第6章 平面向量及其应用 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦向量线性运算、数量积运算及正余弦定理，通过高考真题导入，衔接平面向量基本定理与解三角形知识，搭建从基础运算到实际应用的学习支架，梳理知识脉络。 资料以高考真题为例，融合解析法、作图法等多种解题思路，反思感悟提炼运算规律与定理应用方法，培养数学思维中的推理能力和数学眼光中的抽象能力。跟踪训练巩固知识，助力学生提升解题技能与应用意识，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

一、向量的线性运算 　向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参数等. 【例1】　（1）已知向量a＝（2，1），b＝（－3，4），则2a－b＝（　A　） A.（7，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（7，2） 解析：∵a＝（2，1），b＝（－3，4），∴2a－b＝2（2，1）－（－3，4）＝（4，2）－（－3，4）＝（4＋3，2－4）＝（7，－2）. （2）（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　B　） A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 解析：法一　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B. 反思感悟 向量线性运算的基本原则 　　向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 【跟踪训练】 如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为. 解析：设＝λ（0＜λ＜1），∵＝＋＝－＋m＋＝（m－1）＋.＝＋＝－＋.∴（m－1）＋＝－λ＋λ，∴∴m＝. 二、向量的数量积运算 　平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 【例2】　（1）（2023·全国乙卷6题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝（　B　） A.　　　　B.3 C.2　　　　D.5 解析：法一　由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝（＋）·（－＋）＝－｜｜2，由题意知｜｜＝｜｜＝2，所以·＝4－1＝3，故选B. 法二　以点A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则＝（1，2），＝（－1，2），·＝－1＋4＝3，故选B. （2）（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　C　） A.－6 B.－5 C.5 D.6 解析：由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. （3）（2023·新高考Ⅱ卷13题）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝. 解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝. 反思感悟 1.向量数量积的两种计算方法 （1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ； （2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2. 2.利用向量数量积可以解决以下问题 （1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均为非零向量）： a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； （2）求向量的夹角和模的问题： 设a＝（x1，y1），则｜a｜＝； 两向量夹角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b为非零向量）cos θ＝＝. 【跟踪训练】 1.（2023·全国甲卷3题）已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则cos＜a＋b，a－b＞＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　由题意知，a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），所以cos＜a＋b，a－b＞＝＝＝＝，故选B. 2.（2021·新高考Ⅱ卷15题）已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c｜＝2，a·b＋b·c＋c·a＝－. 解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－. 三、余弦定理、正弦定理 　主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 【例3】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； 解：由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝， 又sin C＝cos B，所以＝cos B， 即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝. （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 解：由（1）可得A＝， 则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝， 从而a＝·c＝c， 又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1）， 将a＝c代入，解得c＝2. 反思感悟 1.通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行求解时，注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin（A－B）＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等. 2.利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换求出三条边之间的关系. 【跟踪训练】 （2023·新高考Ⅰ卷17题）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sin B. （1）求sin A； 解：∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π， ∴4C＝π，则C＝. ∵2sin（A－C）＝sin B＝sin（π－A－C）＝sin（A＋C）， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 则sin Acos C＝3cos Asin C，∴sin A＝3cos A＞0. 又sin2A＋cos2A＝1，∴sin A＝. （2）设AB＝5，求AB边上的高. 解：法一　设AB边上的高为h， 由（1）易得cos A＝，则sin B＝sin（A＋C）＝sin（＋A）＝cos A＋sin A＝. 在△ABC中，由正弦定理＝，得AC＝＝＝2. 又S△ABC＝·AC·AB·sin A＝·AB·h， ∴h＝ACsin A＝2×＝6. 即AB边上的高为6. 法二　由（1）得sin A＝3cos A，则A是锐角，cos A＝， sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得AC＝＝＝2，故AB边上的高为ACsin A＝2×＝6. 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 　余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 【例4】　一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山脚C在西偏北α方向上，行驶a km后到达B处，此时测得此山脚C在西偏北β方向上，在B处看到山顶D的仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α）此山的高度是（　　） A. B. C. D. 解析：B　设此山高h km，则BC＝，在△ABC中，∠ACB＝β－α，AB＝a km，根据正弦定理得＝，即＝，解得h＝，故选B. 反思感悟 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 （1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图； （2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等； （3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形； （4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 【跟踪训练】 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要时长为1h. 解析：由题意知AB＝5（3＋）n mile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°，在△DAB中，由正弦定理得＝，∴DB＝＝＝＝＝10 n mile，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝20 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，∴CD＝30 n mile.∴t＝＝1 h.∴救援船到达D点需要1 h. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $