第3章 三视图与表面展开图（复习课件）数学浙教版九年级下册

单元复习课件 第3章 三视图与表面展开图 浙教版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 能够正确识别并绘制简单几何体（如柱体、锥体）的三视图，理解其投影原理，并掌握圆锥侧面积与展开图的对应关系，初步建立空间观念。 从三视图还原几何体的空间结构，特别是组合体的视图对应关系，以及圆锥侧面展开图中圆心角与底面半径、母线长的关系理解。 掌握三视图的绘制法则（长对正、高平齐、宽相等），并能根据三视图还原几何体形状。 单元学习目标 三视图与表面展开图 正投影 简单几何体三视图 投影 主视图 三视图 表面展开图 圆锥 圆柱的侧面展开图 简单图形的三视图 由三视图描述几何体 基本概念：平行投影，中心投影 俯视图 左视图 正方体的展开图 单元知识图谱 考点一、 投影 物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做________。 光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。由平行的投射线所形成的投射叫做___________。 可以把太阳光线、探照灯的光线看成平行光线，它们所形成的投影就是平行投影。 平行投影 投影 考点串讲 考点二、 简单几何体的三视图 主视图 三视图 物体在正投影面上的正投影叫做_______，在水平投影面上的正投影叫做俯视图，在侧投影面上的正投影叫做左视图。主视图、左视图和俯视图合称_______。产生主视图的投影线方向也叫做主视方向。 三视图不仅反映了物体的形状，而且反映了各个方向的尺寸大小。 画三视图遵循的法则:"长对正、高平齐、宽________" 相等 考点串讲 考点三、 简单几何体的表面展开图 πrl 1、圆柱的表面展开图:圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体;和转轴平行的一条边旋转所成的面就是圆柱的侧面，这条边不论转动到哪一个位置，都叫圆柱的母线，圆柱的侧面展开图是一个矩形，它的一组邻边长分别等于母线长和底面圆周长。 S圆=__________; S全=_________________; 考点串讲 考点三、 简单几何体的表面展开图 圆锥 1.______可以看做将一根直角三角形ACB绕它的一条直角边AC旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体。 直角边BC旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边AB旋转所成的面就是圆锥的侧面，斜边AB不论转动到哪个位置，都叫做圆锥的母线。 2.设圆锥的侧面展开图的圆心角为θ,则有: θ=________ 考点串讲 例1：  题型一、投影 中国古代的足球——蹴鞠(图1)不仅仅是一项具有悠久历史的体育运动,还是中国文化的重要组成部分.它的影响深远,为现代足球的发展奠定了基础.小林做了一个蹴鞠,如图2,蹴鞠在灯泡的照射下形成了影子,当蹴鞠竖直向下运动时,蹴鞠的影子的大小变化是 (　    )        A.越来越小　    B.越来越大 C.大小不变　    D.不能确定 A 解析　根据中心投影的性质,当蹴鞠竖直向下运动时,蹴鞠的影子会越来越小,故选A. 题型剖析 题型一、投影 投影方向先分清 ◦ 平行投影（光线平行）常用于三视图； 中心投影（光线交于一点）常用于透视与影子变化题。 题型剖析 变式： 题型一、投影    如图,身高1.6米的小明从距路灯的底部(点O)20米的点A处 沿AO方向行走14米到点C处,小明在A处时,头顶B在路灯投 影下形成的影子在M处. (1)已知灯杆垂直于路面,试标出路灯P的位置和小明在C处时, 头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置. (2)若路灯(点P)距地面8米,则小明从A到C时,身影的长度是 变长了还是变短了?变长或变短了多少米? 题型剖析 变式： 题型一、投影    解析    (1)点P的位置和影子N的位置如图所示.   (2)设AM为x米,CN为y米. 由已知得 = ,即 = ,解得x=5, 题型剖析 变式： 题型一、投影    经检验,x=5是原方程的解,且符合题意. 由已知得 = ,即 = ,解得y=1.5, 经检验,y=1.5是原方程的解,且符合题意, ∴x-y=5-1.5=3.5, ∴影子变短了,变短了3.5米. 题型剖析 题型二、圆柱、圆锥等简单旋转体的三视图 例2： 吉林松花石有“石中之宝”的美誉,用它制作的砚台叫松花砚,能与中国四大名砚相媲美.下图是一款松花砚的示意图,其俯视图为 (　    )           C 解析　俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图,由松 花砚的示意图可得其俯视图为C. 题型剖析 题型二、圆柱、圆锥等简单旋转体的三视图 圆柱三视两矩一圆，圆锥三视两三角一圆” 圆柱：主视图和左视图都是矩形（等大），俯视图是圆。 圆锥：主视图和左视图都是等腰三角形（等大）， 俯视图是带中心点的圆（顶点投影为圆心一点） 题型剖析 题型二、圆柱、圆锥等简单旋转体的三视图 变式：    一个圆锥形漏斗,某同学用角尺测得其尺寸 如图所示,则该圆锥形漏斗的左视图的面积为　　　    cm2.   12 解析：圆锥的左视图为等腰三角形,由题意可知这个等腰三角形的底边长为3×2=6 cm,底边上的高为4 cm,所以面积为 ×6×4=12(cm2). 题型剖析 题型三、由三视图判断几何体 例3： 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体可能是 (　    )  　     　                       D 解析　∵主视图和左视图是矩形,∴几何体是柱体, ∵俯视图是圆,∴该几何体是圆柱.故选D. 题型剖析 题型三、由三视图判断几何体 口诀： 三视还原体，俯左盖房法。 主视定高列，俯视定底盘，左视看行深。 俯视地基左视垒，主视修出外轮廓。 组合体，分开想，再拼合，轮廓虚实要细酌。 题型剖析 变式： 题型三、由三视图判断几何体 几个大小相同,且棱长为1的小正方体所搭成的几何体的俯视图如图所示,图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,则这个几何体的左视图的面积为(　    ) A.3　    B.4　    C.6　    D.9 B 解析　由俯视图及小正方形中的数字可以得出该几何体的左视图如下:   则这个几何体的左视图的面积为4,故选B. 题型剖析 题型四、根据三视图中的数据求 几何体的表面积或体积 例4： 如图所示的是一个几何体的三视图, 根据图中所标数据计算这个几何体的体积为 (　    ) A.12π　    B.18π　    C.24π　    D.30π B 解析　由三视图可得,该几何体是空心圆柱,其高为6,底面内圆半径是1,外圆半径是2,故这个几何体的体积为(π×22-π×12)×6=18π.故选B. 题型剖析 圆柱侧面积：𝑆侧=2𝜋𝑟ℎ；全面积：𝑆全=2𝜋𝑟(ℎ+𝑟)。 圆锥侧面积：𝑆侧=𝜋𝑟𝑙； 全面积：𝑆全=𝜋𝑟(𝑙+𝑟)。 圆锥侧面展开为扇形，圆心角 𝜃= 题型四、根据三视图中的数据求 几何体的表面积或体积 题型剖析 变式： 题型四、根据三视图中的数据求 几何体的表面积或体积 我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示,根据图中数据(单位:米)计算该整流罩的侧面积是 (　    )   A.7.2π平方米　    B.11.52π平方米 C.12π平方米　    D.13.44π平方米 C 解析　 观察题图可知,整流罩由一个圆锥和一个圆柱组合而成,圆锥的底面圆直径为2.4米,母线长为 =2(米),圆柱的底面圆直径为2.4米,高为4米,所以该整流罩的侧面积为π×2.4×4+ ×π×2.4×2=12π(平方米).故选C. 题型剖析 例5： 题型五、根据三视图判断组合体中 小正方体的个数 已知一个几何体由大小相同的若干个小正方体组成,其三 视图如图所示,则组成该几何体的小正方体的个数为(      ) A.6　    B.7　    C.8　    D.9 A 解析　由三视图可知该几何体的俯视图中每个位置上小正方体的个数如图所示,则组成此几何体需要小正方体的个数为6.故选A. 题型剖析 题型五、根据三视图判断组合体中 小正方体的个数 “标数法”操作 主左限高标行列，填数取小是方案。 最少块数加一加，最多不超限高夹。 行列至少一达标，调整验证才算完。 题型剖析 题型五、根据三视图判断组合体中 小正方体的个数 变式： 用小立方体搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,则最少需要小立方体的个数为 (　    ) A.14　    B.9　    C.8　    D.7 B 解析：根据俯视图可知从下往上第一层有6个小立方体,根据主视图可知第二层最少有2个小立方体,第三层最少有1个小立方体,所以最少需要6+2+1=9个小立方体,故选B. 题型剖析 题型六、圆柱体的表面展开图 例6： 某圆柱的侧面展开图是面积为4π2的正方形,则该圆柱底面圆的半径为　　　    . 1 解析：如图,设底面圆的半径为r,则底面圆的周长为2πr. 因为圆柱的侧面展开图是面积为4π2的正方形, 所以正方形的边长为2π, 则底面圆的周长=正方形的边长=2π, 所以2πr=2π,解得r=1.故答案为1. 题型剖析 题型六、圆柱体的表面展开图 口诀： “圆柱展开一个矩形，底面配上两圆。 矩形长是底面周长，宽是高要记清。 侧面最短路径，化曲为直弦变斜。 题目若问无盖，少算一个底圆。” 题型剖析 变式： 题型六、圆柱体的表面展开图 一个圆柱的底面直径为20,母线长为15,则这个圆柱的侧面积为　　　    . 300π 解析：∵圆柱的底面直径为20,母线长为15, ∴这个圆柱的侧面积是20π×15=300π, 故答案为300π. 题型剖析 题型七、利用展开图求最短路径 例7： 如图所示的是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图,该U型池可以看成由长方体去掉一个半圆柱而成的,中间可供滑行部分的截面是直径为  m的半圆,其边缘AB=CD=15 m, 点E在CD上,CE=3 m,一滑板爱好者从A点滑到E点,则他滑行的最短距离为　　　    m.(边缘部分的厚度忽略不计)   20 题型剖析 题型七、利用展开图求最短路径 例7： 解析　半圆柱的侧面展开图如图, AD= ×π× =16 (m),AB=CD=15 m, DE=CD-CE=15-3=12(m), 在Rt△ADE中,AE= = =20(m). 故所求的最短距离为20 m. 题型剖析 题型六、利用展开图求最短路径 解题流程图 读题 → 判断几何体 → 确定需展开的面 → 选择最佳剪开线 → 画展开图并标对应点 → 连线求线段长 → 利用勾股定理计算 → 若是多解则比较 → 得出答案 题型剖析 变式： 题型七、利用展开图求最短路径 如图,圆柱的底面周长为12 cm,AC是底面直径,O为底面圆 的圆心,高BC=12 cm,点P是BC上一点,且PC=8 cm,一只小虫 从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到P点,则小虫爬行的最短 路程是　　　    .   10 cm 解析：　如图,将圆柱的侧面展开(展开图的一半),连结AP, 则线段AP的长是小虫从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到点P的 最短距离,∵圆柱的底面周长为12 cm,∴AC=6 cm, 在Rt△ACP中,由勾股定理得AP= =10(cm). ∴小虫爬行的最短路程是10 cm. 题型剖析 1． 日晷是我国古代的一种计时仪器,它由晷面和晷针组成.当太阳光照在日晷上时,晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动,以此来显示时刻,则晷针在晷面上形成的投影是　　　    投影.(填“平行”或“中心”)   平行 解析：　∵太阳光的光线可以看成平行光线, ∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影, 故答案为平行. 针对训练 2． 如图,已知矩形ABCD的边AB=3 cm,边AD=1 cm,以直线AB 为轴将矩形ABCD旋转一周,得到的几何体的主视图的面积 为　　　    cm2.   6 解析：以直线AB为轴将矩形ABCD旋转一周得到的几何体是圆柱,其主视图是长为3 cm,宽为2 cm的矩形,故主视图的 面积为2×3=6(cm2). 针对训练 3. 一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子,其三视图如图所示,则这张桌子上共有碟子的个数为(　    ) A.10　    B.12　    C.14　    D.18 B 解析：如图,俯视图中每个同心圆内的数字表示该位置上碟子的个数,所以这张桌子上共有碟子12个.   针对训练 4． 李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件,通过观察画出了此工件的三视图,借助直尺测量了部分长度,如图所示,该工件的体积是多少?             解析：根据三视图可知,该几何体由两个叠加在一起的圆柱 体组成,底面圆直径分别是2 cm和4 cm,高分别是1 cm和4 cm, ∴体积为π×22×4+π×12×1=17π(cm3). 答:该工件的体积是17π cm3. 针对训练 5． 如图,S为一个点光源,照射在一个圆锥上,在地面上形成的影子为EB,且CH⊥AE,CH=AH=HE=2 m,∠SBA=30°. 求影子EB的长. 解析     ∵CH⊥AB,∠SBA=30°,CH=HE=2 m, ∴HB=2  m,∴BE=BH-HE=(2 -2)m.   针对训练 6． 如图所示的是一个无盖的圆柱形罐头瓶,瓶高为6 cm, 瓶底周长为18 cm,AB为底面圆的直径,瓶外一只蚂蚁在底部A处,若该蚂蚁想吃到瓶内点B处的食物,则蚂蚁爬行的最短路程是多少? (瓶身的厚度忽略不计)   针对训练 6． 解析　如图,将圆柱的侧面展开(展开图的一半), ∵瓶高为6 cm,瓶底周长为18 cm, ∴BF=6 cm,AB= ×18=9(cm), 作点B关于直线EF的对称点D,连结AD交EF于点C,连结BC, 易知蚂蚁爬行的最短路线的长为AC+CB=AC+CD=AD, ∵BD=2BF=12 cm, ∴AD= = =15(cm), ∴蚂蚁爬行的最短路程是15 cm. 针对训练 ✅ 知识构建：三视图与表面展开图 投影→三视图→简单几何体的展开图 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思想方法： 空间与平面的转化思想：将三维空间中的物体，用二维平面图形来准确描述和表达，以及如何从平面图形中还原空间形状。 建模思想：将现实物体抽象为规则的几何体，并用数学图形（三视图、展开图）来建立模型。 数形结合思想：明确的规则和图形中蕴含的数据进行严密的推理，实现“形”与“数”的互释。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $