专题19 认识多面体与旋转体 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题19 认识多面体与旋转体 一、知识梳理 （1）多面体 由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体．围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点。 （2）旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。 二、题型精练 题型1 多面体 【典例1】．判断图中的立体图形哪些是多面体（    ） A．（3）（6） B．（3）（5） C．（2）（3）（5）（6） D．（3）（5）（6） 【答案】D 【分析】根据多面体与旋转体的定义即可求解. 【详解】多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体； 旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内一个定直线旋转所形成的曲面叫旋转体； 由旋转体的定义可知，（1），（2），（4），（7）是旋转体. 由多面体的定义可知，（3）（5）（6）是多面体. 故选：D 【典例2】．一个多面体的面数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据多面体的概念判断即可. 【详解】面数最少的多面体为是四面体，四面体有4个面. 故选：B. 【典例3】．一个几何体有6个顶点，则这个几何体不可能是（    ） A．三棱柱 B．三棱台 C．五棱锥 D．四面体 【答案】D 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台及四面体的结构特征依次判断即可解得. 【详解】选项A：三棱柱是上下两个三角形，有6个顶点，满足题意； 选项B：三棱台是上下两个三角形，有6个顶点，满足题意； 选项C：五棱锥是底面为五边形及一个顶点，有6个顶点，满足题意； 选项D：四面体的顶点个数为4个，不满足题意； 故选：D 【典例4】．下列哪个空间几何体属于多面体（    ） A．球 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 【答案】C 【分析】由多面体的定义即可得解. 【详解】多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体图形. 球只有一个曲面,不符合多面体的定义,故选项错误. 圆柱有三个面围成,不符合多面体的定义,故选项错误. 棱锥至少有四个面,为多面体,故选项正确. 圆锥由两个面围成, 不符合多面体的定义,故选项错误. 故选:. 【典例5】．形如北方农村普通房屋的多面体有（   ）条棱 A．15 B．18 C．12 D．16 【答案】A 【分析】由图可知该多面体为五棱柱，数出棱的条数即可. 【详解】由图可知，该多面体可看作五棱柱， 根据棱的概念，上下底面共有条棱，侧面有条棱， 故共有15条棱． 故选：A. 题型2 旋转体 【典例1】．下列几何体中不是旋转体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转体的概念即可判断. 【详解】由旋转体的概念可知，选项ABC为旋转体，选项D不是旋转体. 故选：D. 【典例2】．将一个长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】根据圆柱的结构特征可判断 【详解】如图，一个长方形绕它的一条边旋转一周， 邻边旋转一周变为圆，高为， 所以长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是圆柱； 故选：C.    【典例3】．下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据几何体的结构特征即可求解. 【详解】由图可得，题中所示的空间图形是一个圆锥和一个圆台的组合体． 圆台是由直角梯形以为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体. 圆锥是由直角三角形以为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体. 故选：A.    【典例4】．下列物体不能抽象成旋转体的是（    ） A．篮球 B．日光灯管 C．电线杆 D．金字塔 【答案】D 【分析】根据旋转体的定义即可求解. 【详解】金字塔是多面体，不能抽象成旋转体；篮球、日光灯管、电线杆都可以抽象成旋转体. 故选：D 三、知识检测 1．下列说法正确的是（    ） A．将正方形旋转不可能形成圆柱 B．以直角三角形的一边为轴旋转得到的旋转体一定是圆锥 C．正四棱柱是正方体 D．正三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形 【答案】D 【分析】根据圆柱的概念，圆锥的概念，正方体的概念，棱锥的概念逐项判断即可. 【详解】对，正方形绕某一条边旋转即可形成圆柱，故错； 对，以直角三角形的直角边旋转可得到圆锥，以直角三角形斜边旋转得到的不是圆锥，故错； 对，正四棱柱是长方体不一定是正方体，故错； 对，由正三棱锥的定义可知，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形，故选项正确； 故选：. 2．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项分析旋转图形可得旋转体的立体图，分析即可得答案. 【详解】解： A是上面一个圆锥，下面一个圆台，不符合； B是上下两个圆锥，中间一个圆柱，不符合； C是上面一个圆柱，下面一个圆锥，符合上图； D是两个圆锥，不符合. 故选：C 3．下列各几何体中是旋转体的是（　　） A．斜三棱柱 B．正三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 【答案】D 【分析】由旋转体的定义，即一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，即可求解. 【详解】斜三棱柱、正三棱柱、三棱锥无法通过平面图形旋转得到， 圆锥可由直角三角形沿着直角边旋转得到. 故选：D． 4．如图所示的几何体，以下说法错误的是（   ） A．该几何体是一个多面体 B．该几何体有9条棱，5个顶点 C．该几何体有7个面 D．该几何体是由两个同底的三棱锥组成 【答案】C 【分析】根据多面体的概念判断即可. 【详解】在A中，由多面体的概念知该几何体是一个多面体，故A正确； 在B中，由多面体的概念知该几何体有9条棱，5个顶点，故B正确； 在C中，由多面体的概念知该几何体有6个面，故C错误； 在D中，该几何体是由两个同底的三棱锥组合而成，故D正确． 故选：C. 5．下列几何体中，多面体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐个选项分析几何体结构. 【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体； B选项中的几何体是三棱柱，是多面体； C选项中的几何体是圆柱，是旋转体； D选项中的几何体是圆锥，是旋转体， 故选：B. 6．下列简单几何体中不同类的是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱锥 【答案】D 【分析】根据旋转体和多面体的概念可判断结果. 【详解】其中圆柱、圆锥、球是旋转体，而棱锥是多面体. 故选：D 7．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 【答案】B 【分析】根据旋转体的定义可得正确的选项. 【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球， 而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱， 故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱， 故选：B. 8．一个多面体最少有 个面，此时这个多面体是 ． 【答案】 4 四面体（或三棱锥） 【分析】根据多面体的概念即可求解. 【详解】一个多面体，最少有4个面，每个面都是三角形，它的名称是四面体或三棱锥． 故答案为：4；四面体（或三棱锥）. 9．如图，多面体的顶点数是 ，棱数是 ，面数是 ．    【答案】 7 12 7 【分析】根据顶点，棱，面的定义求解即可. 【详解】顶点共有7个，棱共有12条，面共有7个． 故答案为:7，12，7. 10．空间5个点可构成的多面体最多有 个面． 【答案】6 【分析】根据多面体能组成最多的面即两个同底的三棱锥组合而成的多面体求解即可. 【详解】如果将两个底面三角形全等的三棱锥全等的底面对在一起形成一个几何体， 即两个同底的三棱锥组合而成，如图： 其顶点数有5个，共有6个面，此时为空间5个点构成的面数最多的多面体． 故答案为：6. 11．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括 ． 【答案】一个圆柱、两个圆锥 【分析】根据题意画出等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，再进行分析求解. 【详解】图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 即图2，包括一个圆柱、两个圆锥． 故答案为：一个圆柱、两个圆锥. 12．下列说法正确的是 .（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 【答案】③④ 【分析】利用圆锥、圆柱、圆台的结构特征逐一判断，可得出结果. 【详解】对于①，以直角梯形直角腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台， 以直角梯形的斜腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，①错； 对于②，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，②错； 对于③，以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥，③对； 对于④，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，④对. 故答案为：③④. 13．判断下面的多面体分别是几面体？    【答案】（1）六面体；（2）八面体；（3）八面体；（4）五面体 【分析】根据简单几何体的分类可直接判断. 【详解】（1）由六个面组成，所以为六面体. （2）由八个面组成，所以为八面体. （3）由八个面组成，所以为八面体. （4）由五个面组成，所以为五面体. 14．请画出图（1）（2）（3）中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形. 【答案】（1）图像见解析（2）图像见解析（3）图像见解析 【分析】线的运动可以形成平面或曲面，根据旋转的方式和方向有(1)旋转后形成圆柱，（2）旋转后形成圆锥，（3）旋转后形成圆台. 【详解】解：（1）由于AB与l平行，旋转过程中AB与l的距离不变，产生的曲面如图（4）所示. （2）由于AB与l相交，旋转过程中产生的曲面是以AB与l的交点为顶点的锥面，如图（5）所示. （3）由于AB与l不平行，旋转过程中产生的曲面是以AB的延长线与l的交点为顶点的锥面的一部分，如图（6）所示. （4）（5）（6） 15．如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？ 【答案】圆锥和圆柱 【分析】直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥，矩形绕一边旋转一周后形成圆柱. 【详解】旋转后的图形如图所示，可知由圆锥和圆柱组成 16．已知将如图①所示的立方体木块按不同的方式切割得到如图②、图③、图④、图⑤所示的多面体木块． (1) 图①中的立方体木块有8个顶点、12条棱和6个面，请将图②、图③、图④、图⑤中的顶点数、棱数和面数分别填入下表中． 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② ③ ④ ⑤ (2)观察上表，归纳上述各多面体的顶点数、棱数面数之间存在的数量关系，这种数量关系是______． (3)如果一个多面体有90条棱、60个顶点，运用你归纳的结论得出此多面体的面数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)32个面 【分析】（1）观察多面体的特征，即可求解； （2）观察多面体的顶点数、棱数、面数，总结规律，即可求解； （3）根据题意，结合多面体的顶点数、棱数、面数之间的关系，代入即可求解. 【详解】（1） 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 9 14 7 ⑤ 10 15 7 （2）通过观察表格数据，可得规律，顶点数面数棱数． （3）根据多面体木块的顶点数、棱数和面数之间存在的数量关系可得，得， 所以此多面体有32个面． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 认识多面体与旋转体 一、知识梳理 （1）多面体 由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体．围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点。 （2）旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面 叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。 二、题型精练 题型1 多面体 【典例1】．判断图中的立体图形哪些是多面体（    ） A．（3）（6） B．（3）（5） C．（2）（3）（5）（6） D．（3）（5）（6） 【典例2】．一个多面体的面数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例3】．一个几何体有6个顶点，则这个几何体不可能是（    ） A．三棱柱 B．三棱台 C．五棱锥 D．四面体 【典例4】．下列哪个空间几何体属于多面体（    ） A． 球 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 【典例5】．形如北方农村普通房屋的多面体有（   ）条棱 A．15 B．18 C．12 D．16 题型2 旋转体 【典例1】．下列几何体中不是旋转体的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】．将一个长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是（    ） A． 长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【典例3】．下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（    ）    A．    B．   C．   D．   【典例4】．下列物体不能抽象成旋转体的是（    ） A．篮球 B．日光灯管 C．电线杆 D．金字塔 三、知识检测 1．下列说法正确的是（    ） A．将正方形旋转不可能形成圆柱 B．以直角三角形的一边为轴旋转得到的旋转体一定是圆锥 C．正四棱柱是正方体 D．正三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形 2．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各几何体中是旋转体的是（　　） A．斜三棱柱 B．正三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 4．如图所示的几何体，以下说法错误的是（   ） A．该几何体是一个多面体 B．该几何体有9条棱，5个顶点 C．该几何体有7个面 D．该几何体是由两个同底的三棱锥组成 5．下列几何体中，多面体是（   ） A． B． C． D． 6．下列简单几何体中不同类的是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱锥 7．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 8．一个多面体最少有 个面，此时这个多面体是 ． 9．如图，多面体的顶点数是 ，棱数是 ，面数是 ．   10． 空间5个点可构成的多面体最多有 个面． 11． 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括 ． 12．下列说法正确的是 .（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 13．判断下面的多面体分别是几面体？    14．请画出图（1）（2）（3）中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形. 15．如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？ 16．已知将如图①所示的立方体木块按不同的方式切割得到如图②、图③、图④、图⑤所示的多面体木块． (1) 图①中的立方体木块有8个顶点、12条棱和6个面，请将图②、图③、图④、图⑤中的顶点数、棱数和面数分别填入下表中． 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② ③ ④ ⑤ (2)观察上表，归纳上述各多面体的顶点数、棱数面数之间存在的数量关系，这种数量关系是______． (3)如果一个多面体有90条棱、60个顶点，运用你归纳的结论得出此多面体的面数． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $