2026年浙江省杭州市中考数学专题十一：圆的基本性质

2026年浙江省杭州市中考专题十一：圆的基本性质 1.如图，△OAB的边AB与⊙O相切于点C,OB交⊙O于点D,延长AO交⊙O于点E,连结DE.若DE ∥OC,OE=5,DE=6,则AB的长为() C A.15 B. c.9 D.12 2.如图，AB,CD是⊙O的直径，AB⊥CD,点E为劣弧D(不含端点)上一点，连接AE,CE,分别交OD, OB于点F,G.若⊙O的半径为1，记OF=x,BG=y,则下列代数式的值不变的是() A 0 G A.2x-y B.景- C.2y-x D.号-京 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E,连接AC,AD.若∠BAC=43°，则∠ADC=() D B 0 A.43 B.45 C.47 D.49 4.如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为15°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P,则∠P的度数 为() B A.25 B.60 C.409 D.50 5.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E,若DE=25,AB=10,则该圆的半径为一· O 6如图，己知AB是圆O的直径，AB=4,BC是圆O的切线，圆O与AC交于点F,点E是BC的中点， 四边形AFEO是平行四边形，则图中阴影部分的面积是一 8.如图，△ABC中，AC=AB,以AB为直径作⊙O,交BC于D,交AC于E.若∠BAD=25°，则∠EDC 0 E 6 D C 9.如图是以AB为直径的⊙O,点C是圆上一点，将圆形纸片沿着AC折叠，与AB交于点D,连结CD并延 DE 长与圆交于点E.若∠ACD=3∠CAD,则C号的值等于 0 10.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E,若DE=25,AB=10,则该圆的半径为 2 11.如图，△ABC中，AC=AB,以AB为直径作⊙O,交BC于D,交AC于E.若∠BAD=25°，则∠EDC A 0 日 O C 12.点A,B在半径为2的⊙O上，∠AOB=120°，AC⊥BO,垂足为C.∠ACB绕点C顺时针旋转，分别 交⊙O于点M,N(均位于直线AB上方)，连接MN. (1)如图1，当∠ACM=180°时，MN=一； (2)如图2，当∠ACN=∠BCN时，MN= M N O 0 B B 图1 图2 13.已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在劣弧AD上取一点E,使∠EBC=∠DEC, 延长BE依次交AC于点G,交⊙O于H. (1)求证：CA⊥EH; (2)若∠ABC=45°，⊙0的直径等于5，AB=4W2,求4G的值. A H 14.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E, 且EM>MC. 连接DE,DE=V15 (1)求EM的长： (2)求sin∠EOB的值. E D M A C 15.如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点D作DE∥AC交⊙O于点E,连结BE交AC于点F. D D C C E E ·0 ·0 B A B 图1 图2 (I)若∠DCB=2∠DAB,求∠EFA的度数. (2)如图2，连接FD,若AF=FC ①求证：FE=FD, ②求证：DCAB=AD·BC. 16在△ABP中，∠B=90°，点C在斜边AP上，以AC为直径的⊙O交BP于点E,F,连结FC. (1)如图1，若C=EP=30°，连结OE,请判断线段FC和OE的数量关系和位置关系，并说明理 由. (2)如图2，连结AE,AF,EC. ①求证：ABAC=AEAF ②若EA=EP,n∠BAF= 10 ,PF-BF=7,求PE的长. B ⊙ 入F E C 图1 图2 5 17.己知，AB,CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E,且BD=2AD,连接BC,AD. (1)如图1，若AB是⊙O的直径，求∠C的度数. (2)如图2，求证：①CD=CB. ②AE+AD=BE. C C E B 0 D (图1) (图2) 18.如图，已知AB是⊙O的直径，CD,CE都是⊙O的弦，AB⊥CD于点G,CE交AG于点F,且 D=E,连结BE,分别交AD,CD于点H,K. (1)求证：BK=DK. (2)若DK=5,DH=6,求⊙O的直径 (3)若点F在半径oA上，0P=0G,请直接写出器的值. A H 0 D G K B 7 19.如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在⊙O上，CD切⊙O于点C,BD⊥CD于点D,连结BC. (1)求证：∠ABC=∠CBD (2)若AB=10,BD=号. ①求BC的长度. ②如图，点P在半径40上，连结CP并延长交⊙0于点Q,且器=号，连结QB,求证：QB=QC. CP D C P y B 0 p 6 20.如图1，在⊙O中，AB与CD是点O异侧的两条弦，AB>CD,且AB∥CD,连结AD,与BC交于点E. (1)求证：AE=BE (2)如图2，连结OE并延长，与BD的延长线交于点F,连结OA.求证：∠F=∠OAE. (3)在(2)的条件下，若器=，求器的值. c 0 E F D B 图1 图2 9 21.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,AE⊥OC,垂足为E, BE的延长线交A于点F. (1)求器的值： (2)求证：△AEB∽△BEC: (3)求证：AD与EF互相平分. D E ⊙ 10 2026年浙江省杭州市中考专题十一：圆的基本性质 1.如图，△OAB的边AB与⊙O相切于点C，OB交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，连结DE．若DE∥OC，OE＝5，DE＝6，则AB的长为（　　） A．15 B． C． D．12 【解答】解：∵DE∥OC， ∴∠AOC＝∠E，∠BOC＝∠ODE， ∵OE＝OD， ∴∠E＝∠ODE， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB， ∴AC＝BC， 过O作OH⊥DE于H， ∴∠EHO＝90°，EH， ∴OH4， ∵∠OHE＝∠ACO＝90°，∠E＝∠AOC， ∴△AOC∽△OEH， ∴， ∴， ∴AC， ∴AB＝2AC． 故选：B． 2.如图，AB，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，点E为劣弧（不含端点）上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G．若⊙O的半径为1，记OF＝x，BG＝y，则下列代数式的值不变的是（　　） A．2x﹣y B． C．2y﹣x D． 【解答】解：如图，连接AC ∵AB，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，OA＝OC＝1， ∴∠1＝∠2＝45°，， 设∠OAF＝α， 则∠CAF＝∠1+∠OAF＝45°+α，， ∴∠CAF＝∠AGC， ∴△ACF∽△GAC， ∴，即， ∴（1+x）（2﹣y）＝2， ∴2﹣y+2x﹣xy＝2， ∴2x﹣y＝xy， 两边同时除以xy得：， 故D符合题意，而A、B、C代数式的值均不能证明不变，故不符合题意， 故选：D． 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝43°，则∠ADC＝（　　） A．43° B．45° C．47° D．49° 【解答】解：如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵∠BAC＝43°， ∴∠ABC＝47°， ∴∠ADC＝∠ABC＝47°， 故选：C 4.如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为15°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P的度数为（　　） A．25° B．60° C．40° D．50° 【解答】解：连接OC， ∵∠A＝15°， ∴∠POC＝2∠A＝30°， ∵过点C的切线PC与AB的延长线交于点P， ∴PC⊥OC， ∴∠OCP＝90°， ∴∠P＝90°﹣∠POC＝60°， 故选：B． 5.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若DE＝25，AB＝10，则该圆的半径为 　13　 ． 【解答】解：设该圆的半径为x， ∵AB⊥CD，AB＝10， ∴， ∵DE＝25， ∴OE＝25﹣x， ∴在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2， 即x2＝（25﹣x）2+52， 解得x＝13， 故答案为：13． 6.如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，BC是圆O的切线，圆O与AC交于点F，点E是BC的中点，四边形AFEO是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 　π﹣2　 ． 【解答】解：连接OF，如图所示， ∵四边形AFEO是平行四边形， ∴EF∥OA，EF＝OA， ∵AB是圆O的直径， ∴OAAB，AO＝BO， ∴EF∥AB，EFAB， ∵点E是BC的中点， ∴F是AC的中点， ∴OF∥BC， ∵BC是圆O的切线， ∴∠ABC＝90°， ∴∠AOF＝∠ABC＝90°， ∵OF＝OAAB4＝2， ∴S阴影 ＝π﹣2． 故答案为：π﹣2． 7.如图，△ABC中，AC＝AB，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．若∠BAD＝25°，则∠EDC＝　50　 °． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC，∠BAD＝25°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝50°， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠BAE+∠BDE＝180°， ∵∠EDC+∠BDE＝180°， ∴∠EDC＝∠BAE＝50°， 故答案为：50． 8.如图是以AB为直径的⊙O，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着AC折叠，与AB交于点D，连结CD并延长与圆交于点E．若∠ACD＝3∠CAD，则的值等于 　　 ． 【解答】解：连接OC，OE，设半径为r， ∵∠ACD＝3∠CAD， ∴设∠CAD＝x，∠ACD＝3x， ∵将圆形纸片沿着AC折叠， ∴， ∵CD＝BC， ∴∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠CAD＝4x， ∵AB为直径的⊙O， ∴∠BCA＝90°， ∴∠CBD+∠CAD＝90°＝4x+x， 解得∠CAD＝x＝18°， ∴∠ACD＝3x＝54°，∠CBD＝∠CDB＝4x＝72°，∠COB＝2∠CAD＝36°， ∴∠AOE＝2∠ACD＝108°，∠DCO＝∠CDB﹣∠COB＝36°＝∠COB， ∴∠DOE＝180°﹣∠AOE＝72°，CD＝OD， ∴∠CBD＝∠CDB＝∠ODE＝∠DOE＝72°， ∴OE＝DE＝OB＝r，△DOE∽△DBC， ∴， ∴， 整理解得（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 9.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若DE＝25，AB＝10，则该圆的半径为 　13　 ． 【解答】解：设该圆的半径为x， ∵AB⊥CD，AB＝10， ∴， ∵DE＝25， ∴OE＝25﹣x， ∴在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2， 即x2＝（25﹣x）2+52， 解得x＝13， 故答案为：13． 10.如图，△ABC中，AC＝AB，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．若∠BAD＝25°，则∠EDC＝　50　 °． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC，∠BAD＝25°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝50°， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠BAE+∠BDE＝180°， ∵∠EDC+∠BDE＝180°， ∴∠EDC＝∠BAE＝50°， 故答案为：50． 11.点A，B在半径为2的⊙O上，∠AOB＝120°，AC⊥BO，垂足为C．∠ACB绕点C顺时针旋转，分别交⊙O于点M，N（均位于直线AB上方），连接MN． （1）如图1，当∠ACM＝180°时，MN＝ 　2　 ； （2）如图2，当∠ACN＝∠BCN时，MN＝ 　　 ． 【解答】解：（1）当∠ACM＝180°时，如图1所示： ∴点A，C，M共线， ∵AC⊥BO， ∴∠ACO＝∠MCN＝90°， ∵⊙O的半径为2， ∴OA＝OB＝ON＝2， ∴∠AOB＝120°， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣∠AOB）＝30°，∠AOC＝180°﹣∠AOB＝60°， 在Rt△AOC中，∠OAC＝90°﹣∠AOC＝30°， ∴OCOA＝1， ∴NC＝ON﹣OC＝1， 根据圆周角定理得：∠M＝∠B＝30°， 在Rt△MCN中，MN＝2NC＝2， 故答案为：2； （2）当∠ACN＝∠BCN时，如图2所示： 过点M作MG⊥BC于点G，过点N作NH⊥BC，交BC延长线于点H，连接OM，ON，如图2所示： 则OM＝ON＝OA＝OB＝2， 由旋转的性质得：∠MCN＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACH＝∠ACB＝90°， 又∵∠ACN+∠BCN+∠ACB＝360°，∠ACN＝∠BCN， ∴∠ACN＝∠BCN＝135°， ∴∠NCH＝∠ACN﹣∠ACH＝45°，∠BCM＝∠BCN﹣∠MCN＝45°， 又∵NH⊥BC，MG⊥BC， ∴△CNH和△CMG都是等腰直角三角形， 设HC＝HN＝x，CG＝MG＝y， 由勾股定理得：CN，CM， 由（1）可知：OC＝1， ∴OH＝OC+CH＝1+x，OG＝CG﹣OC＝y﹣1， 在Rt△OCN中，由勾股定理得：HN2+OH2＝ON2， ∴x2+（1+x）2＝22， 整理得：2x2+2x﹣3＝0， 解得：x，x（不合题意，舍去）， ∴CN， 在Rt△OMG中，由勾股定理得：MG2+OG2＝OM2， ∴y2+（y﹣1）2＝22， 整理得：2y2﹣2y﹣3＝0， 解得：y，y（不合题意，得去）， ∴CM， 在Rt△MCN中，由勾股定理得：MN． 故答案为： 12.已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD上取一点E，使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H． （1）求证：CA⊥EH； （2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于5，，求AG的值． 【解答】（1）证明：如图，连接AD， ∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC， ∴∠DAC＝∠EBC， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DCA+∠DAC＝90°， ∴∠EBC+∠DCA＝90°， ∴∠BGC＝180°﹣（∠EBC+∠DCA）＝180°﹣90°＝90°， ∴AC⊥EH； （2 ）解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，AB＝4 ， ∴BD＝AD＝4， ∵⊙O的直径等于5， ∴CD3， ∵∠DAC＝∠CBG，∠ADC＝∠BGC＝90°， ∴△ADC∽△BCG， ∴， 即 ， 即 ， 解得：CG， ∴AG＝AC﹣CG＝5． 13.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE． （1）求EM的长； （2）求sin∠EOB的值． 【解答】解：如图，（1）∵DC为⊙O的直径， ∴DE⊥EC（1分） ∵DC＝8，DE ∴EC 7（2分） 设EM＝x，由于M为OB的中点， ∴BM＝2，AM＝6， 由相交弦定理AM•MB＝EM•CM，（3分） 即6×2＝x（7﹣x），x2﹣7x+12＝0 解这个方程，得x1＝3，x2＝4 ∵EM＞MC ∴EM＝4；（5分） （2）∵OE＝EM＝4 ∴△OEM为等腰三角形 过E作EF⊥OM，垂足为F，则OFOM＝1 ∴EF ∴sin∠EOB．（8分） 14.如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，连结BE交AC于点F． （1）若∠DCB＝2∠DAB，求∠EFA的度数． （2）如图2，连接FD，若AF＝FC． ①求证：FE＝FD． ②求证：DC•AB＝AD•BC． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠DCB＝2∠DAB， ∴2∠BAD+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝60°， ∵∠DEB＝∠BAD， ∴∠DEB＝60°． ∵DE∥AC， ∴∠EFA＝∠DEB＝60°； （2）①证明：连接AE，如图， ∵DE∥AC， ∴， ∴AE＝CD，， ∴， ∴∠EAC＝∠DCA． 在△EAF和△DCF中， ， ∴△EAF≌△DCF（SAS）， ∴FE＝FD． ②证明：连接AE，延长DF交⊙O于点G，连接CG，BG，AG，如图， 由（2）①知：△EAF≌△DCF， ∴∠AEF＝∠CDF， ∴， ∴AB＝CG，， ∴， ∴AG＝BC，∠ACG＝∠BGC， ∵∠CDG＝∠CAG，∠DFC＝∠AFG， ∴△DFC∽AFG， ∴， ∴． ∵∠ADG＝∠ACG，∠AFD＝∠GFC， ∴△ADF∽△GCF， ∴， ∴． ∵AF＝FC， ∴， ∴， ∴DC•AB＝AD•BC． 15.在△ABP中，∠B＝90°，点C在斜边AP上，以AC为直径的⊙O交BP于点E，F，连结FC． （1）如图1，若，连结OE，请判断线段FC和OE的数量关系和位置关系，并说明理由． （2）如图2，连结AE，AF，EC． ①求证：AB•AC＝AE•AF． ②若EA＝EP，si，PF﹣BF＝7，求PE的长． 【解答】（1）解：线段FC和OE的数量关系为：FC＝OE，位置关系为OE⊥CF，理由： 连接OF，OE，如图， ∵， ∴∠EOF＝∠COE＝30°， ∴∠COF＝60°， ∵OF＝OC， ∴△OFC为等边三角形， ∴FC＝OF＝OC， ∵OE＝OC， ∴FC＝OE． ∵OE为半径，， ∴OE⊥FC； （2）①证明：∵AC为直径， ∴∠AFC＝∠AEC＝90°， ∴∠CFE+∠AFB＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠AFB+∠BAF＝90°， ∴∠BAF＝∠CFE， ∵∠CFE＝∠EAC， ∴∠BAF＝∠EAC， ∵∠B＝∠AEC＝90°， ∴△BAF∽△EAC， ∴， ∴AB•AC＝AE•AF； ②解：过点C作CH⊥PB于点H，如图， 由①知：∠BAF＝∠EAC， ∵EA＝EP， ∴∠EAC＝∠P， ∴∠BAF＝∠P， ∵si， ∴sin∠P． ∵si， ∴设BFk，则AF＝10k， ∴AB3k， ∵PF﹣BF＝7， ∴PF＝7k， ∴PB＝PF+BF＝7+2k， ∵sin∠P， ∴， ∴PA＝30k， ∴PB9k＝7+2k， ∴k， ∴BF＝1，AB＝3，PF＝8，PB＝PF+BF＝9， ∴AF． ∵∠EFC＝∠EAC， ∴∠EFC＝∠P， ∴CF＝CP， ∵CH⊥PB， ∴PH＝FH， ∵∠EFC＝∠EAC＝∠BAF，∠CHF＝∠B＝90°， ∴△CFH∽△FAB， ∴， ∴CF， ∴CP＝CF． ∵PA3， ∴AC＝PA﹣PC． ∵sin∠CAE＝sin∠BAF， ∴CE， ∴AE5． ∴PE＝AE＝5． 16.已知，AB，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，且，连接BC，AD． （1）如图1，若AB是⊙O的直径，求∠C的度数． （2）如图2，求证：①CD＝CB． ②AE+AD＝BE． 【解答】（1）解：连接AC，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵， ∴∠BCD＝2∠ACD， ∴∠BCDBCD＝90°， ∴∠BCD＝60°． ∴∠C的度数为60°； （2）证明：①取的中点F，连接AC，AF，CF，如图， 则． ∵， ∴， ∴∠ACD＝∠DCF＝∠BAF， ∵CD⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠CAE+∠BAF＝90°， ∴∠CAF＝90°， ∴CF为⊙O的直径， ∵， ∴， ∴CD＝CB； ②在BE上取一点F，使EF＝AE，连接DF并延长交BC于点G，如图， ∵EF＝AE，CD⊥AB， ∴CD垂直平分AF， ∴AD＝DF， ∴∠A＝∠AFD， ∵∠AFD＝∠BFG， ∴∠BFG＝∠A， ∵∠A+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠B， ∴∠B+∠BFG＝90°， ∴∠BGF＝90°， ∴∠BGF＝∠CGD＝∠BEC＝∠AED＝90°． 在△CDG和△CBE中， ， ∴△CDG≌△CBE（AAS）， ∴CG＝CE， ∴CB﹣CG＝CD﹣CE， ∴BG＝DE． 在△ADE和△BFG中， ， ∴△ADE≌△BFG（ASA）， ∴AD＝BF． ∵BE＝EF+BF， ∴AE+AD＝BE． 17.如图，已知AB是⊙O的直径，CD，CE都是⊙O的弦，AB⊥CD于点G，CE交AG于点F，且，连结BE，分别交AD，CD于点H，K． （1）求证：BK＝DK． （2）若DK＝5，DH＝6，求⊙O的直径． （3）若点F在半径OA上，，请直接写出的值． 【解答】（1）证明：连接BD， ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴， ∵， ∴， ∴∠KBD＝∠KDB， ∴BK＝DK； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠KHD+∠KBD＝∠HDK+∠KDB＝90°， ∵∠KBD＝∠KDB， ∴∠KHD＝∠HDK， ∴BK＝DK＝HK， ∵DK＝5，DH＝6， ∴BH＝10，BD＝8， ∵， ∴∠BAD＝∠HBD， ∵∠ADB＝∠BDH， ∴△ADB∽△BDH， ∴， ∴； （3）解：连接FH，AE，OC， ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∵CG＝DG． ∵， ∴∠BDG＝∠FCG， ∵∠CGF＝∠DGB， ∴△CGF≌DGB（ASA）， ∴BG＝FG， ∵BK＝HK， ∴GK是△BFH的中位线， ∴FH∥CD， 设OF＝x，则OG＝2x， ∴BG＝3x，OC＝OB＝5x， ∴，， ∵， ∴∠BAD＝∠DCE， ∵∠AFE＝∠CFG， ∴∠ANF＝∠CGF＝90°， ∵∠AFN＝∠CFG， ∴△AFN∽△CFG， ∴， ∴， ∵， ∴∠FAN＝∠EAN， ∵AN＝AN，∠ANF＝∠ANE＝90°， ∴△FAN≌△EAN（ASA）， ∴NE＝FN， ∴， ∵∠ANF＝∠ADB＝90°， ∴FH∥CD， ∴， ∴． 18.如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在⊙O上，CD切⊙O于点C，BD⊥CD于点D，连结BC． （1）求证：∠ABC＝∠CBD． （2）若． ①求BC的长度． ②如图，点P在半径AO上，连结CP并延长交⊙O于点Q，且，连结QB，求证：QB＝QC． 【解答】（1）证明：⊙O是以AB为直径的圆，点C在⊙O上，CD切⊙O于点C，BD⊥CD于点D，如图1，连接CO． ∵CD切⊙O于点C， ∴CO⊥CD， ∵BD⊥CD， ∴CO∥BD， ∴∠OCB＝∠CBD． ∵CO＝BO， ∴∠ABC＝∠OCB＝∠CBD． （2）解：①连接AC．如图2， ∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ABC＝∠CBD， ∴△ABC∽△CBD， ∴， ∵AB＝10，， ∴BC＝8． ②法一：连接CA，延长QO交BC于H，作CM⊥AB交AB于M，QN⊥AB交AB于N，如图3， ∵CM⊥AB，QN⊥AB， ∴∠CMA＝∠QNO＝90°． 又∵∠CPM＝∠QPN， ∴△CPM∽△QPN， ∴， 设CM＝6x，则QN＝5x， ∵AB＝10，BC＝8，⊙O是以AB为直径的圆， ∴∠ACB＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， ∴∠CAM＝∠QON， ∴CA∥QH． ∵AC⊥CB，QH过圆心O， ∴QH⊥CB且QH平分CB， ∴QB＝QC； 法二：连接CA，在PB上取一点G，使得，连接QG并延长交BC于H， ∵，∠CPA＝∠QPG， ∴△CPA∽△QPG， ∴∠CAP＝∠QGP， ∴CA∥QH． ∵AB＝10，BC＝8，⊙O是以AB为直径的圆， ∴∠ACB＝90°， ∴， ∵， ∴QG＝5＝QO， ∴Q点与O点重合， ∵AC⊥CB，QH过圆心O， ∴QH⊥CB且QH平分CB， ∴QB＝QC． 19.如图1，在⊙O中，AB与CD是点O异侧的两条弦，AB＞CD，且AB∥CD，连结AD，与BC交于点E． （1）求证：AE＝BE． （2）如图2，连结OE并延长，与BD的延长线交于点F，连结OA．求证：∠F＝∠OAE． （3）在（2）的条件下，若，求的值． 【解答】（1）证明：由圆周角定理推论可得∠A＝∠C， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠B， ∴∠A＝∠B， ∴AE＝BE． （2）证明：连接OB，如图2所示， 由题意可知点O为△ABD的外心，从而有OA＝OB， 又AE＝BE，OE＝OE， 则易证△AOE≌△BOE，OF必为∠AOB的平分线， ∴∠AOE＝∠BOE， 又∵∠BOE＝180°∠AOB＝180°﹣∠ADB， ∠EDF＝180°﹣∠ADB， ∴∠BOE＝∠EDF， 即∠AOE＝∠EDF， ∵∠AEO＝∠FED， 根据三角形内角和性质可得∠F＝∠OAE． （3）解：由（2）知，∠AOE＝∠BOF，∠F＝∠OAE， ∴△OAE∽△OFB， ∴， ∵，则设OE＝x，EF＝2x， ∴OF＝3x， 设OA＝OB＝r， 故，解得x， 故． 20.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F． （1）求的值； （2）求证：△AEB∽△BEC； （3）求证：AD与EF互相平分． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直径， ∴AC＝2AO， ∵∠BAC＝90°， 在Rt△AOC 中，， ∵AE⊥OC， 在Rt△AOE 中，， ∴， ∴； （2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1， ∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°． ∵AO＝BO， ∴△AOE≌△BOM（AAS）， ∴AE＝BM，OE＝OM， ∵， ∴BM＝2OE＝EM， ∴∠MEB＝∠MBE＝45°， ∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°， ∠BEC＝180°﹣∠MEB＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABM＝∠CBE， ∴∠BAE＝∠CBE， ∴△AEB∽△BEC； （3）连接DE，DF．如图2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴BC＝2BD，∠DAB＝45°， 由（2）知，△AEB∽△BEC， ，∠EAO＝∠EBD， ∴△AOE∽△BDE， ∴∠BED＝∠AEO＝90°， ∴∠DEF＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴AF∥DE， 由（2）知，∠AEB＝135°， ∴∠AEF＝180°﹣∠AEB＝45°． ∵∠DFB＝∠DAB＝45°， ∴∠DFB＝∠AEF， ∴AE∥FD， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AD与EF互相平分． 21.如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，连结AE． （1）求证：△ADE是等腰三角形． （2）如图2，已知AD为⊙O的切线，连结AO并延长交BE于点G． ①求证：； ②若，求cosD的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠D＝∠B， ∵四边形AECB为圆的内接四边形， ∴∠AED＝∠B， ∴∠AED＝∠D， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； （2）①证明：过点A作AH⊥DC于点H，如图， 由（1）知：AD＝AE， ∵AH⊥DC， ∴∠DAH＝∠EAHDAE． ∵AD为⊙O的切线， ∴OA⊥AD， ∴∠DAH+∠HAG＝90°． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AH⊥DC， ∴AB⊥AH， ∴∠BAG+∠HAG＝90°， ∴∠DAH＝∠BAG， ∴∠BAGDAE； ②过点B作BF∥AE，交AG的延长线于点F，设AF交BC于点M，连接OB，如图， ∵BF∥AE， ∴△AEG∽△FBG， ∴， 设AE＝3k，则BF＝2k， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，BC＝AD， 由（1）知：AD＝AE， ∴BC＝AE＝3k． 由（2）①知：OA⊥AD， ∴OM⊥BC， ∴BM＝CMBC， ∴MFk， ∵∠BAGDAE，∠BAGBON， ∴∠BON＝∠DAE． ∵∠DAE+∠EAF＝90°， ∴∠BON+∠EOF＝90°． ∵BF∥AE， ∴∠EAF＝∠F， ∴∠BON+∠F＝90°，即∠OBF＝90°， ∵OF⊥BC， ∴△FBM∽△FOB， ∴， ∴， ∴FOk． ∴OM＝FO﹣FMk， ∴OA＝OBk， ∴AM＝OA+OMk， ∴AB3k． ∴cosB． ∵∠D＝∠B， ∴cosD． 22.如图1，AE是⊙O的直径，DC⊥BC，AB＝EC，BE＝DC． （1）求证：AE⊥ED． （2）连结AD交⊙O于K，连结BK，求证：BK平分∠ABE． （3）如图2，M为ED上一点，连结AM交⊙O于F，过F作FH⊥BC交ED于G，MN⊥BC，若，AB＝3，BN＝4，求FG的长． 【解答】（1）证明：∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°． ∵DC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∴∠ABE＝∠C＝90°． 在Rt△ABE和Rt△ECD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ECD（SAS）， ∴∠BAE＝∠DEC， ∴∠DEC+∠AEB＝90°， ∴∠AED＝180°﹣（∠DEC+∠AEB）＝90°， ∴AE⊥ED； （2）证明：由（1）知：Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴AE＝ED， ∵∠AED＝90°， ∴△AED为等腰直角三角形， ∴∠EAD＝45°， ∴∠KBE＝∠EAD＝45°， ∵∠ABE＝90°， ∴∠KBE＝∠ABK＝45°， ∴BK平分∠ABE； （3）解：过点E作EK∥FH，交AM于点K，连接EF，如图， 由（1）知：∠BAE＝∠DEC， ∵MN⊥BC， ∴∠MNE＝90°， ∵∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠MNE， ∴△ABE∽△ENM， ∴， ∵， ∴， ∴EN＝BE， ∵BN＝4， ∴BE＝EN＝2， ∴AE，DC＝BE＝2， ∴ED＝AE． ∵AB＝3， ∴EC＝AB＝3， ∵MN⊥BC，DC⊥BC， ∴MN∥DC， ∴△EMN∽△ECD， ∴， ∴MN，EM． ∴AM． ∵AE是⊙O的直径， ∴∠AFE＝90°， ∴EF⊥AM， ∵AE⊥ED， ∴， ∴EF2，FM， ∴EF＝BE， ∴， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵EK∥FH， ∴∠KEA＝∠BAE， ∴∠KEA＝∠FAE， ∴∠FAE+∠AME＝90°，∠KEA+∠KEM＝90°， ∴∠KEM＝∠AME． ∵FH⊥BC，AB⊥BC， ∴AB∥FH， ∴FH∥EK， ∴∠FGM＝∠KEM， ∴∠FGM＝∠AME， ∴FG＝FM． 23.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC是钝角，以AB为直径的圆与边BC交于点D，与CA延长线交于点E，连结DE交AB于点G． （1）求证：DE＝BD． （2）记，，k1与k2之间是否存在确定的数量关系？若存在，请求出该关系；若不存在，请说明理由． （3）若点G关于BC的对称点G′在以AB为直径的圆上，请探究点G是否是△AG′E的某个“心”（重心、外心或内心）？并证明你的结论． 【解答】（1）证明：连接AD． ∵AB为直径， ∴∠BEA＝∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴D为BC的中点． ∴DE＝BD． （2）解：如图2，过点G作GH∥BC交EC于点H． 在△EDC中，， 在△ABC中，， ∵BC＝2DC， ∴k1＝2k2； （3）解：内心．证明如下： 如图，作点G关于BC的对称点G'，连接EG'，BG'，AG'，DG'， 由图可知：△BGD与△BG′D关于BD对称， ∴∠ABD＝∠G′BD，∠EDB＝∠G'DB． ∴，， ∴∠AED＝∠G′ED，∠EAB＝∠G′AB， 即ED是∠G′EA的角平分线，AB是∠G′AE的角平分线． ∵ED与AB相交于点G， ∴点G是△AG′E的内心． 1 学科网（北京）股份有限公司 $