专题6.5 平面向量的应用（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量的应用，系统梳理平面几何中的平行、垂直、夹角、长度、最值等问题，以及物理中的力合成、速度位移合成、功和动量计算，通过“转化-运算-翻译”三步曲搭建从向量运算到实际问题解决的学习支架。 资料以9类题型为框架，例题与变式题结合，培养数学眼光（从几何现象抽象向量关系）和数学思维（逻辑推理与运算），如用向量共线证平行、数量积求功，课中助教师分层教学，课后助学生举一反三，强化知识应用与查漏补缺。

专题6.5 平面向量的应用（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 用向量证明平面几何中的平行问题】 2 【题型2 用向量证明线段垂直】 4 【题型3 用向量解决夹角问题】 8 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 11 【题型5 向量与几何最值】 14 【题型6 向量在几何中的其他应用】 18 【题型7 力的合成】 21 【题型8 速度、位移的合成】 22 【题型9 功、动量的计算】 25 知识点1 平面几何中的向量方法 1．用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. 2．向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： (). (2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. (3)求夹角问题，利用夹角公式：. (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . 3．向量法解决平面几何问题的“三步曲” (1)第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型1 用向量证明平面几何中的平行问题】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：.    【答案】证明见解析 【解题思路】利用平面向量的线性运算，选择用表示，结合向量的共线定理证明即可. 【解答过程】分别为中点，，， ； ，可设， ，又，， . 【变式1-1】（24-25高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【解题思路】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【解答过程】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 【答案】证明见解析. 【解题思路】根据给定条件，建立坐标系，利用向量的坐标表示推理计算即得. 【解答过程】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，则， 由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令， 而，则，即，由四边形是矩形，得， 因此， 则，， 于是， 所以. 【变式1-3】（24-25高一下·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【解题思路】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可. 【解答过程】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有 ， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有 ， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 【题型2 用向量证明线段垂直】 【例2】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解题思路】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【解答过程】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且 ，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【解题思路】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解. 【解答过程】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【解答过程】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 【变式2-3】（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【解题思路】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 【题型3 用向量解决夹角问题】 【例3】（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【解答过程】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， ， 故选：D． 【变式3-1】（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【解答过程】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【解答过程】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 【变式3-3】（24-25高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【解答过程】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以 ， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以 ， 所以. 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 【例4】（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【解答过程】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【解答过程】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 【变式4-3】（24-25高一下·河北沧州·月考）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）确定，，，，计算得到答案. （2），，计算得到答案. 【解答过程】（1）； ， ，故， . （2）， . 【题型5 向量与几何最值】 【例5】（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故．    故选：D． 【变式5-1】（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【解答过程】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【解题思路】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【解答过程】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 【变式5-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 【题型6 向量在几何中的其他应用】 【例6】（25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【解题思路】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【解答过程】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高三上·山东济南·期末）已知非零向量，满足，且，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解题思路】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案. 【解答过程】， ， ， ， 为等腰三角形， 又， ， ，又，所以， 为等边三角形， 故选：D. 【变式6-2】（25-26高三上·山东·月考）在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【解题思路】根据向量关系确定四边形的形状为梯形，再结合向量的坐标运算得梯形相关长度即可求得梯形的面积. 【解答过程】因为在四边形中，， 所以且，则四边形为梯形， 又，，所以， 则，且，则， 所以四边形的面积为. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一下·广东东莞·期中）点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【解题思路】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【解答过程】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D. 知识点2 向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型7 力的合成】 【例7】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【解答过程】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 【变式7-1】（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【解答过程】因为， 所以， 则. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【解答过程】由题意得，， 所以， 故选：C． 【变式7-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【解题思路】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【解答过程】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 【题型8 速度、位移的合成】 【例8】（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案. 【解答过程】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D. 【变式8-1】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【解答过程】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高一下·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解题思路】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【解答过程】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 【变式8-3】（24-25高一上·安徽黄山·期末）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设船的实际速度为，则，由题意可得，即，代入计算即可求出答案． 【解答过程】解：设船的实际速度为，则， 北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则， 所以， 即，解得， 故选：D．    【题型9 功、动量的计算】 【例9】（24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功. 【解答过程】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. 【变式9-1】（24-25高一下·宁夏银川·月考）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 【答案】A 【解题思路】根据数量积公式，即可求解. 【解答过程】由题意可知，，， 所以，所以对该物体所做的功为 . 故选：A. 【变式9-2】（24-25高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【解题思路】借助功的定义计算即可得. 【解答过程】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 【变式9-3】（24-25高一下·河南新乡·期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案. 【解答过程】根据三力平衡得，即， 两边同时平方得， 即， 即， 解得. 故选：C. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 平面向量的应用（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 用向量证明平面几何中的平行问题】 2 【题型2 用向量证明线段垂直】 3 【题型3 用向量解决夹角问题】 4 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 5 【题型5 向量与几何最值】 6 【题型6 向量在几何中的其他应用】 8 【题型7 力的合成】 9 【题型8 速度、位移的合成】 9 【题型9 功、动量的计算】 10 知识点1 平面几何中的向量方法 1．用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. 2．向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： (). (2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. (3)求夹角问题，利用夹角公式：. (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . 3．向量法解决平面几何问题的“三步曲” (1)第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型1 用向量证明平面几何中的平行问题】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：.    【变式1-1】（24-25高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 【变式1-3】（24-25高一下·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【题型2 用向量证明线段垂直】 【例2】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-1】（24-25高三上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且 ，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【变式2-2】（24-25高一下·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【变式2-3】（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【题型3 用向量解决夹角问题】 【例3】（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【变式3-3】（24-25高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 【例4】（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式4-2】（24-25高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【变式4-3】（24-25高一下·河北沧州·月考）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【题型5 向量与几何最值】 【例5】（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【变式5-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【题型6 向量在几何中的其他应用】 【例6】（25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【变式6-1】（24-25高三上·山东济南·期末）已知非零向量，满足，且，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式6-2】（25-26高三上·山东·月考）在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 【变式6-3】（24-25高一下·广东东莞·期中）点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 知识点2 向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型7 力的合成】 【例7】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【变式7-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【题型8 速度、位移的合成】 【例8】（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【变式8-3】（24-25高一上·安徽黄山·期末）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 【题型9 功、动量的计算】 【例9】（24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·宁夏银川·月考）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 【变式9-2】（24-25高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【变式9-3】（24-25高一下·河南新乡·期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $