第六单元 第2课时 剪纸中的数学问题-探究分数加法的规律（教学设计）数学北京版五年级下册

该小学数学教学设计聚焦特殊分数序列求和规律探究，以“剪纸”情境导入，从正方形纸连续剪切1/2、1/4等分数的实际问题抽象出数学算式，衔接已学分数加减法，搭建“通分计算—观察猜想—验证规律”的探究支架。 特色在于情境驱动与数形结合，通过正方形纸动态演示剪切过程，直观呈现“1 - 最后一项”的规律本质，渗透转化思想。类比迁移环节引导学生探究分母为3的幂次方的序列，培养推理意识与创新意识，助力学生理解算理，为教师提供完整探究流程与实践资源。

第六单元 第2课时 剪纸中的数学问题——探究分数加法的规律 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·北京版 授课班级 授课教师 年 级 学 期 单 元 六、数学百花园 课 题 第2课时 剪纸中的数学问题——探究分数加法的规律 一、教学内容分析 本节课是基于“剪纸”情境的数学探究活动课，引导学生探究特殊分数序列的求和规律。学生已掌握分数加减法运算，本节课通过观察、比较、归纳，发现分数加法中的规律，渗透“转化”和“数形结合”的思想，培养学生的观察能力和推理能力。 二、教学目标 知识与技能：能够通过观察、分析，发现特殊分数序列（分母呈倍数关系）的求和规律，并应用规律进行简便计算。 过程与方法：经历“通分计算—观察猜想—验证规律—应用规律”的探究过程，发展归纳推理和合情推理能力，体验“转化”的数学思想。 情感态度与价值观：在剪纸情境和规律探索中感受数学的趣味性和简洁美，激发探究数学规律的兴趣。 三、教学重难点 • 教学重点：观察并发现“ + +…+ =1- ”的求和规律。 • 教学难点：理解规律背后的算理（“1”减去最后一个分数）；能通过类比，探索并尝试总结类似分数序列（如分母是3的幂次方）的求和规律。 四、教学准备 • 教具：多媒体课件、一张大正方形纸、剪刀、彩色笔。 • 学具：每位学生一张正方形纸、学习记录单。 五、教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 （1） 、情境导入，提出问题（5分钟） 1. 呈现“剪纸”主题图，讲述情境：小明从一张正方形纸上连续剪下它的、、、、。 2. 核心提问：剪下的纸片总面积相当于原来正方形纸面积的几分之几？ 3. 引导列式：=? （1）. 倾听情境，理解题意。 （2）. 明确要解决的问题是求几个分数的和。 （3）. 列出算式。 创设生动有趣的剪纸情境，激发学生学习兴趣。从实际生活问题抽象出数学模型，为探究规律做好准备。 （二）、探究新知，发现规律（20分钟） 活动1：尝试通分，感受繁杂 1. 引导用通分法计算，呈现书中计算过程。 2. 提问：这种方法怎么样？（正确但复杂） 活动2：观察算式，大胆猜想 1. 出示小男孩的思考：“这组分数是有规律的。求它们的和有没有规律呢？” 2. 引导学生观察算式特点：分母依次乘2（或后一项是前一项的）。 活动3：化繁为简，探索规律 1. 出示书中的探索过程： + =1- + + =1- + + + =1- 2. 提问：观察这些等式，和与结果有什么关系？ 3. 引导学生归纳发现： - 结果总是“1”减去最后一个加数（分数）。 - 从图形上看，每次剪下后剩下的部分正好是下一个要剪的分数。 4. 课件动态演示：用正方形纸的涂色（或剪开）过程，直观验证： 剪去 ，剩（即1- ）； 再从剩下的 中剪去一半（），剩 （即1- - = ）。 5. 揭示规律： ＋ +…+ =1- 活动4：应用规律，解决问题 1. 根据规律，直接计算原题： + + + + =1- = 2. 对比两种方法，感受规律带来的简便。 （1）. 回顾通分计算过程，认同其正确性，也感受其繁琐。 （2）. 观察算式，发现每个加数都是前一个加数的一半。 （3）. 观察等式，独立思考并交流发现： - 和的结果都比1小。 - 比1小的部分，正好是最后一个加数。 （4）. 观看课件演示，结合图形理解：每次剪后剩下的部分，正好是“1”减去已剪部分的和。 （5）. 在教师引导下，尝试用数学语言描述规律。 （6）. 应用规律快速、简便地得出原题答案，体会“发现规律、运用规律”的优越性。 这是本节课的核心环节。引导学生从“通分”的“笨办法”中跳出来，通过观察、比较，发现简便规律。结合图形进行直观演示，将抽象的分数和转化为可视化的几何模型（面积模型），帮助学生深刻理解“1-最后一项”这一规律背后的算理，突破难点。 （三）、类比迁移，拓展规律（10分钟） 挑战“试一试” 1. 出示新问题：用探索规律的方法尝试计算 + + + + 。 2. 提问：这个算式和刚才研究的有什么相同和不同点？ 3. 小组合作探究： - 还能用“1减去最后一项”的规律吗？ - 如果不能，它的规律可能是什么？ 4. 引导学生计算前几项和，寻找规律： =1- ? (不成立) + = + + = + + + = 5. 观察分子分母：, , … 引导发现：分子分母似乎有“3倍减1”或“3倍加1”的关系？(深入思考：序列的和是1- ，即。类比猜想，序列的和可能是? 此处可灵活处理，重在探究过程。) 6. 归纳：对于分母呈倍数递增的分数数列求和，可以寻找其和的通项公式，但规律不一定都是“1-最后一项”。 （1）. 观察新算式，发现规律：分母依次乘3。 （2）. 小组合作，尝试用刚才的思路去猜想和验证。 （3）. 通过计算前几项和，发现规律不直观。 （4). 在教师引导下，尝试寻找分子分母与项数之间的关系，感受探索的乐趣和挑战。 (5). 理解：规律具有特殊性，不是所有类似数列都有完全相同的简洁规律。 从数列迁移到数列，旨在培养学生类比推理的能力。让学生经历“猜想—验证—修正”的完整探究过程，明白规律有其适用范围，避免思维定势，培养严谨的科学态度。 (四）、课堂总结，提炼思想（5分钟） 1. 引导学生回顾：今天我们研究了什么？是怎么研究的？ 2. 总结方法与思想： - 方法：从简单情况入手，观察、比较、归纳规律，再应用规律。 - 思想：数形结合（用图形理解分数和）、转化思想（将复杂计算转化为简单规律）。 3. 鼓励学生寻找生活中或数学中类似的规律。 （1）. 分享收获：学会了找分数加法的规律，用图形帮助理解，还尝试了新的数列。 （2）. 在教师引导下，提炼本节课的探究方法和数学思想。 （3）. 联系“一尺之捶，日取其半，万世不竭”等典故。 总结知识，提炼方法，升华思想。将具体的数学知识学习，上升为一般性的探究方法和数学思想的感悟。 六、板书设计 剪纸中的数学问题——探究分数加法的规律 问题： + + + + =? 方法一：通分 + + + + = （繁） 方法二：找规律 观察： + =1- + + =1- + + + =1- ★ 发现规律： + +…+ =1- 应用： 原式 =1- = （简） ★ 思想方法：数形结合、转化 试一试（迁移）： + + + + = ? （规律： + +…+ = 或先计算前几项和找规律） 七、教学反思 成功之处： 1. 情境驱动，激发兴趣：以“剪纸”这一传统艺术为背景，将抽象的分数求和问题与直观的图形操作相结合，激发了学生的探究兴趣，使数学学习变得生动有趣。 2. 过程扎实，凸显探究：教学设计完整呈现了“面对复杂问题—寻求常规解法—观察发现规律—验证应用规律—尝试迁移规律”的科学研究过程，让学生亲身经历了规律的“再发现”，培养了探究能力。 3. 数形结合，突破难点：在归纳“1-”这一规律时，巧妙运用正方形面积的涂色或分割进行动态演示，将抽象的分数和转化为可视化的几何剩余，使学生深刻理解了规律的本质，有效突破了难点。 不足之处与改进： 1. 在“类比迁移”环节，部分学生可能会因为数列的规律不如数列明显而感到困惑或挫败。教师应更强调“探索过程”本身的价值，而不过分追求得出统一公式。可以引导学生用通分法计算后，观察结果，看能否拆分成“1-某数”的形式，发现=1-，规律并不如之前简洁，从而体会数学的多样性。 2. 对学有余力的学生，可以进一步拓展，如提问： + + +…有没有规律？将探究从特殊引向一般。 八、习题设计 1. 基础应用 运用发现的规律，快速计算： + + + + + = 2. 规律理解 根据规律填空： + + +…+ =1-（ ） 3. 拓展迁移 计算： + + + + + 。 （提示：你能把它转化成我们熟悉的数列吗？） 【参考答案】 1. + + + + + =1- = 2. + + +…+ =1- （因为最后一项是） 3. 方法一：原式 = ( + + + + + ) - = - = 方法二：提取公因数，原式= ×( + + + + ) = × (1-) = × = （本题旨在考查学生对规律的灵活运用和转化思想。） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $