2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册各章节知识点梳理

该高中数学知识清单系统整合了空间向量、直线、圆及圆锥曲线的知识体系。从空间向量的概念运算入手，衔接直线方程与位置关系，延伸到圆的方程及位置关系，最终构建椭圆、双曲线、抛物线的定义性质与应用框架。 知识链路以“概念-定理-性质-应用”为逻辑主线，通过表格对比、定理推导和方法总结呈现多章节内容。每个知识点标注要点提示与易错警示，培养学生的数学思维和符号表达能力，助力形成结构化认知与理性分析习惯。

1.1-1.3 空间向量及其运算 一．空间向量的有关概念 1．空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或． 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－ 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 共线向量 1.定义：有向线段所在的直线平行或重合的向量，记作：∥ 2.规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有∥． 3.共线向量定理： 对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 【注意】共线向量 → 不要求非零 向量共线 → 要求非零 共面向量 1.定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量 2.共面向量定理： 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 二．空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得=x+y+z. 2. 基底与基向量： 其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量； 如果=x+y+z，则称x+y+z为在基底{，，}下的分解式. 【注意】在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，去表示向量，再进行相关运算 三、空间向量的运算 几何运算 坐标运算 关键 表示成“共起点”的向量（基底），再进行运算 找准相应向量的坐标，再套用公式计算 加法 三角形法则 平行四边形法则 ＋＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) ①交换律：＋＝＋ ②结合律：(＋)＋＝＋(＋) 减法 三角形法则 —＝(x1—x2，y1—y2，z1—z2) 几何运算 坐标运算 数乘 λ λ＝λ(x1，y1，z1) = (λx1，λy1，λz1)，λ∈R 分配律：； 结合律：． 关键 表示成“共起点”的向量（基底），再进行运算 找准相应向量的坐标，再套用公式计算 数量积 ·＝||||cos〈，〉 ·＝ x1 x2＋y1 y2＋z1 z2 模长 求模长，先平方，再开方 =， == 推广：= = ＝ 两点表示的向量：B—A 夹角 = 投影 在上的投影：||cos = ||cos == 平行垂直 平行 成倍数关系 ∥ 对应坐标成倍数关系 垂直 ⊥⇔·＝0 ⊥⇔·＝0 ⇔ x1 x2＋y1 y2＋z1 z2＝0 四、向量共线、共面的判定 共线 共面 描述 ①两向量共线 ②三点共线 ①三向量/线共面 ②四点共面 判断 方法 通用 三点共线 （1）不引入新的点： （根本）存在实数，使 或 成立. （1）不引入新的点： （根本）存在实数，使 或 成立. （2）引入新的点 ①对空间任一点O，有. ②对空间任一点O，有 . （2）引入新的点 ①对空间任一点O，有. ②对空间任一点O，有(). 1.4 空间向量应用：解立体几何 一．直线的方向向量 1. 直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． 2. 方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量. 【注意】 (1)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． (2)非零性：直线的方向向量是非零向量． 直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量． 二．平面的法向量 1. 平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量．一个平面的法向量不是唯一的。 2. 确定平面的法向量的两种方法 （1）方法1：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）方法2：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为； ②找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； ③根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 二、空间中的特殊点的坐标 1.特殊位置的点坐标 点所在位置 点的坐标 总结 坐标轴上 x轴 (x，0，0) y轴 (0，y，0) z轴 (0，0，z) 坐标面上 xOy平面 (x，y，0) yOz平面 (0，y，z) xOz平面 (x，0，z) 2.空间中，线段中点的坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 3. 空间中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 总结 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 【注意】对称的关键，中点（平分）+垂直 总结：立体几何线面关系的证明 几何法 向量法 平行 线线平行 线面平行 面面平行 垂直 线线垂直 线面垂直 面面垂直 总结：向量法求空间角 向量角α，空间角θ 范围 图示 公式 线线角 二面角 面面夹角 线面角 总结：向量法求空间距离 图示 距离公式 需要条件 点点 点线 点面 线面 面面 线线 2.1-2.3直线 一、直线的倾斜角 1、定义：以轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。 2、倾斜角的范围：。 当时，表示直线与x轴平行或与x轴重合. 当时，表示直线与x轴垂直 二、直线的斜率 1、斜率的定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，； （2）直线与轴垂直时，，不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 （1）直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一 一对应关系， 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 不存在 直线与x轴平行或重合 倾斜角增大，斜率k值增大， 直线是存在的，直线与x轴垂直 倾斜角增大，斜率k值增大， （2）倾斜角与斜率的图象对应关系： 当0°<α<90°时（锐角），α↑ ，k↑ 当90°<α<180°时（钝角），α↑ ，k↑ （3）常用倾斜角与斜率值 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 3、斜率公式（已知两点求斜率） 已知点、，且与轴不垂直， 过两点、的直线的斜率公式. （） 4、直线的斜率与方向向量的关系 若直线的一个方向向量的坐标为，则直线斜率． 若直线的斜率为，则它的一个方向向量的坐标为 三、直线方程的5种形式 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用情况 注意（易错点） 点斜式 y―y1=k(x―x1) 知：①斜率存在 ②过任意一点 注意讨论斜率是否存在 斜截式 y=kx+b 知：①斜率存在 ②y轴上的纵截距（与y轴交点） 两点式 知：两点坐标，且两点的横、纵坐标不相等 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 →两点的横坐标或是纵坐标不能相等 截距式 ①横、纵截距存在且≠0 ②涉及与坐标轴围成的三角形面积 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 →当截距相等时，要讨论截距是否为0 一般式 Ax+By+C=0（A2+B2≠0） A、B、C为系数 通用 A、B不同时为0 四、直线的一般方程 1、定义： 关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。 【注意】A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2. 直线的一般式方程与其它形式方程的互化 （1）直线的一般式、斜截式、截距式对应关系： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） （2）一般式系数与点斜式、斜截式的对应关系 斜率： 纵截距： 横截距： 五、一般方程下的直线的平行与垂直 1．由一般式判断直线的平行与垂直 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 2. 平行和垂直的直线的设法 （1）平行：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直：与直线垂直的直线方程可设为 六、两直线的交点与方程（组）的关系 1．两条直线的交点 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组.，若方程有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标； 2．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系 直线与的位置关系 相交 重合 平行 直线与的公共点个数 一个 无数个 零个 方程组的解 一组 无数组 无解 3．过两条直线交点的直线系方程 经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 七、对称问题 1. 中心对称（关于点对称） 根本：中点坐标公式 点关于点对称 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点 线关于点对称 法1：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由两对称点确定对称直线； 法2：先求出一个对称点，再利用对称直线与原直线平行求方程. 2．轴对称（关于直线对称） 根本：点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线， 于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； （可推导性质：③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即） 点关于直线对称 点关于直线的对称点为A‘（x,y），则由 方程组 可求得点A‘. 直线关于直线对称 在已知直线上任取两点，利用点的轴对称，求出对称点，再由两点式写出对称直线的方程. ① 若已知直线与对称轴相交，一般先求交点，再在已知直线上任取一点，求其对称点，利用两点式求解 ② 若已知直线与对称轴平行，则可按照平行规律先设出直线方程，再在已知直线上取一点，求出其对称点，代入所设方程 3. 常用对称的特例 ①关于轴的对称点为； ②关于轴的对称点为； ③关于直线的对称点为； ④关于直线的对称点为； ⑤关于直线的对称点为； ⑥关于直线的对称点为. ⑦ M（a,b）关于原点（0,0）的对称点M‘（-a，-b） 八、平面的三种距离公式 两点间距离 （点点） 平面上任意两点之间的距离公式为. 点到直线的距离 （点线） 平面上任意一点到直线的距离公式为. 两平行直线间的距离（线线） 两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 【注意】在应用平行线间的距离公式时，应注意把直线方程化成一般形式，且使的系数相等. （一些特殊情况） 1.两点间的距离 （1）原点与任一点的距离. （2）当直线平行于轴时，，； 当直线平行于轴时，，. （3）当在直线上时， . 2. 点到直线的距离 （1）点到轴的距离； （2）点到轴的距离； （3）点到与轴平行的直线的距离； （4）点到与轴平行的直线的距离. 3. 两条平行直线间的距离公式 （1）两直线都与轴垂直时，，则. （2）两直线都与轴垂直时，，则. 2.4圆的方程 1． 圆的定义与方程 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2、圆的2种方程及对应关系 圆方程 圆心、半径 对应关系 标准方程 圆心为，半径为r ， ， 一般方程 圆心为， 半径. ① 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； ② 当时，方程只有实数解，所以它表示一个点； ③ 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 3、求圆的方程的常用方法 （1） 待定系数法：列出关于a、b、r（或）的方程组，代入条件进行求解 一般步骤：①根据题意选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，代入标准方程或一般方程. （2） 几何法：由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长， 常用到圆的几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；→ 圆心在对称轴上 ②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． ③圆心与切点的连线长是半径长． ④圆心与切点的连线必与过该切点的切线垂直． 二、二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是 2.5.1 点、直线与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 图示 与的大小 点P的坐标的特点（代数法） 标准方程 一般方程 点在圆内 点在圆上 点在圆外 二、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判断方法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几 何法 ；。 圆心到直线的距离： 代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程 直线系法 若动直线过定点，则 点在圆内时，直线与圆相交； 当在圆上时，直线与圆相切或相交； 当在圆外时，直线与圆位置关系不确定． 三、直线与圆相切 1．直线与圆相切的相关性质 （1）直线与圆有且只有一个公共点 （2）直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解. （3）从圆外一点引圆的切线，可引2条，两条切线长相等. （4）过切点过圆心的直线与切线垂直. 2．圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线（无） 3．求圆的切线方程 求圆切线方程的常用方法： （1）点在圆上 【通用求法】 Step1：求斜率：圆心，先求切点与圆心的连线所在直线的斜率斜率，记切线斜率为，则由垂直关系知 Step2：利用点斜式求切线（斜率k+切点） 【注意】若或不存在，则可直接得切线方程为或． 【重要结论（特殊设法）】 经过圆上一点的切线方程的特殊设法 ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. （2）点在圆外 ①几何方法：设切线方程为，即，再由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数方法：设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 【注意】过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 4．切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为，利用勾股定理求； 【结论技巧】切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝ . 四、直线与圆相交 直线：与圆：与相交于点A、B （一）弦长问题 1．几何法（优先推荐） 如图（1）,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 . 2．代数法：弦长公式： 如图（2）,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则 (直线的斜率存在). （二）相交求直线方程 1．根据已知的直线特征选择合适的直线方程（常用：点斜式、斜截式） 2.注意题目中几何关系的应用： 常用： ① 直线与圆相交：d＜r ② 两交点与圆心的连线段=半径（形成等腰三角形） ③ 弦的垂直平分线过圆心 2.5.2 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 外离和内含统称为相离；两圆相离——没有公共点， 外切和内切统称为相切；两圆相切——有惟一公共点， 两圆相交——有两个不同的公共点. 位置关系 交点个数 图示 相交 2个 相切 1个 内切 外切 相离 0个 内含 外离 2．圆与圆位置关系的判断 （1）几何法 （和分别是圆和圆的半径, ） 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组，设:，: 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 2 2 相交. 1 1 外切或内切 0 0 相离或内含 【注意】 利用代数法判断两圆的位置关系时，注意条件的不等价性，即两圆外离，应是两圆外离，两圆外离或内含．同理，两圆外切或内切，两圆相交． 2、 两圆相切 1．两圆相切，公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 两圆位置关系 公切线 图示 外离 2条外公切线 2条内公切线，共4条； 外切 2条外公切线 1条内公切线，共3条； 相交 只有2条外公切线 内切 只有1条外公切线 内含 无公切线 2、公切线的方程 核心技巧：根据条件设直线方程（常用点斜式、斜截式），再利用圆心到切线的距离求解 3、 公切线长度 根本：勾股定理 外公切线 内公切线 三、两圆相交 1. 两圆相交，公共弦所在的直线方程 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦，联立作差得到：即为两圆共线方程 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 已知， ① 和圆， ② 用方程①-②，得． ③ 若是圆和圆的交点，则点满足等式，也就是点在③所对应的直线上，故③表示过圆和圆的交点的直线，即圆和圆公共弦所在的直线方程． 【注意】 （1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得直线方程即为两圆公共弦所在的直线方程．如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． （2）将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数． 2. 两圆相交，公共弦长的求法 方法1(代数法)：联立两圆的方程，求出两交点坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长． 方法2(几何法)：求出公共弦所在直线方程，在其中一圆中求出其圆心到的距离，利用圆的半径，半弦长，弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求公共弦长． 四、圆系方程 1. 圆系方程有关概念 两圆相交(相切)有两个(一个)交点，经过这些交点可作无穷多个圆，这无穷多个圆可组成一个圆系。 常见的圆系方程有以下几种： (1)以为圆心的同心圆系方程为()． (2)与圆同心的圆系方程为． (3)过定点的圆系方程为． (4)过两圆和的交点的圆系方程为(，其中不含圆)． ①当时，为两圆的公共弦所在直线的方程； ②当两圆相切时，为过两圆切点的直线方程． 2. 求过两圆交点的圆的方程——代数法： ① 先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径长； ② 由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解，这样会使运算简洁． 五、与圆有关的最值 ① → 动直线斜率的最值问题 ② → 动直线截距 ③ → 动点到定点距离的平方 3.1.1 椭圆及其标准方程 一、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 用集合语言叙述为：“集合，其中，为椭圆的焦点，为椭圆的焦距”． 【注】 1．对椭圆定义的理解 当，动点的轨迹为椭圆 当，则动点的轨迹为线段； 当，则动点的轨迹不存在 2．定义的双向运用： ①符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆； ②椭圆上的点一定满足定义的条件（即到两焦点的距离之和为）． 二、椭圆的标准方程 1．两类椭圆的标准方程 椭圆标准方程 图示 焦点 在轴上，焦点为， 在轴上，焦点为， 中心 在坐标原点 a、b、c关系 （a最大） 备注 当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可 【提示】 1． 这里的标准指的是中心在原点，对称轴为坐标轴． 2． 标准方程中的两个参数和确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件． 3． 标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴． 焦点在轴上，标准方程为； 焦点在轴上，标准方程为． 4． 在椭圆的两种标准方程中，如果的分母大，那么焦点在轴上；如果的分母大，那么焦点在轴上，这是椭圆的定位条件． 5． 在椭圆的方程中，，，三者之间最大，且满足． 2．求椭圆的标准方程的2种方法 （1） 待定系数法： ①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”. ②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2） 定义法： 先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 三、椭圆的焦点三角形 1．定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 2．性质： （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展： 性质2：（余弦定理） 拓展： 【注释】 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 3.1.2 椭圆的几何性质 一、椭圆的简单几何性质 椭 圆 第一定义 1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 第二定义 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1） 方 程 标准方程 a,b,c 关系 >0 且 图形 范围 ─axa，─byb ─axa，─byb 椭圆位于直线和所围成的矩形框内 顶点 ， ， 对称性 中心对称 关于原点（0,0）对称 轴对称 关于轴对称 长轴长2a，短轴长2b 长轴长2a，短轴长2b 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(0,─c), F2 (0 ,c) 焦距 2c （其中c=） 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁。 当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 准线 x= 焦半径 椭圆上任意一点M（x0，y0）于焦点F1（或F2）的距离：r=a±x0 通径 定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 大小： 二、点P（x0,y0）与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 三、直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 >0 相切 一解 =0 相离 无解 <0 2、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 四、直线与椭圆相交的弦长问题 1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2、求弦长的方法 （1）交点法：将直线方程与椭圆方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 四、直线与椭圆相交的弦长公式 1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2、求弦长的方法 （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 5、 椭圆的中点弦问题 2种方法 1、根与系数关系法： 联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、 点差法： 利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下： 如图，直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有① ，② 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴， ∴。 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为， 则有。 3.2.1 双曲线及其标准方程 一、双曲线的定义 1．定义：在平面内，到两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数（＞0且）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点F1，F2叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。 2. 集合表示：．|F1F2|＝2c，a，c为常数且a>0，c>0 【要点注意】 （1）若去掉定义中的“绝对值”， （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、双曲线的标准方程 1．两类双曲线的标准方程 双曲线 标准方程 （） （） 图示 焦点 在轴上，焦点为， 在轴上，焦点为， 中心 在坐标原点 a、b、c关系 备注 当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1 (mn＜0)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可 【注释】 1． 这里的“标准”指的是中心在原点，焦点在坐标轴上 2. 标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． 3. 焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若的系数为正，则焦点在轴上； 若的系数为正，则焦点在轴上． 4. 在双曲线的标准方程中，因为，，三个量满足，所以长度分别为，，的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，如图所示． 2. 求双曲线的标准方程的2种方法 （3） 待定系数法： ①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”. ②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，mn＜0). （4） 定义法： 先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 3. 椭圆、双曲线的区别和联系 椭圆 双曲线 定义 与的关系 的关系 （a最大） （c最大） 椭圆 双曲线 标准方程 焦点在轴上 焦点在y轴上 焦点在轴上 焦点在y轴上 图象 封闭型 开放型 三、双曲线的焦点三角形 1、定义：双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形称为双曲线的“焦点三角形”。 2、性质： （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展： 性质2：（余弦定理） 拓展： （正弦定理求面积） （面积公式：底×高） （该结论，选填题可直接用） * * 推导过程： ∵ ∴== ∴ 3.2.2 双曲线的几何性质 一、双曲线的简单几何性质 双曲线 定义 到两个定点F1，F2距离差的绝对值等于常数（＞0且）的点的轨迹 方 程 标准方程 －＝1 －＝1 a,b,c 关系 a>0，b>0且（c最大） 图形 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 双曲线位于两条直线的外侧，是无限伸展的 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 对称性 中心对称 关于原点（0,0）对称 轴对称 关于轴对称 实轴：线段A1A2，长：；半实轴长： 虚轴：线段B1B2，长：；半虚轴长： 离心率 ,e∈(1，＋∞) 越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，∴双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 渐近线 y＝±x y＝±x [注]与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为 准线 左准线，右准线 上准线；下准线 位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数 焦半径 双曲线上任意一点M（x0，y0）于焦点F1（或F2）的距离： 焦点弦 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 过上焦点与上支交于两点时： 过下焦点与下支交于两点时： 通径 定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 大小： 二、等轴双曲线与共轭双曲线 1．等轴双曲线： 双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）方程形式：； （2）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （3）渐近线：①等轴双曲线的渐近线为：； ②等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°. 2．共轭双曲线： 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. （3）离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1. 三、直线与双曲线的位置关系 （一）直线与双曲线位置关系的判断（代数法） 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1．当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2．当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，有两个公共点，直线与双曲线相交；（可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.） 若，有一个公共点，直线与双曲线相切或直线平行渐近线； （两种情况： ①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴； ②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点.） 若，没有公共点，直线与双曲线相离；（可能为双曲线的渐近线.） 注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． （二）直线与双曲线相交的弦长问题 1．若直线与双曲线（，）交于，两点， 则 = = 2． 通径：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. （三）双曲线的中点弦与点差法 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：（点差法） 设，，则有， 由 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 又∵，∴ 3.3.1 抛物线及其标准方程 一、抛物线的定义 1、定义： 平面内到一个定点F和一条定直线l (l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． →应用：看到准线想焦点，看到焦点想准线，进行点点距离与点线距离的相互转化 2. 集合表示：. 【要点注意】 （1）定义的实质——可归纳为“一动三定” 一个动点M； 一个定点F(抛物线的焦点)； 一条定直线(抛物线的准线)； 一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． （2） 定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. 如，到点与到直线的距离相等的点的轨迹方程为是一条直线． 【拓展】 圆锥曲线的统一定义： 平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数的点的轨迹称为圆锥曲线．定点是焦点，定直线是与点相对应的准线，当时，是双曲线；当时，是抛物线；当时，是椭圆． 2、 抛物线的标准方程 1．抛物线的标准方程 顶点在原点，对称轴为轴，开口向右的抛物线的标准方 【注释】 （1）的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以恒为正数． （2）焦点的横坐标是一次项系数的 （3）准线与坐标轴的交点与抛物线的焦点关于原点对称． 2．抛物线标准方程的四种形式 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【注释】 ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，如：抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③焦点在轴上的抛物线的标准方程 通常又可写为，这与以前所学习的二次函数的解析式类似，但需要注意的是，由方程来求其焦点坐标和准线方程时，必须先化成标准形式． ④标准方程可以统一为两类： 一类是焦点在轴上，可统一为其焦点坐标为，准线方程为； 一类是焦点在轴上，可统一为，其焦点坐标为，准线方程为． 三、焦半径公式 抛物线上的点到焦点的距离，称为焦半径，根据定义可转化为到准线的距离， 设抛物线上一点的坐标为，焦点为.则 (焦点轴上) 或(焦点轴上) 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. 3.3.2 抛物线的几何性质 一、四种抛物线的几何性质 抛物线 定义 平面内到定点F和定直线l (l不经过点F)距离相等的点的轨迹 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 开口 向右 向左 向上 向下 开口方向与一次项系数的正负一致，开口大小与一次项系数的绝对值相反 范围 对称轴 焦点 准线 焦半径 顶点 离心率 通径 二、点与抛物线的关系 在抛物线内（含焦点）． 在抛物线上． 在抛物线外． 三、直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）； 相切（有一个公共点）； 相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若，则直线与抛物线相交，有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． ②若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. 注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 四、抛物线的切线方程 1.点在抛物线上（切点）：抛物线的切线方程为 2.点在抛物线外： 过抛物线外一点，引抛物线的2条切线，两个切线的连线，所在的直线（切点弦）方程为： 五、直线与抛物线相交的弦长问题 （一）一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. （1）若直线的方程设为，，，则 == （2）若直线的方程设为，，，则 （二）中点弦与点差法 1.结论： 2.推导：以抛物线为例 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，得：，， 将两式相减，可得， 整理可得： ∴ 直线的方程为. （三）焦点弦 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又∵是梯形的中位线， ∴， 从而有下列结论： （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) ☆（3）. （4）若直线的倾斜角为，则. 故时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p →（通径） （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $