空间点、线、面的位置关系-黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》第59卷 教师讲解卷

编写说明：黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。本套试卷共70份。 本卷是黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》的第59卷。 黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》 第59卷 空间点、线、面的位置关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 【答案】D 【分析】由线线的位置关系即可求解. 【详解】如果一条直线和两条异面直线中的一条平行， 则它与另一条不可能平行，只可能相交或异面. 故选：D 2．如图，已知正方体，下列符号语言表达正确的是（    ）    A．点直线 B．点直线 C．点平面 D．点平面 【答案】A 【分析】由点，线，面的符号表示即可得解. 【详解】由点与直线和平面的位置关系可知. 点直线，故选项正确，选项错误. 点平面，故选项错误. 点平面，故选项错误. 故选：. 3．如图所示，在三棱锥中，点、分别是、的中点，点、分别是、的中点，则直线与直线的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交但不垂直 C．相交且垂直 D．以上都不正确 【答案】A 【分析】 根据平行的公理即可求解. 【详解】因为点分别是的中点， 所以. 又因为分别是的中点， 所以. 所以. 故选：A 4．如果直线与平面内两条相交直线都垂直，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．直线在平面内 【答案】B 【分析】根据直线与平面垂直的判定定理求解即可. 【详解】如果直线与平面内两条相交直线都垂直， 那么根据直线与平面的判定定理，直线与平面的位置关系是垂直. 故选：B. 5．下列选项中，一定能得出直线与平面平行的是（   ） A．直线在平面外 B．直线与平面内的两条直线平行 C．平面外的直线与平面内的一条直线平行 D．直线与平面内的一条直线平行 【答案】C 【分析】根据直线与平面平行的判定定理求解. 【详解】A选项，因为直线在平面外也包括直线与平面相交，故A不符合题意； B，D选项，因为缺少条件；故B与D不符合题意； C选项，由直线与平面平行的判定定理，平面外的直线与平面内的一条直线平行，知直线与平面平行，故C符合题意. 故选：C. 6．“如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”可用符号表示为（    ） A．，，且， B．，，且， C．，，且， D．，，且， 【答案】B 【分析】点和直线的关系是“”和，直线和平面的关系是和 【详解】∵、是点，直线、平面是集合，所以点和直线之间是，直线和平面之间是，因此B选项正确. 故选：B 7．如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，，不共面 C．，，，不共面 D．，，，共面 【答案】A 【分析】连接，，易证平面，平面，由公理3，可知，，三点共线. 【详解】如图，连接，， 因为， 所以，，，四点共面， 所以平面. 因为， 所以平面. 又因为平面， 所以点在平面与平面的交线上. 同理，点，也在平面与平面的交线上， 所以，，三点共线，故A正确，BC错误， 因为 所以四点共面， 又，平面， 所以直线平面， 所以平面，故D错误. 故选：A. 8．在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行的传递性，异面直线所成角的知识，解三角形，最后求解所成角大小即可. 【详解】 连接， 在正方体中，分别是的中点， 所以， 所以， 则异面直线与所成角为， 因为，即为等边三角形， 所以. 故选：C. 9．如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列判断不正确的是（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质即可求解. 【详解】对A：因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故A正确； 对C：由平面，由平面，则， 又因为，为的中点，所以， 因为，平面，从而平面，故C正确； 对B：因为平面，平面，所以，故B正确； 对D：在平面中，，所以与不垂直， 所以不垂直于平面，故D不正确. 故选：D. 10．已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将沿对角线AC折起，使得平面平面ADC（如图），则下列命题中正确的为（    ） A．直线直线CD，且直线直线BD B．直线平面BCD，且直线平面BDE C．平面平面BDE，且平面平面BDE D．平面平面BCD，且平面平面BDE 【答案】C 【分析】由直线直线不成立，知A错误. 由直线平面不成立，故B错误. 由平面平面，且平面平面，知C正确. 由平面平面不成立，知D错误. 【详解】由题可知，平面平面.平面平面. 所以平面.因为平面.所以 若则平面. 因为平面即.显然直线不垂直，故假设不成立. 所以直线直线不成立，故A错误； 若平面，且平面，则. 事实上，不成立，所以直线平面不成立，故B错误； 因为为的中点.所以. 平面平面，平面平面，平面. 所以平面.因为平面. 所以平面平面. 因为平面，平面. 所以平面平面，故正确. 如下图所示，取的中点，连接. 因为，为的中点.所以. 若平面平面.平面平面，平面. 所以平面.因为平面.所以. 因为，且.所以平面. 因为平面.所以. 事实上，与不垂直.故假设不成立. 所以平面平面不成立，故错误. 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．两条异面直线所成的角的取值范围是 ．（用弧度表示） 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解. 【详解】由异面直线所成角的定义可知，把异面直线平移到同一点处， 它们所成的锐角或直角就是异面直线所成的角， 即两条异面直线所成的角的取值范围是. 故答案为：. 12．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条直线的位置关系是 . 【答案】异面或相交 【分析】利用空间中线线、线面的位置关系即可判断两直线可能存在的位置关系. 【详解】一条直线与两条异面直线中的一条平行， 则它和另一条的位置关系可能相交，可能异面， 但不能平行，如果平行，那么已知直线必然平行，与已知相矛盾． 故答案为：异面或相交. 13．如图，在正方体中，直线与平面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据题意找出对应的线面角，根据图形求解即可. 【详解】由正方体的性质可知，平面， 则即为直线与平面所成的角， ∵，∴， ∴直线与平面所成角的大小为. 故答案为:. 14．在正方体中，直线与平面的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】在正方体中，平面，平面，所以. 又，平面，所以平面． 故答案为：垂直. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．如图所示，已知直角三角形的直角边的长分别是平面，求二面角的大小． 【答案】 【分析】作斜边上的高AD，连接PD，证明线线垂直，可得就是二面角的平面角，通过勾股定理及三角形面积的不同计算方法求得的正切值，即可求解二面角. 【详解】作斜边上的高AD，连接PD， 因为平面ABC，平面ABC， 所以，， 又因为，，平面PAD， 所以平面PAD，平面PAD， 所以，又因为， 则就是二面角的平面角， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以在直角三角形中，， 所以， 即二面角为. 16．在中，，平面，已知，是的中点，求与平面所成角的正切值. 【答案】 【分析】由线面角的定义即可得解. 【详解】    连接.平面. 即是直线与平面所成的角. 又在中，. .又是的中点. .在中，. . 17．如图所示，在与同侧，过M作直线a与b，直线a分别与平面相交于，直线b分别与平面相交于． (1)判断直线与直线是否平行； (2)如果，求的长． 【答案】(1)平行 (2) 【分析】（1）判断直线与直线是否平行，可以利用两个平面平行的性质判断即可． （2）在平面中，利用初中学习的平行线的性质，可以求出线段的长． 【详解】（1）解：因为， 又平面与平面相交于直线，平面与平面相交于直线． 由两个平面平行的性质，知． （2）在平面中，因为， 则， 所以， 故． 18．四边形是正方形，平面，.证明 (1)平面 (2)平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定与性质定理即可得证. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面. （2）因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。本套试卷共70份。 本卷是黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》的第59卷。 黑龙江省春季高考《数学考点双析卷》 第59卷 空间点、线、面的位置关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 2．如图，已知正方体，下列符号语言表达正确的是（    ）    A．点直线 B．点直线 C．点平面 D．点平面 3．如图所示，在三棱锥中，点、分别是、的中点，点、分别是、的中点，则直线与直线的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交但不垂直 C．相交且垂直 D．以上都不正确 4．如果直线与平面内两条相交直线都垂直，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．直线在平面内 5．下列选项中，一定能得出直线与平面平行的是（   ） A．直线在平面外 B．直线与平面内的两条直线平行 C．平面外的直线与平面内的一条直线平行 D．直线与平面内的一条直线平行 6．“如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”可用符号表示为（    ） A．，，且， B．，，且， C．，，且， D．，，且， 7．如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，，不共面 C．，，，不共面 D．，，，共面 8．在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列判断不正确的是（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面 10．已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将沿对角线AC折起，使得平面平面ADC（如图），则下列命题中正确的为（    ） A．直线直线CD，且直线直线BD B．直线平面BCD，且直线平面BDE C．平面平面BDE，且平面平面BDE D．平面平面BCD，且平面平面BDE 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．两条异面直线所成的角的取值范围是 ．（用弧度表示） 12．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条直线的位置关系是 . 13．如图，在正方体中，直线与平面所成角的大小为 ． 14．在正方体中，直线与平面的位置关系是 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．如图所示，已知直角三角形的直角边的长分别是平面，求二面角的大小． 16．在中，，平面，已知，是的中点，求与平面所成角的正切值.    17．如图所示，在与同侧，过M作直线a与b，直线a分别与平面相交于，直线b分别与平面相交于． (1)判断直线与直线是否平行； (2)如果，求的长． 18．四边形是正方形，平面，.证明 (1)平面 (2)平面 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $