考点03 比较二次根式的大小（7种题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

考点03 比较二次根式的大小 考点一：比较二次根式的大小 题型一：平方法 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江温州·月考）比较大小： （1） ； （2） ．   4．（2025八年级上·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 5．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 题型二：作差法 6．（山东省菏泽市菏泽经济技术开发区多校联合体2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 7．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 8．（25-26八年级上·山东青岛·周测）比较大小：（1）     （2） 9．（2025八年级上·全国·专题练习）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． 因为，所以，所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较下列实数的大小： (1)与． (2)与． 10．（23-24九年级上·广东佛山·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：； 例如：比较与2的大小． ∵又∵则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是________； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 题型三：作商法 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）作商比较法的理论依据是，，若，则；若，则；若，则．请用作商法比较与的大小． 13．（22-23八年级下·安徽六安·期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 题型四：取近似值法 14．（25-26八年级上·全国·课前预习）通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6 ； （2） ； （3） 1； （4） ． 15．（21-22八年级上·全国·课后作业）通过估算，比较与的大小． 题型五：分子/分母有理化 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，．试比较a与b的大小． 17．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）完成下列有关根式的问题： (1)求当，时，代数式的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 18．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 19．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）阅读下列解题过程： ；；；…… 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． (1)计算________； (2)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (3)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (4)计算： 20．（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 21．（25-26八年级上·上海·月考）比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 题型六：倒数法 22．（23-24八年级下·河北邢台·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）． （2）猜想之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 23．（21-22八年级下·陕西商洛·期末）先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 24．（24-25八年级下·河南安阳·期末）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 题型七：其他方法 25．（四川省南充市南部县第二中学2024-2025学年八年级下学期期末模拟数学试题）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”） 26．（河北省邢台市信都区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）阅读下面的内容． 比较与的大小 “嘉嘉”的思路： 将，两个式子分别平方后，再进行比较． “淇淇”的思路： 以、，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 请利用嘉嘉、淇淇的思路分别进行说明． 27．（23-24八年级下·湖北孝感·月考）（1）若，都是正数，计算并比较大小： ①当时，________； ②当时， ________； ③当时，________； ④当时，________． （2）写出关于与之间大小关系的猜想：________． （3）实践应用：要制作面积为平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值． 28．（25-26八年级上·四川成都·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． (1)如图1，的长度为________，中边上的高的长度为________． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边），因为，（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 29．（25-26九年级上·北京·开学考试）在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________， ___________，． 又， ___________． （2）小钦的解答过程： 解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________； 建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 1．（25-26八年级上·河北保定·月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 2．（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 3．（25-26九年级上·全国·月考）阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 4．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 5．（25-26八年级上·河北保定·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_________________． (2)利用上面的解法，请化简： (3)试猜想和的值哪个较大？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 比较二次根式的大小 考点一：比较二次根式的大小 题型一：平方法 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 2．（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 3．（24-25七年级上·浙江温州·月考）比较大小： （1） ； （2） ．   【答案】 【分析】（1）将与分别平方后比较大小即可． （2）将根式外的数移到根号内，再比较被开方数的大小． 本题主要考查了实数大小的比较，特别是含有根式的实数大小比较．熟练掌握将含有根式的数进行平方或移到根号内进行比较的方法是解题的关键． 【详解】解：（1） ， ， ∵，且，， ∴． 故答案为：； （2）， ， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）利用 “平方法” 比较二次根式的大小即可； （2）利用 “平方法” 进行比较即可． 【详解】（1）解：根据平方法，分别计算与的平方， ∵，且 ∴当两个正数的平方大时，数本身也大， 故答案为：． （2）解： ∵ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 【点睛】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， 5．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1） ，， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 题型二：作差法 6．（山东省菏泽市菏泽经济技术开发区多校联合体2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】 ，， ， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解： ， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东青岛·周测）比较大小：（1）     （2） 【答案】 > > 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握乘方法，差值法比较大小是解题的关键．对于（1），通过将两个数分别取6次方来比较大小；对于（2），通过计算两个数的差来判断大小． 【详解】解：（1）∵，， 且， ∴． 故答案为：>． （2）设 , 则． ∵, , 且, , , ∴, ∴, ∴, ∴． ∴． 故答案为：>． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． 因为，所以，所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较下列实数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题运用作差法比较实数大小，作差法的核心思路是：对于两个实数，计算，若，则；若，则；若，则。分别对两小问按照此思路进行分析计算． 【详解】（1）解： ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． （2）解： ∵，且 ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． 10．（23-24九年级上·广东佛山·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：； 例如：比较与2的大小． ∵又∵则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是________； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． （1）首先估算出，据此问题即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． 【详解】（1）解： ， 的整数部分是5；小数部分为， 故答案为：5；； （2）解：， ； （3）解： ， ， ． 题型三：作商法 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）作商比较法的理论依据是，，若，则；若，则；若，则．请用作商法比较与的大小． 【答案】 【分析】用除以，结果与1比较大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 【点睛】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）作商法比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则．用除以，结果与1比较大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 13．（22-23八年级下·安徽六安·期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）由，得到，即可得到答案； （2）先计算得到，再根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）， 证明： ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 题型四：取近似值法 14．（25-26八年级上·全国·课前预习）通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6 ； （2） ； （3） 1； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了整数、分数与算术平方根的大小比较，利用平方运算，将整数转化为二次根式，对被开方数进行大小比较，并掌握作差法，若，则；若，则；若，则，是解题的关键． （1）计算得到为的算术平方根，比较与大小即可求解； （2）两个算术平方根比较大小，只需要比较被开方数的大小即可； （3）把与作差，再与比较即可； （4）把与作差，再与比较即可． 【详解】解：（1） ，且， ， 故答案为：． （2）被开方数， ， 故答案为：． （3） ， ，即， 故答案为：． （4） ， ，即， 故答案为：． 15．（21-22八年级上·全国·课后作业）通过估算，比较与的大小． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质得，，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质得， ∵ ∴，即 故答案为 【点睛】此题考查了二次根式比较大小，涉及了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的大小比较方法． 题型五：分子/分母有理化 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，．试比较a与b的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，先将a分母有理化，即分子和分母都乘以，再根据平方差公式计算，并比较． 【详解】解：，， 所以． 17．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）完成下列有关根式的问题： (1)求当，时，代数式的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 【分析】本题考查代数式求值，乘法公式，二次根式的混合运算．掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）将原式变形为，再将，代入求解即可； （2）利用平方差公式将分母有理化，再比较大小． 【详解】（1） ， 当，时， 原式 ， ； （2），理由如下： ， ， ． 18．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 19．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）阅读下列解题过程： ；；；…… 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． (1)计算________； (2)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (3)比较大小：________（用“>”“<”或“=”填空）； (4)计算： 【答案】(1) (2)> (3)> (4) 【分析】本题考查二次根式的化简和分母有理化，利用平方差公式将二次根式的分母变为整数是解题的关键． （1）根据分数的基本性质，将分子分母同乘以，化简即可； （2）根据分母有理化得到，，判断即可解答； （3）根据，，且，即可解答； （4）根据分母有理化将各项化简即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＞ （3）解： ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：＞ （4）解： ． 20．（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 21．（25-26八年级上·上海·月考）比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、实数比较大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先分母有理化，然后根据负数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故答案为：． 题型六：倒数法 22．（23-24八年级下·河北邢台·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）． （2）猜想之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题考查了平方法、分母有理化、倒数比较实数的大小，解题的关键是求出． （1）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （2）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （3）可利用分子有理数比较大小即可． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ； （3），又 ， ． 23．（21-22八年级下·陕西商洛·期末）先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键． 根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：． 24．（24-25八年级下·河南安阳·期末）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）仿照题干的方法，将转化为，将转化为，比较大小即可； （2）先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； ． 因为， 所以， 即． （2） ． 题型七：其他方法 25．（四川省南充市南部县第二中学2024-2025学年八年级下学期期末模拟数学试题）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，勾股定理，三角形三边的关系，利用勾股定理可求出，由线段的和差关系可得，根据即可得到答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由三角形三边的关系可得，， ∴， 故答案为：． 26．（河北省邢台市信都区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）阅读下面的内容． 比较与的大小 “嘉嘉”的思路： 将，两个式子分别平方后，再进行比较． “淇淇”的思路： 以、，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 请利用嘉嘉、淇淇的思路分别进行说明． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． “嘉嘉”的思路中利用完全平方公式求解即可；“淇淇”的思路，根据勾股定理的逆定理进行判断得出以、，为三边构造的为直角三角形，最后根据三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：“嘉嘉”的思路： ∵,， ∴， ∴， “淇淇”的思路： ∵， ∴以、，为三边构造的为直角三角形， ∴． 27．（23-24八年级下·湖北孝感·月考）（1）若，都是正数，计算并比较大小： ①当时，________； ②当时， ________； ③当时，________； ④当时，________． （2）写出关于与之间大小关系的猜想：________． （3）实践应用：要制作面积为平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值． 【答案】（1）①，②，③，④；（2）；（3）米 【分析】本题考查了二次根式的应用等知识． （1）根据题意逐项计算进行比较即可求解； （2）根据（1）题规律总结即可求解； （3）设面积为平方米的长方形镜框两边长分别为a米、b米，可以得到周长米，由题意得，由（2）得当米即镜框为正方形时，周长最小，即可求出周长最小值． 【详解】解：（1）①当时，，，∴； 故答案为：； ②当时， ，，∴； 故答案为：； ③当时，，，∴； 故答案为：； ④当时，，∴； （2）由（1）得，． 故答案为：； （3）设面积为平方米的长方形镜框两边长分别为a米、b米，则周长为米， 由题意得， 由（2）得，即 ∴当米即镜框为正方形时，周长最小， ∴镜框周长的最小值为4米． 28．（25-26八年级上·四川成都·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． (1)如图1，的长度为________，中边上的高的长度为________． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边），因为，（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，三角形的三边关系，利用数形结合的思想，解题时要熟练掌握并能根据题意画出图形是关键． （1）依据题意得求出长，设中边上的高的长度为，再根据即可求出的长； （2）依据题意构造，由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接，设，结合勾股定理得到，再结合两点间线段最短求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设边上的高的长度为， ， 又∵， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 构造，如图所示： 由勾股定理，得， 在中，， ； （3）解：， 如图，在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接， 设，则， 由勾股定理得：，， ， ，， 的最小值为． 29．（25-26九年级上·北京·开学考试）在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________， ___________，． 又， ___________． （2）小钦的解答过程： 解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________； 建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 【答案】（1），，，； （2）①；②，图见解析；③，． 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式大小比较，二次根式有意义的条件，函数图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先化简和，即可得出答案； （2）①根据二次根式有意义的条件填空即可； ②代入求值，并描点画图即可； ③在图象中找出相应的点，比较纵坐标的差即可． 【详解】解：（1），， ， 又， ， 故答案为：，，，； （2）① ， ， 故答案为：； ②当时，， ， 故答案为：2； 建立如图所示的平面直角坐标系，图象如下图为所求： ③根据图象可判断， ，， 故答案为：，． 1．（25-26八年级上·河北保定·月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键． （1）运用穿墙术进行比较即可； （2）运用作差法进行比较即可． 【详解】解：（1）因为， ， 而， 则， 所以； （2） ， 因为，，， 所以，， 所以，， 即， 所以，． 2．（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 3．（25-26九年级上·全国·月考）阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （）根据题意分母有理化即可求解． （）先分母有理化，再比较大小即可求解． （）由新定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：， ； ； 故答案为：，，； （2）解：； ； ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·河北保定·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_________________． (2)利用上面的解法，请化简： (3)试猜想和的值哪个较大？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，二次根式的计算，无理数比较大小，掌握分母有理化的方法是解决问题的关键． (1) 模仿题目的分母有理化方法，分子分母同乘，化简得出结果； (2) 先对每一项进行分母有理化，再通过抵消中间项的方式化简； (3) 通过分子有理化将两个式子转化为分子相同的形式，再比较分母大小，进而判断原式的大小． 【详解】（1）解： ； （2）解：      ； （3）解： ， ∴， ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $