专题20 棱柱、棱锥 - 《数学》高教版基础模块下册《同步必备知识清单》

专题20 棱柱、棱锥 一、知识梳理 （1）棱柱 有两个面互相平行，其余面都是平行四边形的多面体称为棱柱． 两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面． 两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱． 侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点． 不在同一个平面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线． 两个底面间的距离称为棱柱的高． 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱． 侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱． 底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱． 正棱柱主要性质： ①两个底面是平行且全等的正多边形； ②侧面都是全等的矩形； ③侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等． （2）棱锥 有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点，我们称这样的多面体为棱锥． 这个多边形称为棱锥的底面(简称底)，其余各面称为棱锥的侧面； 各侧面的公共点称为棱锥的顶点，如图中所示的P点； 相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱，如图中所示的PA、PB、PC； 顶点到底面的距离称为棱锥的高，如图中的PO． 底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为正棱锥． 正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高，如右图中的. 正棱锥有如下性质： ①各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形； ②顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高； ③正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个直角三角形． 二、题型精练 题型1 棱柱 【典例1】．如图所示的几何体中，棱柱的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由棱柱的结构特征即可得解. 【详解】棱柱有三个特征：①有两个面互相平行且全等； ②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行． 易知所给几何体中①③④符合棱柱的三个特征， 所以棱柱的个数为3． 故选：C. 【典例2】．下列命题正确的是（   ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 【答案】C 【分析】根据棱柱的概念求解. 【详解】A选项，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体可以是棱台，A错误； B选项，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，不是棱柱，B错误； C选项，由棱柱的定义可知，C正确． D选项，棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错误； 故选：C. 【典例3】．棱柱的侧面一定是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】A 【分析】根据棱柱的定义和几何特征即可求解. 【详解】根据棱柱的定义可知， 棱柱的侧棱平行且相等， 所以棱柱的侧面是平行四边形. 而棱柱侧面的两条邻边不一定垂直，也不一定相等， 所以棱柱的侧面不一定是正方形、菱形和矩形. 故选：A. 【典例4】．已知从长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，6，则其体对角线的长为 . 【答案】7 【分析】由长方体的特征求其体对角线即可. 【详解】长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，6， 则其体对角线长为. 故答案为：. 题型2 棱锥 【典例1】．下列图形中，属于棱锥的有（    ）    A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①② 【答案】C 【分析】由棱锥的定义即可求解. 【详解】棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点. ③不满足棱锥定义中侧面都是三角形，且这些三角形有一个公共点， ∴③不是棱锥. 故选：C 【典例2】．下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥为正棱锥 B．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥 【答案】D 【分析】根据正棱锥的定义依次判断各选项即可. 【详解】对A，底面是正多边形且满足侧面是全等的等腰三角形的棱锥才是正棱锥，A错误； 对B，各侧棱相等且满足底面是正多边形的棱锥才是正棱锥，B错误； 对C，各侧面是全等的等腰三角形且满足底面是正多边形的棱锥才是正棱锥，C错误； 对D，底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥，D正确. 故选：D. 【典例3】．一个几何体恰有6个顶点，则这个几何体可能是（ ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征即可解得. 【详解】选项A：四棱柱是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 选项B：四棱台是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 选项C：五棱锥有6个顶点，满足题意； 选项D：五棱台是上下底面均为五边形，有个顶点，不满足题意； 故选：C 【典例4】．已知正六棱锥的底面边长是4，侧棱长是5，则该棱锥的高为 ，斜高为 . 【答案】 3 【分析】分析正六棱锥的结构特征，从而利用勾股定理即可得解. 【详解】正六棱锥的底面边长是4，侧棱长是5， 设它的高为，斜高为， 正六棱锥的底面为边长是4的正六边形，如图，为正六边形的中心，, 则，即为边长是4的等边三角形， 则，， 正六棱锥的高与底面正六边形交于点， 在侧棱、和高的直角三角形中，高， 在斜高、和高的直角三角形中，斜高. 故答案为：3，. 三、知识检测 1．下面图形中，为棱锥的是（    ）    A．①③ B．③④ C．①②④ D．①② 【答案】C 【详解】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥. 故选：C 2．以下关于正棱柱的性质，说法错误的是 （     ） A．两个底面是平行且全等的多边形 B．侧面都是全等的矩形 C．侧棱互相平行并垂直于底面 D．底面是四边形的直棱柱是正棱柱. 【答案】D 【分析】根据题意，结合正棱柱的概念和结构特性，即可判断求解. 【详解】根据题意，结合正棱柱的性质，可得： 正棱柱的两个底面是平行且全等的正多边形，故选项A正确，不符合题意； 正棱柱的侧面都是全等的矩形，故选项B正确，不符合题意； 正棱柱的侧棱互相平行且垂直于底面，故选项C正确，不符合题意； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 3．下列几何体不属于棱柱的是（       ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据棱柱的结构特征即可判断. 【详解】对A、B、C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 有这些面所围成的多面体叫做棱柱，故选项A、B、C都是棱柱. 对D：该几何体每相邻两个四边形的公共边不平行，故选项D不属于棱柱. 故选：D. 4．对于棱锥，下列叙述正确的是（    ）． A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面 C．六棱锥共有六个顶点 D．任何棱锥都只有一个底面 【答案】D 【分析】根据棱锥的性质即可求解. 【详解】解：对于A：四棱锥共有八条棱，故选项A错误； 对于B：五棱锥共有六个面，故选项B错误； 对于C：六棱锥共有七个顶点，故选项C错误； 对于D：任何棱锥都只有一个底面，该表述正确. 故选：D. 5．已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长是5，则其斜高与高分别是（    ） A．3，4 B． C．4，5 D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的几何特征求解即可. 【详解】 如图正四棱锥所示，. 设为的中点，则是侧面上的斜高，是四棱锥的高. 所以. . 故选：B. 6．下列说法正确的是（　　） A．有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 B．在空间中，到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面 C．正三棱锥是正四面体 D．正棱柱的高可以与侧棱不相等 【答案】B 【分析】根据直棱柱，球，正三棱锥等简单几何体的概念逐项分析即可. 【详解】对于A，所有侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱，故A错误， 对于B，在空间中，到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面，故B正确， 对于C，正四面体要求四个面全是正三角形，正三棱锥要求底面是正三角形， 而其它的面是等腰三角形即可， 所以正四面体是特殊得正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体，故C错误， 对于D，正棱柱的定义是底面是正多边形的直棱柱，直棱柱的侧棱垂直于底面，其侧棱长就等于棱柱的高，所以正棱柱的高一定与侧棱相等，故D错误． 故选：B． 7．设直四棱柱长方体四棱柱正四棱柱，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直四棱柱，长方体，四棱柱，正四棱柱的定义即可求解. 【详解】解：正四棱柱是长方体的特例，长方体是直四棱柱的特例， 直四棱柱是四棱柱的特例. 所以正四棱柱长方体直四棱柱四棱柱. 故选：D 8．正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为5，则它的高为是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】在正三棱锥中，作平面，垂足为O点，连接AO，则O点是正三角形的中心，从而可得，据此，在中可求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，作平面，垂足为O点，连接AO， 因为棱锥是正三棱锥，所以O点是正三角形的中心. 因为底面边长为，所以. 在中，， 所以高. 故选：A 9． 一个棱锥至少有 个面，面数最少的棱锥有 个顶点， 条棱. 【答案】 4 4 6 【分析】根据棱锥的定义即结构特征即可求解. 【详解】面最少的棱锥为三棱锥，共有4个面，4个顶点，6条棱. 故答案为：4；4；6. 10．一个直棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为 cm． 【答案】12 【分析】根据直棱柱的性质即可得解. 【详解】因直棱柱有10个顶点，共有五条侧棱， 所以侧棱长为， 故答案为：. 11．已知正四棱锥的底面边长为，斜高为，则它的高为 . 【答案】 【分析】根据正棱锥的高、斜高、斜高在底面的投影构成直角三角形，在直角三角形中可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，底面边长，斜高， 作垂直底面于，连接， 在中. 故答案为： 12．一个多面体最少有 个面，此时这个多面体是 ． 【答案】 4 四面体（或三棱锥） 【分析】根据多面体的概念即可求解. 【详解】一个多面体，最少有4个面，每个面都是三角形，它的名称是四面体或三棱锥． 故答案为：4；四面体（或三棱锥）. 13．八棱锥的侧面个数是 . 【答案】8 【分析】根据棱锥的概念可得答案. 【详解】根据棱锥的概念可知，八棱锥有8个侧面. 故答案为：8. 14．从一个长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为1，2，3，则它的对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据长方体的特征求解. 【详解】    ∵长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为1，2，3， 故上图可得 长方体的对角线为， ． 故答案为：. 15．已知一个直四棱柱的底面边长为的正方形，侧棱长都是，回答下列问题：    (1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？ (2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 【答案】(1)共有6个面，8个顶点，12条棱 (2)矩形，（cm2） 【分析】（1）由直四棱柱的结构特征可得结果； （2）根据直棱柱的侧面展开图的特征求解. 【详解】（1）由直四棱柱的结构特征可知， 直四棱柱一共有6个面，8个顶点，12条棱. （2）由直棱柱的侧面展开图的特征可知， 将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是矩形，其中矩形的一边为该棱柱的底面周长，另一边为该棱柱的高（即侧棱长）， 所以侧面展开图的面积为：（cm2）. 16．如图所示，长方体.    (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据棱柱的结构特点即可判断. 【详解】（1）是棱柱，且是四棱柱. 因为长方体的上下两个底面互相平行，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行， 符合棱柱的定义． （2）截面右上方部分是三棱柱， 左下方部分是四棱柱． 17．如图所示，已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长都是4，求棱锥的高SO和斜高SE． 【答案】， 【分析】利用棱锥的高、斜高、侧棱的关系即可求解. 【详解】如题图所示，因为正方形的边长为4， 所以． 由正四棱锥的性质知，是直角三角形， 所以． 在中，因为， 所以． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 棱柱、棱锥 一、知识梳理 （1）棱柱 有两个面互相平行，其余面都是平行四边形的多面体称为棱柱． 两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面． 两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱． 侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点． 不在同一个平面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线． 两个底面间的距离称为棱柱的高． 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱． 侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱． 底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱． 正棱柱主要性质： ①两个底面是平行且全等的正多边形； ②侧面都是全等的矩形； ③侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等． （2）棱锥 有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点，我们称这样的多面体为棱锥． 这个多边形称为棱锥的底面(简称底)，其余各面称为棱锥的侧面； 各侧面的公共点称为棱锥的顶点，如图中所示的P点； 相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱，如图中所示的PA、PB、PC； 顶点到底面的距离称为棱锥的高，如图中的PO． 底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为正棱锥． 正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高，如右图中的. 正棱锥有如下性质： ①各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形； ②顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高； ③正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个直角三角形． 二、题型精练 题型1 棱柱 【典例1】．如图所示的几何体中，棱柱的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】．下列命题正确的是（   ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 【典例3】．棱柱的侧面一定是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【典例4】．已知从长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，6，则其体对角线的长为 . 题型2 棱锥 【典例1】．下列图形中，属于棱锥的有（    ）    A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①② 【典例2】．下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥为正棱锥 B．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥 【典例3】．一个几何体恰有6个顶点，则这个几何体可能是（ ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 【典例4】．已知正六棱锥的底面边长是4，侧棱长是5，则该棱锥的高为 ，斜高为 . 三、知识检测 1．下面图形中，为棱锥的是（    ）    A． ①③ B．③④ C．①②④ D．①② 2．以下关于正棱柱的性质，说法错误的是 （     ） A．两个底面是平行且全等的多边形 B．侧面都是全等的矩形 C．侧棱互相平行并垂直于底面 D．底面是四边形的直棱柱是正棱柱. 3．下列几何体不属于棱柱的是（       ） A．   B．   C．   D．   4．对于棱锥，下列叙述正确的是（    ）． A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面 C．六棱锥共有六个顶点 D．任何棱锥都只有一个底面 5．已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长是5，则其斜高与高分别是（    ） A．3，4 B． C．4，5 D． 6．下列说法正确的是（　　） A．有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 B．在空间中，到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面 C．正三棱锥是正四面体 D．正棱柱的高可以与侧棱不相等 7．设直四棱柱长方体四棱柱正四棱柱，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 8．正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为5，则它的高为是（    ） A．4 B．3 C． D． 9． 一个棱锥至少有 个面，面数最少的棱锥有 个顶点， 条棱. 10． 一个直棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为 cm． 11． 已知正四棱锥的底面边长为，斜高为，则它的高为 . 12． 一个多面体最少有 个面，此时这个多面体是 ． 13． 八棱锥的侧面个数是 . 14． 从一个长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为1，2，3，则它的对角线长为 ． 15．已知一个直四棱柱的底面边长为的正方形，侧棱长都是，回答下列问题：    (1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？ (2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 16．如图所示，长方体.    (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． 17．如图所示，已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长都是4，求棱锥的高SO和斜高SE． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $