5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦等比数列的定义与通项公式，通过拉面拉抻、银行存款等生活实例导入，引导学生类比等差数列定义自主抽象等比数列概念，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境创设培养数学抽象，通过“观察-类比-定义”问题链发展逻辑推理，分层题型（判断证明、通项应用等）提升数学运算能力。实例贴近生活且问题设计层层递进，助力学生建立知识联系，也为教师提供结构化教学方案，高效落实核心素养。

第一课时　等比数列的定义 新课程标准解读 核心素养 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 数学抽象 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算 3.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象 　　观察下列情境中的数列，回答后面的问题： 　　（1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条：1，2，4，8，16，…； 　　（2）如果将钱存在银行里，就会获得利息.例如，如果某年年初将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这五年中，每年年底的本息和构成数列：1 000×1.03，1 000×1.032，…，1 000×1.035. 【问题】　以上两个数列有什么共同点，你能否类比等差数列的定义，给等比数列下一个定义？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 知识点一　等比数列的定义 　如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于　同一个常数q　，即＝　q　恒成立，则称{an}为等比数列，其中　q　称为等比数列的公比. 【想一想】 1.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？ 提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列. 2.等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其它项是否可以为零？ 提示：不能. 3.常数列一定是等比数列吗？ 提示：不一定，如0，0，0，…. 　给出下列数列： ①2，2，4，8，16，32，…； ②在数列{an}中，＝2，＝2； ③常数列c，c，c，…，c. 其中等比数列的个数为　0　. 解析：①不是等比数列，因为≠.②不一定是等比数列，因为不知道的值.事实上，即使＝2，数列{an}也未必是等比数列.③不一定是等比数列，当c＝0时，数列不是等比数列. 知识点二　等比数列的通项公式 　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则等比数列的通项公式为an＝　a1qn－1　. 【想一想】 　等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？ 提示：不一定.如当q＝1时，an是关于n的常数函数. 1.已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为（　　） A.an＝2·3n＋1　　　　　B.an＝3·2n＋1 C.an＝2·3n－1 D.an＝3·2n－1 解析：C　由已知可得a1＝2，公比q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1. 2.在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝　－729　. 解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，∵a4＝a1q3＝－27a1＝27，∴a1＝－1，∴a7＝a1q6＝－1×（－3）6＝－729. 题型一 等比数列的判断与证明 【例1】　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝. （1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式. 解：（1）由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. （2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. （3）由（2）可得，＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 通性通法 证明数列{an}是等比数列的常用方法 （1）定义法：＝q（q为常数且q≠0）或＝q（q为常数且q≠0，n≥2）⇔数列{an}为等比数列； （2）通项法：an＝a1qn－1（其中a1，q为非零常数，n∈N＋）⇔数列{an}是等比数列. 【跟踪训练】 1.已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列. 证明：由已知，有2a2＝a1＋a3， ① ＝， ② ＝＋. ③ 由③得＝，所以a4＝. ④ 由①得a2＝. ⑤ 将④⑤代入②，得＝·. 所以a3＝，即a3（a3＋a5）＝a5（a1＋a3）. 化简得＝a1·a5， 因为a1，a3，a5均不为0，所以＝，故a1，a3，a5成等比数列. 2.已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式. 证明：依题意an＝2＋（n－1）×（－1）＝3－n， 于是bn＝. 而＝＝＝2， 又因为b1＝＝. 所以数列{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn＝2n－3. 题型二 等比数列的通项公式及其应用 【例2】　在等比数列{an}中. （1）a4＝2，a7＝8，求an； （2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：设等比数列的首项为a1，公比为q. （1）法一　因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝. 法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝. 所以an＝a4qn－4＝2×（）n－4＝. （2）法一　因为 由得q＝，从而a1＝32. 又因为an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 法二　因为a3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 【母题探究】 1.（变设问）本例（1）条件不变，试问128是不是该数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 解：由本例（1）知an＝.令an＝128， 得＝7，即n＝13. 故128是该数列中的第13项. 2.（变条件）本例（2）中的条件“a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1”若换为“a1＝，q＝，an＝”，其他条件不变，试求n. 解：因为an＝a1qn－1，所以×＝， 即＝，解得n＝5. 通性通法 求等比数列通项公式的常用方法 （1）根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法； （2）充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 【跟踪训练】 1.在等比数列{an}中，a1＝12，a2＝24，则a3＝（　　） A.36 B.48 C.60 D.72 解析：B　∵a2＝a1q＝12q＝24，∴q＝2，∴a3＝a1q2＝12×22＝48. 2.已知等比数列{an}的公比q＝－，则＝（　　） A. B. C.2 D.4 解析：D　由题意可得 ＝＝＝ ＝＝4. 题型三 灵活设元求解等比数列 【例3】　（1）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是　45　； 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 即 整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. （2）有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数. 解：设前三个数为，a，aq，则·a·aq＝216， 所以a3＝216，所以a＝6. 因此前三个数为，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6， 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝. 故所求的四个数为9，6，4，2. 通性通法 几个数成等比数列的设法 （1）三个数成等比数列设为，a，aq； 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，…. （2）四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3； 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，，，aq，aq3，aq5，…. （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 【跟踪训练】 　一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（　　） A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 解析：B　设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.由题意得q3＝2，q3n－6＝4，两式相乘得q3（n－1）＝8，即qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，∴＝64，即（qn－1）n＝642，∴2n＝642＝212，解得n＝12. 　等比数列的单调性 在等比数列的通项公式中，an与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 提示：因为an＝a1qn－1＝×qn，所以如果记f（x）＝×qx，则可以看出an＝f（n），而且： （1）当公比q＝1时，f（x）是常数函数，此时数列{an}是常数列； （2）当公比q≠1时，f（x）是与y＝qx的乘积，此时，f（x）的增减性即与a1有关，也与q有关. 【问题探究】 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q. （1）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递增数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＞0， ∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列. （2）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递减数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， 即an＋1＜an，∴{an}是递减数列. （3）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递减数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， ∴an＋1＜an，∴{an}是递减数列. （4）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递增数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， ∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列. （5）若q＝1，则数列{an}的单调性如何？q＜0呢？ 提示：当q＝1时，{an}是常数列，不具有单调性；当q＜0时，{an}是一个摆动数列，也不具有单调性. 【迁移应用】 1.在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 解析：A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又因为a1＞0，所以数列{an}为递增数列. 2.数列{an}是各项均为正数的等比数列，且an－an－1＞0（n≥2），则该数列的公比q的取值范围是（　　） A.q＝1 B.q＜0 C.q＞1 D.0＜q＜1 解析：C　由an－an－1＞0（n≥2）可知，数列{an}是递增的等比数列.又因为数列{an}的各项均为正数，所以q＞1. 3.在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 解析：D　如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列的公比为，是递减数列；等比数列的公比为，是递增数列. 1.若数列{an}是公比为的正项等比数列，则{·a2n}是（　　） A.公比为2的等比数列 B.公比为的等比数列 C.公差为2的等差数列 D.公差为的等差数列 解析：A　数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝（n≥2，n∈N＋），设bn＝·a2n，则＝＝·（）2＝2（n≥2，n∈N＋）. 2.在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：D　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7. 3.设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为（　　） A. B. C. D.1 解析：A　原式＝＝＝. 4.在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝（　　） A.1 B.3 C.±1 D.±3 解析：A　由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1. 5.已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，则an＝　28－n　. 解析：由已知得得∵an＞0，∴∴an＝128×＝28－n. 1.若等比数列的前三项分别为5，－15，45，则第5项是（　　） A.405 B.－405 C.135 D.－135 解析：A　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405. 2.在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是（　　） A.－2 B. C.2 D.4 解析：C　设公比为q，由题意得q3＝＝8，解得q＝2. 3.已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 026＝（　　） A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 解析：D　由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 026＝log332 025＝2 025. 4.数列{an}满足：an＋1＝λan－1（n∈N＋，λ≠0，λ∈R），若数列{an－1}是等比数列，则λ的值是（　　） A.1 B.2 C. D.－1 解析：B　数列{an－1}为等比数列⇒＝＝q，即：λan－2＝qan－q恒成立，可知：⇒λ＝2. 5.（多选）已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是（　　） A.{｜an｜} B.{an－an＋1} C. D.{kan} 解析：AC　设等比数列{an}的公比为q，∵ ＝｜q｜，∴{｜an｜}是等比数列.当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，∴{an－an＋1}不是等比数列.∵＝＝，∴是等比数列.当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列.故只有A、C一定是等比数列. 6.（多选）已知等比数列{an}的公比为q，a3＝4且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为（　　） A. B.1 C.2 D.3 解析：AC　因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以a2＋a4＝2（a3＋1），因为a3＝4.又{an}是公比为q的等比数列，所以由a2＋a4＝2（a3＋1），得a3＝2（a3＋1），即q＋＝，解得q＝2或. 7.若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比q＝　－1或2　. 解析：设首项为a1，显然a1q≠0，由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2. 8.已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则数列{an}中能构成等比数列的三项可以为　2，8，32（答案不唯一）　.（只需写出一组） 解析：因为数列{an}的通项公式为an＝3n－1， 所以数列{an}中的项依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…，显然＝，所以2，8，32能构成等比数列. 9.已知{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝　　，d＝　－1　. 解析：由题意可得＝， 即（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋6d）， 故有3a1＋2d＝0， ① 由2a1＋a2＝1，得3a1＋d＝1， ② 联立①②解得d＝－1，a1＝. 10.已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2，2a2＋a3＝30. （1）求an； （2）若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5. 解：（1）设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30， 所以4q＋2q2＝30，所以q2＋2q－15＝0， 所以q＝3或－5.因为an＞0，所以q＝3. 所以an＝a1qn－1＝2×3n－1（n∈N＋）. （2）因为b1＝a2，所以b1＝6.又bn＋1＝bn＋an，所以bn＋1＝bn＋2·3n－1. 所以b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14， b4＝b2＋2×32＝14＋18＝32，b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86. 11.（多选）已知公差为d的等差数列a1，a2，a3，…，则对重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正确的是（　　） A.一定是等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.可能是等比数列 D.可能既非等差数列又非等比数列 解析：ABC　由题意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，则bn＋1－bn＝[2a1＋（2n＋3）d]－[2a1＋（2n＋1）d]＝2d，因此数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是公差为2d的等差数列，即A、B正确，D错误；当a1≠0，d＝0时bn＝2a1，此时数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比数列，即C正确.故选A、B、C. 12.已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，则a＝　2　，an＝　5n－3　. 解析：∵a1＜b1，b2＜a3，∴∴b（a－2）＜a＜b，∴a＜3，又∵a＞1，且a∈N＋，∴a＝2.∵对于任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，∴令n＝1，得2＋（m－1）b＋3＝b，∴b（2－m）＝5，又∵2－m＜2，且2－m∈N＋，∴∴an＝a＋（n－1）b＝5n－3. 13.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. （1）设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3. 又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－（4an＋2）＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），即bn＋1＝2bn. 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列. （2）由（1）知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2， 所以an＋1－2an＝3×2n－1.于是－＝， 因此数列是首项为，公差为的等差数列， ＝＋（n－1）×＝n－. 所以an＝（3n－1）·2n－2. 14.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， ， ，， … 记第i行第j列的数为aij（i，j∈N＋），则a53的值为（　　） A. B. C. D. 解析：C　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝. 15.设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列. （1）证明：，，，依次构成等比数列； （2）是否存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列？并说明理由. 解：（1）证明：因为＝＝2d（n＝1，2，3）是同一个常数，所以，，，依次构成等比数列. （2）令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d（a＞d，a＞－2d，d≠0）. 假设存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列， 则＝，即a4＝（a－d）（a＋d）3， 同理得（a＋d）6＝a2（a＋2d）4. 令t＝，则1＝（1－t）（1＋t）3，且（1＋t）6＝（1＋2t）4，化简得t3＋2t2－2＝0　（*），且t2＝t＋1. 将t2＝t＋1代入（*）式，得t（t＋1）＋2（t＋1）－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－. 显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $