第6章 平面向量及其应用 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦向量线性运算、数量积运算、正余弦定理及实际应用，通过章末整合构建知识脉络，从基础运算到综合应用层层递进，为学生提供系统化的学习支架，帮助梳理前后知识联系。 其亮点在于精选高考真题为例题，如向量题采用代数与作图法解析，解三角形结合定理推导与实际问题，培养数学思维和运算能力。反思感悟总结方法规律，跟踪训练强化应用，能提升学生解题能力与模型意识，也为教师提供高效复习框架。

章末复习与总结 数学·必修第二册 一、向量的线性运算 　向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运 算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算 和根据线性运算求参数等. 数学·必修第二册 【例1】　（1）已知向量a＝（2，1），b＝（－3，4），则2a－b ＝（　A　） A. （7，－2） B. （1，－2） C. （1，－3） D. （7，2） 解析：∵a＝（2，1），b＝（－3，4），∴2a－b＝2（2，1）－ （－3，4）＝（4，2）－（－3，4）＝（4＋3，2－4）＝（7，－2）. A 数学·必修第二册 （2）（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝ 2DA. 记 ＝m， ＝n，则 ＝（　B　） A. 3m－2n B. －2m＋3n C. 3m＋2n D. 2m＋3n B 解析：法一　因为BD＝2DA，所以 ＝3 ， 所以 ＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ ＋3（ － ）＝－2 ＋3 ＝－2m＋3n.故选B. 法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量 ，由图易知 （即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B. 数学·必修第二册 反思感悟 向量线性运算的基本原则 　　向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线 性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理 解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 数学·必修第二册 【跟踪训练】 如图所示，在△ABC中， ＝ ，P是BN上的一点，若 ＝ m ＋ ，则实数m的值为 　​ 　. ​ 数学·必修第二册 解析：设 ＝λ （0＜λ＜1），∵ ＝ ＋ ＝－ ＋m ＋ ＝（m－1） ＋ . ＝ ＋ ＝－ ＋ . ∴（m－1） ＋ ＝－λ ＋ λ ，∴∴m＝ . 数学·必修第二册 二、向量的数量积运算 　平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用 向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的 长度等. 【例2】　（1）（2023·全国乙卷6题）正方形ABCD的边长是2，E是 AB的中点，则 · ＝（　B　） A. B. 3 C. 2 D. 5 B 数学·必修第二册 解析：法一　由题意知， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝－ ＋ ，所以 · ＝（ ＋ ）·（－ ＋ ）＝ － ｜ ｜2，由题意知｜ ｜＝｜ ｜＝2，所 以 · ＝4－1＝3，故选B. 法二　以点A为坐标原点， ， 的方向分别为x，y轴的正方向 建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则 ＝（1，2）， ＝（－1，2）， · ＝－1＋4＝3，故选B. 数学·必修第二册 （2）（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝（1， 0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　C　） A. －6 B. －5 C. 5 D. 6 C 解析：由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3 ＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为 ＜a，c＞＝＜b，c＞，所以 cos ＜a，c＞＝ cos ＜b，c＞， 即 ＝ ，即 ＝3＋t，解得t＝5，故选C. 数学·必修第二册 （3）（2023·新高考Ⅱ卷13题）已知向量a，b满足｜a－b｜＝ ，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝ 　​ 　. 解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2 －4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝ ，所以a2－ 2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝ . ​ 数学·必修第二册 反思感悟 1. 向量数量积的两种计算方法 （1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜ a｜｜b｜ cos θ； （2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1， y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2. 2. 利用向量数量积可以解决以下问题 （1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均为非零向量）： a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； 数学·必修第二册 （2）求向量的夹角和模的问题： 设a＝（x1，y1），则｜a｜＝ ； 两向量夹角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b为非零向量） cos θ ＝ ＝ . 数学·必修第二册 【跟踪训练】 1. （2023·全国甲卷3题）已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则 cos ＜a＋b，a－b＞＝（　　） A. B. 解析：　由题意知，a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），所 以 cos ＜a＋b，a－b＞＝ ＝ ＝ ＝ ，故选B. C. D. 数学·必修第二册 2. （2021·新高考Ⅱ卷15题）已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜ b｜＝｜c｜＝2，a·b＋b·c＋c·a＝ ⁠. 解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝ 0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－ . － 数学·必修第二册 三、余弦定理、正弦定理 　主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、 求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 【例3】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边 分别为a，b，c，已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab. （1）求B； 数学·必修第二册 解：由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ ab， 可得 cos C＝ ＝ ＝ ， 因为C∈（0，π），所以C＝ ， 又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B， 即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ . 数学·必修第二册 （2）若△ABC的面积为3＋ ，求c. 解：由（1）可得A＝ ， 则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ， 由正弦定理有 ＝ ， 从而a＝ · c＝ c， 又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1）， 将a＝ c代入，解得c＝2 . 数学·必修第二册 1. 通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角恒等变换得出三角 形内角之间的关系进行求解时，注意一些常见的三角等式所体现的 内角关系，如在△ABC中， sin A＝ sin B⇔A＝B； sin （A－B） ＝0⇔A＝B； sin 2A＝ sin 2B⇔A＝B或A＋B＝ 等. 2. 利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sin A＝ ， cos A＝ 等，通过代数变换求出三条边之间的关系. 反思感悟 数学·必修第二册 【跟踪训练】 （2023·新高考Ⅰ卷17题）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2 sin （A－ C）＝ sin B. （1）求 sin A； 解：∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π， ∴4C＝π，则C＝ . ∵2 sin （A－C）＝ sin B＝ sin （π－A－C）＝ sin （A＋C）， ∴2 sin A cos C－2 cos A sin C＝ sin A cos C＋ cos A sin C， 则 sin A cos C＝3 cos A sin C，∴ sin A＝3 cos A＞0. 又 sin 2A＋ cos 2A＝1，∴ sin A＝ . 数学·必修第二册 （2）设AB＝5，求AB边上的高. 解：法一　设AB边上的高为h， 由（1）易得 cos A＝ ，则 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin （ ＋ A）＝ cos A＋ sin A＝ . 数学·必修第二册 在△ABC中，由正弦定理 ＝ ，得AC＝ ＝ ＝ 2 . 又S△ABC＝ ·AC·AB· sin A＝ ·AB·h， ∴h＝AC sin A＝2 × ＝6. 即AB边上的高为6. 数学·必修第二册 法二　由（1）得 sin A＝3 cos A，则A是锐角， cos A＝ ， sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ × ＋ × ＝ . 由正弦定理 ＝ ，得AC＝ ＝ ＝2 ，故AB边上的 高为AC sin A＝2 × ＝6. 数学·必修第二册 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 　余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的 问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这 类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型， 然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行 检验. 数学·必修第二册 【例4】　一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时 测得公路北侧远处一山脚C在西偏北α方向上，行驶a km后到达B 处，此时测得此山脚C在西偏北β方向上，在B处看到山顶D的仰角 为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α）此山的高度是（　　） A. B. C. D. 数学·必修第二册 解析：　设此山高h km，则BC＝ ，在△ABC中，∠ACB＝β－ α，AB＝a km，根据正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得h＝ ，故选B. 数学·必修第二册 反思感悟 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 （1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图； （2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向 角、方位角等； （3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知 识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中， 然后解此三角形； （4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原 有数据，尽量减少计算中误差的积累. 数学·必修第二册 【跟踪训练】 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋ ）n mile的两个观 测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出 求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救 援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点 需要时长为 h. 1 数学·必修第二册 解析：由题意知AB＝5（3＋ ）n mile，∠DBA＝90°－60°＝ 30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－（45°＋ 30°）＝105°，在△DAB中，由正弦定理得 ＝ ， ∴DB＝ ＝ ＝ ＝ ＝10 n mile，又∠DBC ＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝20 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC· cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10 ×20 × ＝900，∴CD＝30 n mile.∴t＝ ＝1 h.∴救援船到达D点需要1 h. 数学·必修第二册 $