第20章 勾股定理综合测试-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（人教版·新教材）吉林专版

八年级数学·下册 专版 学卧 第二十章综合测试 满分：120分 那 题 二 三 总分 得 分 装 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题3分， 共18分) 翼订 1若3,4，a为勾股数，则a的相反数的值为 ( A.-5 B.5 C.-5或-万 D.5或7 2中国象棋因趣味性强，深受大众喜爱，若如图所示的部分棋盘是由边 长为1的小正方形组成的，则“车”“帅”两棋子间的距离为( 线 A.1 B.3 C.25 D.√10 楚河 汉界 北 T 救 」L 西 东 内 F 0 炮 “路 B 师 南 C 8 m 2题图 3题图 4题图 3如图，在水塔0的东北方向24m处有一抽水站A,在水塔的东南方向 不 18m处有一建筑工地B,在AB间建一条笔直的水管，则水管AB的长 为 A.40m B.45m C.30m D.35m 要 4如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草. 他们少走的路长为 () A.2m B.3m C.3.5m D.4m 答5如图，在用6个边长均为1的小正方形构成的网格图中，∠α，∠B的 顶点均在格点上，则∠α+∠B= () A.75° B.60° C.45° D.30° C 题 M B A E 5题图 6题图 6如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°， △ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.若AD=3AE,则AC AE的值为 A.0 B.10 C.⑤ D.5 2 二、填空题（每小题3分，共15分） ⑦直角三角形的斜边比一条直角边长8，另一条直角边的长为12，则该 直角三角形的斜边长为 8如图，在Rt△AOB中，∠BAO=90°，AB=1,点A恰好落在数轴上表示 -2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P,使 点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是 .B-3,3) ↑y B A0,1) -2 8题图 9题图 9如图，一束光线从y轴一点A(0,1)出发，经过x轴上点C反射后经过 点B(-3,3),则光线从点A到点B经过的路线长是 10对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂 美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AB=6,CD=10,则 AD2+BC2= E 10题图 11题图 1I如图，在△ABC中，CE是AB边的中线，CD⊥AB于点D,若AB=5,BC =4,AC=6,则DE的长是 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12(6分)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫 格点。 (1)在图①中，AB=√5，以格点为端点，画线段MN=√13； (2)在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD,使它的面积为10. B: -- 12题图① 12题图② 一3 13(6分)小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所 示)的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长 度.小东经测量得知AB=AD=5m,∠A=60°，BC=12m,∠ABC= 150°.小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度.你同意小明 的说法吗？若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由. B C 2 13题图 14(6分)如图，∠A0B=90°，0A=45cm,0B=15cm,一机器人在点B 处看见一个小球从点A出发沿着A0方向匀速滚向点O,机器人立即 从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球. 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的 路程BC是多少？ C 14题图 15(7分)如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3,沿过 点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸 片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E,求AE的长， c 15题图 16(7分)如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳0A与地面 垂直，摆绳长2m,向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m,摆动 水平距离BD为1.6m,然后向后摆到最高点C处.若前后摆动过程 中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，求小丽在C处时距离地面的 高度 0 --iD A: 16题图 17(7分)如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB,AC分别 交于E,D两点，且CB2=AD2-CD2 (1)求证：∠C=90°； (2)若AC=4,BC=3,求CD的长 D 17题图 18(8分)如图，一架梯子AC的长为2.5m,斜靠在一面墙上，梯子底端 离墙0.7m. (1)这架梯子的顶端离地面有多少米？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为m,底端到垂直墙面的距离为n, =a,根据经验可知：当2.7<a<5.6时，梯子最稳定，使用时最 n 安全.若梯子的顶端下滑了0.4m,请问这时使用是否安全，并说 明理由： 4' C C' 18题图 19(8分)定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM, MW,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的 勾股分割点 (1)若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,则点M,N是线段AB的勾股分割 点吗？请说明理由； (2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB= 30,AM=5,求BN的长. M 19题图 20(10分)如图，长方形ABCD中，AB=8,BC=10,在边CD上取一点E, 使得将△ADE沿AE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处， (1)求CE的长； (2)在(1)的条件下，BC边上是否存在一点P,使得PA+PE的值最 小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。 20题图 21(10分)（广东中考）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著 作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直 角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c为一组“勾股数”.如 表中的每一组数都是勾股数. 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,11319,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10,-,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1)请补全上表中的勾股数； (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表 示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明； 4 (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案 是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种 花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距 离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地 最少需要种植多少株花？ 21题图 22(12分)如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开 始沿边AB向点B以每秒1c的速度移动，点Q从点B开始沿边BC 向点C以每秒2cm的速度移动.若P,Q两点分别从点A,B同时出 发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动. (1)经过6s后，BP= cm; (2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ (3)经过几秒△BPQ的面积等于10√3cm? D 22题图参考答案及解析 第十九章综合测试 12.解：(1)如答图①，线段MN即为所求（面法不唯一）. .0E=BD=1.6mEF=0F-0E=2.5-1.6=0.9(m) 1.B2.C3.C4.C5.B 19.解：(1)把A=80米代人公式A=2g,得80=之×10. (2)如客图②，正方形ABCD即为所求（画法不难一） 即小丽在C处时距离地面的高度是0,9m 解得：=4（负值舍去）. D【解折：b>0后=ax-压故 -a 客：一个物品从8即米的高楼坠落到地面大约需要4秒 D 200 (2)根据题意，得h=Q5X10=40(米)， B 7.1(或2)&609.-2a10.7 把A=40米代人A7,得40=号×10 A 11./5-w3 [解析]√18-65=√18-2√45 12题答图① 12图2 解得t=22(负值会去)， 13.解：同意小明的说法.理由如下： 16题客图 15+3-2/15x3=√(/15-3)=√/15-5. “,t=2.8秒. 如答图，连接BD 17.(1)证明：如答图，连接BD. 12.解：)原式=5v万×5×反=10 答：该物品坠落到地面用了约2.8秒 AB=AD=5m,∠A=60°， :AB边上的垂直平分线为DE,AD=BD, 20.解：(1)22 ,△ABD是等边三角形，BD=5m,∠ABD=60 CB2 =AD CD'..CB BD CD',.C=90 (2)原式=(6,5-号5+4)+25=5万+25=4 (2):2+5与4+3m是关于2的共轭二次根式， ∠ABC=150°，÷LDBC=90 13.解：原式=a+b)(a-b)42ab-2- ∴.(2+5)(4+3m)=2. BC=12 m.BD =5 m, a 2(2-5) CD=√/BC+BD=/12+5=13(m) 2 (a5(a-5)- 4+5m2+52+24-25. 容：CD的长度为13m m=-2. 当a=1+2,b=1-2时， 21.解：(1)x≤-1 17题香 赋提语清号 (2)由数轴，得a<b<0<e,c-a>0,b-e<0, (2)解：设CD=x,则AD=BD=4- 13题答图 .原式=lal-(e-a)+lb-el=-a-e+a-b+c=-b 在RI△BCD中，BD-CD=BC2, 14.解：因为(25-32)=(25)3-2×25×32+(32) 14.解：，小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间 2解万67-6 相等。 (4-)-=,解得x=景 =30-126. .BC=CM.设AC=xcm,则OC=(45-x)cm 所以30-126=m-6 1 232+m32-m 由勾股定理可知0B+OC2=BC 6D的长为g 因为m,4为有理数，所以m■30，n=12 152+(45-x)2=x2,解得x=25 18.解：(1)由题意可知∠B=90°，AC=2.5m,BC=0.7m, 15.解：16<19c√25， (3)++后aT-后 答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机 ÷AB■AC-BC2=5.76,AB=24m .4<19<5,.2<19-2<3, 器人行走的路程BC是25m 即这架梯子的顶端离地面有24m高 第二十章综合测试 ∴.a=2,6=/19-4, 15.解：由折叠可知∠B■∠ADB,∠CDE■∠C,AD■AB■2， (2)这时使用不安全.理由如下： 1.A2.C3.C4.D5.C 由题意，得A4'=0.4m 3 六6+4+2a 7m42x2高4g 3 CE =DE. 6.D[解析]：△AGB与△CD都是等腰直角三角形，∴，∠ECD= ∠BAC=90°，∠B+∠C=90, 在Rt△A'BC中，A'B=AB-AM'=2.4-0.4=2(m),A'C= ∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC,AG=BC 16.解：(1)①(5+2)2=3+4②1，万-21=3-2 .∠ADB+∠CDE=90°，∴.∠ADE=90 2.5m AC+BC=AB,.2AC=AB,∠ECD-LACD=∠ACB-∠ACD 设AE■，则DE=CE=3-x BC=1.5m, ③，V27×3=9 AC=BC, 在R△ADE中，由勾股定理，得AD+DE=AE ∴.∠ACE=∠BCD.在△AEC和△BDC中，∠ACE=∠BCD g=话号<27， 2)原式=4×号-√27×写-(3+4,5+4)+(2- LEC=DC, 即2+(3-=解得名即A6号 :.这时使用不安全 ∴.△AEC≌△BDC(SAS),∴.AE=BD,∠E=∠BDG,∴∠BDC 16.解：如答图.过点C作CE⊥04于点E.则∠0EC=90 19.解：(1)点M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下： =22-3-7-43+2-3=22-8-53. =45°，∴∠BDC+∠ADC=90°，p∠ADB=90°，AD+BD ∠B0C=90P,∴∠B0D+∠C0E=90 AMM+BW2=2.52+62=42.25,MN2=6.52=42.25. 17.解：因为当x=4时，代数式x2+2x+n-2的值为-1， =AB,..AD +AE 2AC.AD =3AE,.10AE =2AC 由题意可知OA=0B=0C=2m,BD=1.6m,DF=L,3m, .AM+NB'MN, 所以a2+2a+n-2=-1, BD⊥OA,∴∠BD0=90 ∴.以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形 所以(a+1)2+m-2=0. 0D=√OB-BD=√2-1.6=1.2(m) ∴.点M,N是线段AB的勾股分割点. 所以a=-1,n=2, 7.138.-59.510.136 .0F=0D+DF=1.2+1,3=2.5(m) (2)设BN=x,则MN=AB-AM-BN=25-x 所以当x=-a时，x+2x+a-2=(-a)2-2a+n-211.2[解析]设D=x(0<x<5),则AD=5-x:CD⊥AB于 ∠BD0=90°，∠BOD+∠OBD=90°， ①当MN为斜边时， =12+2+0=3 点D,△ACD和△BCD都是直角三角形，根据勾股定理，得 ∴，∠COE=∠OBD. 依题意，得MN=AM+NB, 18.解：x,y都是实数 CD=AC AD CD BC -BD,..AC AD=BC- 在△OBD和△COE中， (25-x)2=25+x2,.x=12 8 60,即62-(5-)2=4-x2,解得x=0.5.又CE为AB r∠BD0=∠OEC=90° ②当BW为斜边时， 边的中线A=E=4B=x5=25,DE=E-BD ∠OBD=∠COE 依题意，得BN=AM+MW, y<分…原式山 OB=CO, x2=25+(25-x)2.,x=13. =2.5-0.5=2. ,△OBD≌△COE(AAS), 综上所述，BN的长为12或13. 19 20.解：(1)：长方形ABCD中，AB=8.BC=10, 下面说明这是符合种最少要求的三角形三边长 六∠B=∠BCD=90°，CD=AB=8,AD=BC=10 设符合要求的三边长为20，P,4,则20≤p,且20≤9，当P或( BC.CE_6x巨-后在R△FCE中，根据勾度定理，得 在△ADF和△EAB中 BE 22 ∠DAF=∠AEB, 由折叠知EF=DE,AF=AD=I0, =20时，不符合勾股数的要求， ∠DFA=∠B, 在R△ABF中，根据勾股定理，得BF=√AF-AB=6, “P,9至少是21，不妨设p<g,则有4=p2+20 LAD =EA, CF=BC BF=4. 即g=√p+20 B-B=2-5-.32，-6在△FOG中，根据 △ADF9△EAB(AAS),∴DF=AB 设CE=x,则EF=DE=CD-CE=8-x 由q的解析式可知P越大，9越大，反之则有P越小，9超小 (2)解：：∠DFA=90°，∠FAD=30°，.AD=2DF 在Rt△ECF中，根据勾殷定理，得CF+CE=E 又当p=21时，恰有q=29,20,21,29是符合种最少 股定理，得0F3-5 .DF=AB=4,..AD=8. 16+x2=(8-x)2,x=3,CE=3 求的三角形三边长 2 17.(1)证明：0，D分别是边AB,BC的中点， (2)如答图，延长EC至点E使CE=CE=3,连接AE交BC 此时一个三角形边上种20+21+29=70（株） .OD是△ABC的中位线，OD∥AC 于点P,连接PE,此时PA+PE的值最小，最小值为AE的长 故4个三角形最少需种4×70=280（株）》. :AE∥BC,四边形AEDC是平行四边形 ,CD=8..DE=CD+CE=8+3=11. 22.解：(1)6 AE CD. :D是边BC的中点， 在H△ADE中，根据勾股定理，得AE=√A厅+DE=√2 (2)经过6：或号，后，△BPQ是直角三角形， .BD CD,..AE BD, D (3)如答图，过点Q作QD⊥AB于点D, 山题答图 “.四边形AEBD是平行四边形， .∠QDB=90°，，∠DQB=30 12.解：设对角线AC和BD交于点O (2)解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形.证明如下： :四边形ABCD为菱形，∠ABC=120° DB=2B0=元 AB=AC,D是BC边上的中点， .∠ADB=∠CDB=60°.AC⊥BD, .AD⊥BC.∠ADB=90 20题答图 在R△DBQ中，由勾股定理， ∴，△AOD为直角三角形，∠DA0=30. 由(1)可知，四边形AEBD是平行四边形 21.解：(1)24 得DQ=3x, 菱形周长为80，AD=80÷4=20,0D=10 ,平行四边形AEBD是矩形 (2)①根据表中数据(3,4,5)，(4,3,5)，(5,12,13).(7,24， 12-Bx=105, 根据勾股定理可得0A=√AD-0D=105, 18.(1)证明：E为对角线AC上的中点，BE⊥AC, 25),(8,15,17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85) 2 根据菱形的性质可得AC=20A=203， ,BE垂直平分AC,,AB=BC (15,112,113),(16,63,65),(17,144,145),(19,180,181), 解得1=10，=2. 四边形ABCD是平行四边形 (20,21,29)的规律能用含字母n,m(m>,且，m均为正整 即小路AC的长为205m 当x=10时，2x>12,故含去，x=2, ,口ABCD是菱形 数)的代数式表示三角形的三边设为a=m2-n2,b=2mm,c 则经过2秒△PQ的面积等于103m2 13.解：∠A=∠E=号×180×(5-2)=108 (2)解：BE=EF,∴.∠EBF=LEFB =m2+n2, 第二十一章综合测试 ∴∠AMN+∠EWW=360°-∠A-∠E=144° CF=CE,∠CEF=∠CFE, 证明：a2=(m2-n2)2=m-2m2n2+n, 1.D2.A3.B4.D5.A ∠1=∠AMW,∠2=∠ENM, .:.∠BGE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF 62=(2mn)2=4m2n2, 6.B[解析]：四边形ABCD为正方形，AB■AD▣DC,∠D .∠1+∠2=∠AMN+∠ENM=144 ∠BEC=90°，.∠CBE=30°，∠BCM=60 a2+62=m+2m2m2+n. =∠RAD=90°，CE=DF,DE=AF,△DEA≌△AFB, 14.证明：如答图，连接CE,AF, :.∠ACB=∠ACD=60°， 2=(m2+n2)2mm+2m2m2+n2 .AE=BF,∠DEA=LAFB.又LDEA+∠DAE=90 .∠DCF=180-60°-60°=60 ,四边形ABCD是平行四边形 a2+63=c2 ∠AFB+∠DAE=90°，∠AOF=90°，即AE⊥BF由 .∠BCE=∠DCF. ∴，FC∥AE,AB=CD 根据勾殷定理的逆定理，得a=m2-n2,b=2mn,c=m+n2 △DEA≌△AFB得Sa=Sam,S6aa-Saaw=San 又DF=BE,FC=AE, BC CD,CE CF 能够成为直角三角形的三边长； Sa0 Saw=Sgwr,所以正喷的是①，②，④，共3个. :四边形AECF是平行四边形， ∴.△BCE≌△DCF,∴.∠DFC=∠BEC=90 ②根据表中数据可知(6,8,10)，(9,12,15)，(21,28,35)分 故选B EF与AC互相平分 CF=CE=4..DF=3CF=43 别是(3,4,5)的2倍，3倍，7倍：(10,24,26)，(14,48,50)， (18.80.82),(22,120,122)分别是(5,12,13)，(7,24,25). 7.8849410.2g △DCF的面积=CF·0F=之×4x45=8,5 3 (9,40.41),(11,60,61)的2倍，经验算(9,40,41)满是 m3-n2,2mn,m2+n2 11.3-3 19.解：(1)：∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角 [解析]如答图，在BE上截取BG,使BC=CF,连接 ∴.∠3+∠4+∠5+∠6■360° 因此，表中数据能用含字母n,m,(m>n,且n,m,k均为正 OG.在正方形ABCD中，AC⊥BD,∠ABC=∠BCD=90°，AC ∠3+∠4=360°-（∠5+∠6）. 14题答图 整数)的代数式表示三角形的三边，设为a=(m2-n2)k,b= =BD,B0=之D,C0=之AC,BD,CA分别平分∠ABC, 15.(1)证明：：四边形ABCD是正方形 ∠1+∠5■180°，∠2+∠6=180°， 2mnk,c =(m +n)k. ∴.AB=CB,∠ABD=∠CBD. .∠1+∠2=360°-（∠5+∠6） 证明：a2=[(m2-n2)k]2■m2-2m2n22+nR. ∠BCD,.B0=C0,LB0C=90°.∠0BC=∠OCD=450 又：BE=BE,.△ABE≌△CBE .∠1+∠2■∠3+∠4. 62=(2mnk)2=4mn2, :CF⊥BE,LCFE=90°，∠FEC+∠ECF=90 (2)解：：四边形ABCD是正方形 (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个 a2+=mk+2m2n22+n2 ∠EBC+∠FEC=9O°，六∠EBC=∠ECF,∠OBC ∴，∠BAD=90°，∠ADB=45 内角的和 c2=[(m2+m2)k]2=m2+2m2n2+ ∠EBC■∠OCD-LECF,∴∠OBG=∠OCF.在△OBG和 DE=DA,∠DAE=∠DEA, (3):∠B+∠C=240 a2+2=2 0B=0C, ∠DAE+∠DEA+∠ADE=18O° .∠MDA+∠NAD=240 根据勾殷定理的逆定理，得(m2-n2)k,2mnk,(m2+n2)k能 △OCF中，{∠OBG=∠OCF,∴.△OBG≌△OCF(SAS), ∴.∠DAE=∠DEA=67.5°， ,AE,DE分别是∠NAD.∠MDA的平分线。 够成为直角三角形的三边长，所以利用a=(m-)k,b= BG=CF, ,∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5 六∠DAE=74NAD,LADE=LMDA,. 2mn,c=(m2+n3)k能够表示出表中所有勾股数组. ∴，∠B0G=∠F0C,OG=0F,∴.∠GOC+∠G0F=∠G0C+ 16.(1)证明：在矩形ABCD中， (3)根据题意，当最短边种21株花时，最短边的长为(21 ∠BOG=0°.在R△BCE中，根据句殷定理，得BE= AD∥BC,∠B=90°，∠DAF=∠AEB. ∠DAE+∠ADE=之(LNMD+∠MDA)=120°， 1)÷1=20(m),由表格知可能的一种三边长为20,21,29. √BC+CE=V√(6)2+(2)2=22，BG=CF= 又DF⊥AE,∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B ∴∠E=180°-（∠DAE+∠ADE)=60 20