专题4.3 数列求通项与求和导学案-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第二册）

专题4.3 数列求通项与求和 高中数学导学案 专题4.3 数列求通项与求和 考点预览 一、必备知识 1.数列求通项常用公式与方法： （1）是等差数列； （2）是等比数列 （3）是数列的前n项和，则 （4）累加公式: （5）累乘公式: （6）构造公式： ① ② 2.数列求和常用方法： （1）公式法 ①等差数列的前n项和公式：. ②等比数列的前n项和公式： 2分组转化法求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 分组求和常见类型有： ①若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和； ②通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和； 3裂项相消法求和：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. 常用裂项公式有： ； 4错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列. 二、考点专练： 地 城 考点01 构造等差或等比数列求通项 【经典例题】 1．(25-26高二上·天津第三中学·月考)数列中， ， ，则 ． 【答案】 【详解】，两边平方得，则，又因为，则数列是以4为首项，公差为3的等差数列，则，则.故答案为：. 2．(25-26高三上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·)在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，且，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，故选：D. 3．已知数列满足，则数列的通项公式为 【答案】 【详解】由，可得，两式相除得，所以的奇数项和偶数项分别是以4为公比的等比数列，由，，可得，当为奇数时，，当为偶数时，，所以.故答案为：. 【变式训练】 1．(25-26高二上·河北·月考)在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为．因为，所以，解得． 所以，所以．故选：D. 2．(25-26高二上·天津滨海新区大港实验中学·)已知数列中，，则 ，数列的通项公式是 . 【答案】/0.5 【详解】由得.因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列.所以.所以数列的通项公式是.所以.故答案为：，. 3．(24-25高二上·江苏南菁高级中学·期末)已知，，则 【答案】 【详解】由，两边平方取倒数得，令，由上式可得：， 所以数列首项为1，公差为1的等差数列，又，所以，所以， 即，又可得，又，所以，得，所以代入，得.综上，.故答案为：. 4．已知数列满足，，记，则 【答案】 【详解】因为，，且，所以，又，故，即，所以为首项为，公差为的等差数列，故.故答案为： 5．已知数列满足，，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由，得，以上两式相比，得， 由，得，所以，数列是首项为3，公比为4的等比数列，，数列是首项为6，公比为4的等比数列，，综上，通项公式为.故答案为：. 【经典例题】地 城 考点02 累加法求通项 1．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得：，，，． 经验证，也适合上式.故选：B. 2.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，，则的最大值为（   ） A．420 B．380 C．342 D．6 【答案】A 【详解】，①. 当时，，解得或. 当时，②. ①-②得， 或. 当时，或； 当时，， ∴数列是以为首项，公差为2的等差数列. 要使取得最大值，则，， 由等差数列通项公式可得. ，，，…，， 以上式子相加得， .故的最大值为420.故选：A. 3．(24-25高二上·重庆第一中学校·期中)将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．111 D．135 【答案】C 【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为，不难发现，所以，得， 当时，也符合上式，所以，所以第7个“拐角数”是， 第8个“拐角数”是，第9个“拐角数”是，第10个“拐角数”是，第11个“拐角数”是，第12个“拐角数”是.故C对；故选：C 【变式训练】 1．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列满足，且对任意，有，则 . 【答案】 【详解】依题意，，，，，……，，， 上述个式子相加得.故答案为： 2.（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以，则，，……，，，所以当时，，又满足上式，所以，所以， .故答案为：. 3.（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列中，则数列通项公式 ． 【答案】 【详解】因为 所以. 当时，；当时，； .将以上个式子累加得： 已知，则. 故答案为：. 4．(25-26高二上·新疆部分学校·)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.设三角形数构成数列，则数列的递推公式为 ，；第个三角形数 . 【答案 】 【详解】已知三角形数1，3，6，10…，则 ，，，…即 ， ，，以此类推得到，即数列的递推公式为；由可得，利用累加法得到当时，， 即，当时，也满足，第个三角形数. 故答案为：；. 5．(24-25高二上·云南楚雄州·期末)记为等差数列的前n项和，已知， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求的通项公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，，解得，， 故的通项公式为； （2）由题意，可得， 当时， ， 当时，也成立， 所以的通项公式为 【经典例题】地 城 考点03 累乘法求通项 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为，，所以，，，…，，累乘得，，，所以，， 由于，所以，，，显然当时，满足，所以，，故答案为：. 3．（高三上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 【答案】 【详解】因，故有，即得，所以．故答案为：. 【变式训练】 1．在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【详解】在中，取，可得，代入解得，又由可得，于是， 故.故选：B. 2．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以，所以，即①．又因为②，①②两式相乘，得．故选：A． 3．已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列，所以，当时，，因为时，，所以，因此当或时，取得最小值，为.故答案为：. 4．已知数列满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．4045 D．4047 【答案】C 【详解】，，即，可得，.故选：C. 5.（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知正项数列，满足，，则（ ） A．2 B． C．2024 D． 【答案】D 【详解】因为，所以当时，，两式相减，得，所以，所以，所以，所以，因为数列为正项数列，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以故选：D． 6.（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，累乘可得， 即，所以，也符合该式，故.所以，① ，②①②可得，因此，.故选：D 【经典例题】地 城 考点04 由求通项 1．(25-26高二上·上海金山中学·期末)若数列的前项和是（为正整数），则数列的通项公式是 ． 【答案】 【详解】当 时，.当 时， ， 也满足，所以公式对所有正整数 都成立.故答案为. 2．已知数列的前项和，，则 . 【答案】. 【详解】当时，，当时，， 故，综上所述.故答案为：. 3．已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】数列中，，当时，，两式相减得，解得，而，即满足上式，所以的通项公式为.故答案为： 【变式训练】 1．(24-25高二上·云南昆明·期末)已知数列的前项和（），则下列正确的是（   ） A．为递增数列 B． C． D． 【答案】AB 【详解】∵，∴令得，当时，①，②，由①-②可得：，因当时，，故.因时，单调递增，且，故为递增数列，即A，B都正确，C，D都错误.故选：AB. 2．(25-26高三上·河南部分学校·)已知数列的前项和，则（   ） A． B． C． D．数列的前项和 【答案】BCD 【详解】当时，，A选项错误；当时，， 验证，当时，，∴，C选项正确；，B选项正确；∴，∴，D选项正确故选：BCD. 3．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【详解】由，可得时，；当时，．此时，当时，，综上,． 故答案为：． 4．(24-25高二上·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值. 【详解】（1），当时，， 当时，， 经检验也满足，故； （2）因为，所以，整理可得，解得，或. 因为为正整数，所以的最小值为7. 【经典例题】地 城 考点05 由和关系求通项 1．(25-26高二上·天津滨海新区·月考)已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知， 则当时，，两式相减得到，即 ； 所以数列是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列，当时，； 所以数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，所以；故选：A. 2．设数列的前项和为，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，若与中有一个为0，则另一个也为0， 这样应有，这是不可能的，因此对所有，，∴，即， ∴数列是等差数列，又，∴，∴．故选：D． 【变式训练】 1．若数列的前项和为,则的通项公式是 ． 【答案】 【来源】2015-2016学年河北省唐山市一中高一3月月考数学试卷 【分析】利用与的关系即得. 【详解】因为，所以，，当时，，所以，∴是以3为首项，为公比的等比数列，所以．故答案为：． 2．(24-25高二上·江苏宿迁·期末)设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，当时，可得，两式作差，可得，即，所以，当时，可得，即，解得，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为.故选D. 3．(25-26高二上·河南周口·月考)已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为①，当时，②，①-②得：，因为是等比数列，设公比为，所以，因为，所以，解得；当时，，即，所以，又因为，所以，解得，所以，故选：A． 4．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列中，，当时，，即， 当时，，解得，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，，依题意，对任意正整数n恒成立， 令，由，得，即数列单调递减， 则，于是，所以实数的取值范围是.故选：D 5．(24-25高二上·广西贵港·期末)设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】因为，当时，，得，当时，，所以，则，所以，又，所以，所以是等差数列. 因为，所以.故选：D 地 城 考点06 分组转化法求和 【经典例题】 1．(2026·广西柳州·二模)设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得，解得，， 则. （2）由（1）可知，则， 故. 2．(25-26高二上·山东菏泽鄄城县第一中学·)在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和；(2)求数列的前n项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ，则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 3．(24-25高二上·黑龙江绥化绥棱县第一中学·月考)对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，， ， ，， ，由等比数列的前项和公式，得， 所以的通项公式.故选：A 【变式训练】 1．(24-25高二上·广西河池·期末)已知等差数列满足，，等比数列满足， (1)求数列，的通项公式; (2)设数列满足，求数列的前n项和 【详解】（1）设等差数列的公差为 由，，可得，解得，则 由，， 故是首项为3，公比为3的等比数列，则 （2）由（1）得，. 2．(25-26高一上·上海西中学·期末)已知数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以，所以数列的通项公式为 （2）由（1）可知， 所以， 因为是递增数列，且， 令，所以，当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，最小值为 3．(24-25高二上·云南曲靖宣威第十中学·期末)已知首项为的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）因为，可得，且， 可知数列是以首项为，公比为3的等比数列， 则，可得， 当时，， 且符合上式，所以. （2）由（1）可知：， 可得， 所以. 4．(25-26高二上·湖北襄阳第四中学·)已知数列和满足，，，，是等比数列，是等差数列． (1)求； (2)求的前项和． 【详解】（1），，，， ，，，， 是等比数列，公比为， ，即 是等差数列，公差为， ，即 两式相加，得： （2） ． 5．(25-26高二上·江苏苏州中学·月考)在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）因为，所以. 又，故，所以. （2）由（1）知，所以. 设，的前项和为，其中， 故. 当时，，当时，， 所以，当时，； 当时，. 综上，. 6．(24-25高三上·广东大湾区（步升联考）·)记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 【详解】（1）已知，，， 是以为首项、为公比的等比数列，． （2）由（1）可知，， ， ，； 由，可得， 为整数，的最小值为2026． 地 城 考点07 裂项相消法求和 【经典例题】 1．(24-25高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期末)已知（），则数列的前10项和 . 【答案】/ 【详解】由，则，故答案为：. 2．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)设数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以是首项为2，公比为4的等比数列，. （2）因为，所以， 所以. 3．(2023·福建漳州·模拟)已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d， 若选择条件①，由题可得，解得， 若选择条件②，由题可得，解得， . （2）由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有， 则， 【变式训练】 1．已知数列前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，, ，.故选：D. 2．(23-24高二上·广西玉林·期末)数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 3．已知数列的通项，则其前15项的和等于 . 【答案】 【详解】利用分母有理化得，设数列的前项的和为，所以前15项的和为： ，即.故答案为：3. 4．(24-25高二上·云南保山·期末)已知数列的前项和为，且，则数列的前2025项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】云南省保山市2024~2025学年高二上学期期末质量监测数学试卷 【分析】根据，利用退位作差得到，从而，裂项相消法求和. 【详解】∵，∴，而符合上式，， ，∴数列的前2025项的和，故选：C． 5．(22-23高二上·广东广州思源学校·期末)已知等差数列的前n项和满足，. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）由（1）知，，则， 所以 . 6．已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）因为是等差数列，则 由，得，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， ， 所以的前项和 . 所以. 地 城 考点08 错位相减法求和 【经典例题】 1．(25-26高二上·甘肃兰州西北中学·期中)已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【详解】（1）由，两边同时除以得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，故； （3）， ， 两式相减，得 ， 故. 2．(24-25高二上·江苏南菁高级中学·期末)设数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）因为，当时，，∴， 当时，， ∴，即， 又，∴数列是首项为，公比为的等比数列，故． （2）解法一：， 故， 所以， 错位相减得， 故． 解法二：∵， ∴． 【变式训练】 1．(21-22高二上·山西临汾第一中学·期末)已知公差为的等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【详解】（1）是等差数列，， 又，，是方程的两根， 解，得或， 又，，，， ，，. （2）由（1）得， 所以， 则， 两式相减，得 ， . 2．(25-26高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期末)在公差的等差数列中，，，数列的前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）因为是等差数列，且，， 所以，联立，解得，， 由，得，解得，，故， 数列的前项和，， 当时，， 当时，上式成立，故； （2）由（1）知， ， ， ①②，得， 其中， 所以，得. 3．(25-26高二上·湖南祁阳第一中学·)已知数列满足，且. (1)求，： (2)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (3)求数列的前项和. 【详解】（1）由，可知当时，， 因为，所以， 当时，. （2）由，可得，即， 因为，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，解得. （3）由（2）可知， 所以， 则， 作差得 ，即. 4．(24-25高三上·山东临沂商城外国语学校补习部·月考)已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）由，得，所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，当时，， 当时，上式不成立，所以； （2）由（1）得，则， 即， ， 两式相减得， 所以. 5．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知等差数列的前项和为，若且. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【详解】（1）由题意知：， 即，化简得. 所以数列的通项公式. （2）因为，所以 化简得：. 6．(21-22高二上·山西太原·期末)已知数列满足． (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）因为，， 所以， 所以数列为首项为，公差为的等差数列. （2）数列为首项为，公差为的等差数列， 所以，解得. 因为，所以，则， ， 于是， 两式相减得， 所以. 7．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 8．(23-24高二上·广西百色·期末)已知数列的前项和为，且 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【详解】（1）结合题意：当时，，解得， 当时，可得，两式相减可得， 即，整理得， 所以数列是以首项，公比为的等比数列. 所以，故的通项公式为. （2）结合（1）问可知，所以， 所以，即, 所以， 由可得 即， 所以， 整理得：. 故数列的前项和. 三、强化实训 1．(24-25高二上·福建龙岩·期末)设是等差数列，且，，则的通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得，则.故选：B. 2．(23-24高二上·河南濮阳建业外国语学校·)在数列中，若，则 . 【答案】 【详解】由，得，而，则数列是以3为首项，1为公差的等差数列， 所以，则.故答案为：. 3．已知数列满足：，则通项 ． 【答案】 【详解】取倒数后得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以， 所以， 故答案为：. 4.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以当时，，，，， 所以，又，所以当时，，当时，也满足关系，所以，， 所以当时，取最小值，最小值为，故选：D. 5.（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列的前n项和为且则（ ） A． B． C． D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【详解】由题意得，且，可知，则为正项递增数列，得到，即，故A正确；由，则时，，又符合上式，故，当时，，故B正确；由等差数列求和公式得，则，故C错误；而，故数列的前n项和为，故D正确.故选：ABD 6.（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】由题， 又符合上式，所以则，①， ，②，由①-②，得，所以， 若对于恒成立，即对恒成立， 所以对恒成立，所以，所以.故选：B 7．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第九中学·期末)已知等差数列的前n项和为，且，．在等比数列中，，， (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为． 【详解】（1）因为已知等差数列的前项和为，，，设公差为， 由已知得，，解得， 所以，即通项公式为； 因为等比数列中，，， 设公比为，所以，所以， 所以，即通项公式为； （2）由（1）可得， 所以 . 8．(25-26高二上·河南豫北名校·)已知数列满足，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)设，求数列中的最小项． 【详解】（1）由题可知，则，即． 所以是公差为的等差数列．以，故． （2），则． 故 （3）由题意知，则， 易知关于单调递增，当时，，当时，， 所以，故数列中的最小项为． 9．已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 【详解】（1）① ② ①②得    ∴ ∴ 故数列是首项，公差为2的等差数列． ∴． （2）令， 所以， （3）令，当时，；当时， 设数列的前项和为， 则， 当时，则， 当时，则 综上：． 10．(23-24高二上·广西三新·期末)已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且. (1)求出的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围. 【详解】（1）∵数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴， ∴当时，， 即，∴，∴. 又也满足上式，∴数列的通项公式为； （2）由（1），可得， ∴①， ②， 由①-②，得， ∴， ∴不等式可化为， 即对任意的恒成立， 令且为递增数列，即转化为. 又，所以， 综上，λ的取值范围是. 11．(24-25高二上·广西玉林·期末)已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 【详解】（1）因为且，所以， 由，可得， 两式相减得， 因为，所以，，又， 综上，对任意的，， 所以是首项和公比均为的等比数列，所以. （2）由题意，，① ② ①②得:. 所以. （3）由（1）可得，所以， 时，由，可得； 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，所以， 综上，或时，取得最大值. 试卷第1页，共3页 30 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $专题4.3 数列求通项与求和 高中数学导学案 专题4.3 数列求通项与求和 考点预览 一、必备知识 1.数列求通项常用公式与方法： （1）是等差数列； （2）是等比数列 （3）是数列的前n项和，则 （4）累加公式: （5）累乘公式: （6）构造公式： ① ② 2.数列求和常用方法： （1）公式法 ①等差数列的前n项和公式：. ②等比数列的前n项和公式： 2分组转化法求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 分组求和常见类型有： ①若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和； ②通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和； 3裂项相消法求和：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. 常用裂项公式有： ； 4错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列. 二、考点专练： 地 城 考点01 构造等差或等比数列求通项 【经典例题】 1．(25-26高二上·天津第三中学·月考)数列中， ， ，则 ． 2．(25-26高三上·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·)在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，则数列的通项公式为 【变式训练】 1．(25-26高二上·河北·月考)在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·天津滨海新区大港实验中学·)已知数列中，，则 ，数列的通项公式是 . 3．(24-25高二上·江苏南菁高级中学·期末)已知，，则 . 4．已知数列满足，，记，则 . 5．已知数列满足，，，，则数列的通项公式为 . 【经典例题】地 城 考点02 累加法求通项 1．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，，则的最大值为（   ） A．420 B．380 C．342 D．6 3．(24-25高二上·重庆第一中学校·期中)将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．111 D．135 【变式训练】 1．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列满足，且对任意，有，则 . 2.（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 3.（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列中，则数列通项公式 ． 4．(25-26高二上·新疆部分学校·)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数.设三角形数构成数列，则数列的递推公式为 ，；第个三角形数 . 5．(24-25高二上·云南楚雄州·期末)记为等差数列的前n项和，已知， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求的通项公式. 【经典例题】地 城 考点03 累乘法求通项 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 3．（高三上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 【变式训练】 1．在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 2．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，则的最小值为 ． 4．已知数列满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．4045 D．4047 5.（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知正项数列，满足，，则（ ） A．2 B． C．2024 D． 6.（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（ ） A． B． C． D． 【经典例题】地 城 考点04 由求通项 1．(25-26高二上·上海金山中学·期末)若数列的前项和是（为正整数），则数列的通项公式是 ． 2．已知数列的前项和，，则 . 3．已知数列满足，则的通项公式为 . 【变式训练】 1．(24-25高二上·云南昆明·期末)已知数列的前项和（），则下列正确的是（   ） A．为递增数列 B． C． D． 2．(25-26高三上·河南部分学校·)已知数列的前项和，则（   ） A． B． C． D．数列的前项和 3．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 4．(24-25高二上·云南昭通昭通一中教研联盟·期末)已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值. 【经典例题】地 城 考点05 由和关系求通项 1．(25-26高二上·天津滨海新区·月考)已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 2．设数列的前项和为，且，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．若数列的前项和为,则的通项公式是 ． 2．(24-25高二上·江苏宿迁·期末)设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高二上·河南周口·月考)已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西贵港·期末)设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 地 城 考点06 分组转化法求和 【经典例题】 1．(2026·广西柳州·二模)设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．(25-26高二上·山东菏泽鄄城县第一中学·)在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 3．(24-25高二上·黑龙江绥化绥棱县第一中学·月考)对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(24-25高二上·广西河池·期末)已知等差数列满足，，等比数列满足， (1)求数列，的通项公式; (2)设数列满足，求数列的前n项和 2．(25-26高一上·上海西中学·期末)已知数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值. 3．(24-25高二上·云南曲靖宣威第十中学·期末)已知首项为的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 4．(25-26高二上·湖北襄阳第四中学·)已知数列和满足，，，，是等比数列，是等差数列． (1)求； (2)求的前项和． 5．(25-26高二上·江苏苏州中学·月考)在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 6．(24-25高三上·广东大湾区（步升联考）·)记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 地 城 考点07 裂项相消法求和 【经典例题】 1．(24-25高二上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期末)已知（），则数列的前10项和 . 2．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期末)设数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．(2023·福建漳州·模拟)已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【变式训练】 1．已知数列前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·广西玉林·期末)数列的前项和为，若，则 . 3．已知数列的通项，则其前15项的和等于 . 4．(24-25高二上·云南保山·期末)已知数列的前项和为，且，则数列的前2025项的和为（    ） A． B． C． D． 5．(22-23高二上·广东广州思源学校·期末)已知等差数列的前n项和满足，. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 6．已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 地 城 考点08 错位相减法求和 【经典例题】 1．(25-26高二上·甘肃兰州西北中学·期中)已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 2．(24-25高二上·江苏南菁高级中学·期末)设数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式训练】 1．(21-22高二上·山西临汾第一中学·期末)已知公差为的等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 2．(25-26高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期末)在公差的等差数列中，，，数列的前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 3．(25-26高二上·湖南祁阳第一中学·)已知数列满足，且. (1)求，： (2)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (3)求数列的前项和. 4．(24-25高三上·山东临沂商城外国语学校补习部·月考)已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．(24-25高二上·广西南宁·期末)已知等差数列的前项和为，若且. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 6．(21-22高二上·山西太原·期末)已知数列满足． (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 7．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 8．(23-24高二上·广西百色·期末)已知数列的前项和为，且 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 三、强化实训 1．(24-25高二上·福建龙岩·期末)设是等差数列，且，，则的通项公式为（  ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·河南濮阳建业外国语学校·)在数列中，若，则 . 3．已知数列满足：，则通项 ． 4.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5.（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列的前n项和为且则（ ） A． B． C． D．数列的前n项和为 6.（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 7．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第九中学·期末)已知等差数列的前n项和为，且，．在等比数列中，，， (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为． 8．(25-26高二上·河南豫北名校·)已知数列满足，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)设，求数列中的最小项． 9．已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 10．(23-24高二上·广西三新·期末)已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且. (1)求出的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围. 11．(24-25高二上·广西玉林·期末)已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 试卷第1页，共3页 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $