量的坐标为（－1，－1）， 所得向量对应的复数为－1－i. 题型三 复数的模及共轭复数 【例3】　（1）（2024·聊城月考）已知x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，则｜x＋yi｜＝（　　） A.1 B. C. D.2 解析：B　因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，则｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝＝.故选B. （2）已知复数z1＝－i，z2＝－＋i. ①求｜｜，｜｜的值并比较大小； ②设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示. 解：①｜｜＝｜＋i｜＝ ＝2， ｜｜＝＝ ＝1. 所以｜｜＞｜｜. ②由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜，得1≤｜z｜≤2. 不等式1≤｜z｜≤2等价于不等式组 因为满足｜z｜≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部（包括边界）， 而满足｜z｜≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部（包括边界）， 所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括边界），如图中阴影部分所示. 通性通法 1.复数的模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小； （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 2.互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. 【跟踪训练】 1.已知0＜a＜3，复数z＝a＋i（i是虚数单位），则｜z｜的取值范围是（　　） A.（1，） B.（1，） C.（1，3） D.（1，10） 解析：A　0＜a＜3，复数z＝a＋i（i是虚数单位），则｜z｜＝∈（1，）. 2.设复数z＝x＋yi，x，y∈R，且｜x｜＝｜y｜，则满足｜z｜＝1的复数z共有4个. 解析：法一（代数运算）　由｜z｜＝1，得x2＋y2＝1.又｜x｜＝｜y｜，联立，解得z＝±±i. 法二（几何意义）　由｜z｜＝1，知复数z在复平面内对应的点构成一个单位圆.又｜x｜＝｜y｜，故复数z在复平面内对应的点落在直线y＝±x上，显然直线y＝±x与单位圆有四个交点. 1.已知复数z＝2i，则z的共轭复数＝（　　） A.0 B.2i C.－2i D.－4 解析：C　因为复数z＝2i，则z的共轭复数＝－2i，故选C. 2.在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　依题意，在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点为（－3，4），位于第二象限. 3.（2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝（　　） A.0 B.1 C. D.2 解析：C　若z＝－1－i，则｜z｜＝＝.故选C. 4.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是－6－8i. 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝（4，3），＝（－2，－5），又＝－＝（－2，－5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量表示的复数是－6－8i. 1.如图，复平面内点P所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（　　） A.2＋2i　　B.3＋i C.3＋3i　　D.3＋2i 解析：D　由题意可知：点P的坐标为（3，2），所以复平面内点P所表示的复数为3＋2i，故选D. 2.（2024·台州月考）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为（　　） A.－2－i　　B.2＋i C.1－2i　　D.－1＋2i 解析：C　由题意可知，点A的坐标为（－1，－2），则点B的坐标为（1，－2），故向量对应的复数为1－2i. 3.设复数z＝4－3i，则｜｜＝（　　） A.7 B.1 C.5 D.25 解析：C　复数z＝4－3i，则＝4＋3i，所以｜｜＝＝5，故选C. 4.已知复数z＝m＋i（m∈R），则“｜z｜＞”是“m＞3”的（　　） A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　由｜z｜＝＞，得m2＞9，解得m＞3或m＜－3.故“｜z｜＞”是“m＞3”的必要不充分条件. 5.（多选）在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜｜＝.点Z与Z1关于x轴对称.则点Z对应的复数z＝（　　） A.1－i B.1＋i C.1－i D.1＋i 解析：CD　由于复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜｜＝，所以｜｜＝＝，所以a＝±1，Z1（1，1）或Z1（1，－1），又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z（1，－1）或Z（1，1），所以复数z为1－i或1＋i.故选C、D. 6.（多选）设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（　　） A.｜z｜＝ B.复数z在复平面内对应的点在第四象限 C.z的共轭复数为－1＋2i D.复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上 解析：AC　｜z｜＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1，－2），在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点（－1，－2）不在直线y＝－2x上，D不正确.故选A、C. 7.（2024·湛江月考）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，2），则＝－1－2i. 解析：因为复数z对应的点的坐标是（－1，2），所以z＝－1＋2i，因此＝－1－2i. 8.已知z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（－2，1）. 解析：∵z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故实数m的取值范围是（－2，1）. 9.若复数z＝cos θ＋1＋isin θ，则｜z｜的最大值为2. 解析：｜z｜＝＝，当cos θ＝1时，｜z｜max＝2. 10.在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i. （1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； （2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数. 解：（1）设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R）， 则点B的坐标为（x1，y1）， 由题意可知，点A的坐标为（2，1）， 根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1， 故z1＝2－i. （2）设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R）， 则点C的坐标为（x2，y2），由（1）可得，点B的坐标为（2，－1）， 由对称性可知x2＝－2，y2＝－1， 故z2＝－2－i. 11.已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是（　　） A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 解析：A　由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1.∵｜z｜≥0，∴｜z｜＝3，∴复数z对应的点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆. 12.（多选）已知复数z＝cos α＋（sin α）i（α∈R，i为虚数单位），则下列说法正确的有（　　） A.当α＝－时，复平面内表示复数z的点位于第二象限 B.当α＝时，z为纯虚数 C.｜z｜的最大值为 D.z的共轭复数为＝－cos α＋（sin α）i 解析：BC　对于A，当α＝－时，z＝cos（－）＋［sin（－）］i＝－i，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos ＋（sin ）i＝i，为纯虚数，故B正确；对于C，｜z｜＝＝，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cos α－（sin α）i，故D错误.故选B、C. 13.（2024·临沂月考）复数z对应的向量与a＝（3，4）共线，对应的点Z在第三象限，且｜z｜＝10，则＝－6＋8i. 解析：设复数z＝x＋yi，x，y∈R，则＝（x，y），∵复数z对应的向量与a＝（3，4）共线，∴4x－3y＝0①，由｜z｜＝10得x2＋y2＝100②，由①②可得x＝6，y＝8或x＝－6，y＝－8.∵z对应的点Z在第三象限，∴z＝－6－8i，∴＝－6＋8i. 14.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为－1，对应的复数为2＋2i，对应的复数为4－4i. （1）求点D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积. 解：（1）由点A对应的复数为－1，对应的复数为2＋2i， 得A（－1，0），＝（2，2），可得B（1，2）. 又对应的复数为4－4i，得＝（4，－4），可得C（5，－2）. 设点D对应的复数为x＋yi，x，y∈R.得＝（x－5，y＋2），＝（－2，－2）. ∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝－4， 故点D对应的复数为3－4i. （2）由＝（2，2），＝（4，－4），可得·＝0， ∴⊥ ，又∵｜｜＝2，｜｜＝4， 故平行四边形ABCD的面积为2×4＝16. 15.（2024·嘉兴质检）若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i（其中i为虚数单位）所对应的向量分别为和（O为坐标原点），则△OZ1Z2的面积为　　. 解析：由题意得＝（1，2），＝（3，－1），则｜｜＝＝，｜｜＝＝，∴cos∠Z1OZ2＝＝＝ ，∴sin∠Z1OZ2＝，∴△OZ1Z2的面积S＝｜｜｜｜sin∠Z1OZ2＝×××＝. 16.已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i. （1）当x为何值时，复数z的模最小？ （2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值. 解：（1）由题意得｜z｜＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2. （2）由（1）知当x＝0时，复数z的模最小，则Z（－2，2）. 因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2. 又mn＞0，所以m＞0，n＞0. 所以＋＝＝＋＋≥＋.当且仅当＝，即n2＝2m2时等号成立. 又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－，n＝2－2. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $