7.3定义、命题、定理(第2课时)（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学课件聚焦定义、命题、定理的概念及关系，系统讲解推理与证明步骤。通过知识回顾复习命题定义、分类及真假判断，衔接新知探究，搭建学习支架，帮助学生构建前后知识脉络。 其亮点在于以实例辨析和典例分析为载体，通过严谨的几何证明步骤培养推理意识，结合中考真题增强应用意识，落实数学思维与数学语言素养。课堂小结结构化梳理知识与方法，助力学生构建知识网络，教师可借助其提升教学效率与学生逻辑推理能力。

7.3 定义、命题、定理 （第2课时） 第七章 相交线与平行线 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 (1)理解定理的含义，能区分命题、定理、定义的关系；知道公理与定理的区别；能运用学过的定理进行简单的逻辑推理。 (2)通过对比分析、实例辨析，培养逻辑思维能力和抽象概括能力；在定理应用的过程中，提升推理表达的严谨性。 (3)感受数学逻辑的严密性和系统性，体会定理、定义在数学学习中的重要性；养成严谨求实的数学学习态度。 知识回顾 （1）什么是命题？ 在论证过程中，必须追本求源，确定几个不需要再作论证的，其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题，作为判断其他命题真假的依据. 判断一件事情的语句叫做命题。 命题的一般表述： 如果……，那么…… 题设 结论 命题的结构： （2）命题分为哪两类？ （4）如何判断一个真命题的正确性？ （3）如何判断一个命题是假命题？ 命题有真命题、假命题两种类型 观察,猜想,度量,实验得出的结论未必都正确； ——举个反例 一个命题的真假，常常需要进行有根有据的推理才能作出正确的判断，要确定一个命题是真命题，光靠举几个例子是不够的，要对它的正确性进行论证。 新知探究 探究点1 定 理 提示：定理及定义、基本事实都可以作为继续推理的依据. 议一议 （1）在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题. 在这些真命题中，有些命题是基本事实，请你举出例子？ 两点确定一条直线 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 两点之间线段最短 过一点有且只有一条直线与已知条直线垂直 （2）还有一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，请你举出例子？ 对顶角相等 同角或等角的补角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行内错角相等， （3）一些命题，它们的正确性是经过推理证实的这样的命题叫什么？ 这样的真命题叫作定理 新知探究 探究点1 定 理 从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的、并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 学过的定理： （1）余角的性质：同角或等角的补角相等. （2）对顶角的性质：对顶角相等. （3）平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行. …… 你还能想出学过的定理吗？ 定理的概念： 归一归 定理可以作为继续推理的依据. 新知探究 探究点2 定义、基本事实、定理、命题的关系 议一议 （1）定义、基本事实、定理、含义 定义：对数学概念的精准描述； 基本事实：人们在长期实践中总结出来的 基本事实功能： 作为证明的原始依据的真命题 定理：经过推理证实的真命题（只有经过证明且作为推理依据的真命题才是定理）. （2）定义、基本事实、定理、命题的关系 定义、基本事实、定理它们都是命题. 所有定理都是真命题， 真命题不一定是定理. 命题包含真命题和假命题， 定义、基本事实定理属于真命题的范畴 命题 假命题 真命题 定义 基本事实 定理 基本事实不需要证明 新知探究 探究点3 推理与证明 （1）什么是证明？ （2）说一说推理和证明的区别. ——推理是证明过程的组成部分. 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑法则，推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎法）演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明 议一议 新知探究 探究点3 推理与证明 ①分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； ②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. （3）证明的一般步骤： 议一议 新知探究 探究点3 推理与证明 怎样进行证明真命题： 证明就是推理，证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. 在同一平面内， 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条， 那么它也垂直于另一条. 题设 结论 从题设出发推理得出结论正确 议一议 ∟ ∟ 新知探究 探究点3 推理与证明 例如，要判断命题“相等的角是对顶角”是错误的，可以举出如下反例: 如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角. 怎样证明命题是假命题： 证明或判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例),它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。 O C A B 2 1 议一议 典例分析 例1 如图，已知直线a⊥b，b∥c ，求证a⊥c． a b c 1 2 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1=90º （垂直的定义）. ∵ b∥c（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2=90º（等式的基本事实）. ∴ a⊥c（垂直的定义）. 典例分析 例2．如图：已知直线与相交于点O，，，试说明的理由． 证明：∵， （对顶角相等） ∴（等量代换） ∵ ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 新知巩固 1.在下面的括号内，填上推理的根据. 如图，∠A +∠B=180°，求证∠C +∠D=180°. 证明：∵∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC（_________________________）， ∴∠C+∠D=180°（_________________________）. 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 教材P24页练习 新知巩固 2.命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例. 解：不正确. 如图，∠1和∠2是同位角， 但它们不相等 教材P24页练习 拓展提升 1．现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题： (1)如图1，请直接写出、的数量关系； (2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由； (3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数． 解:（1），理由如下： 点在直线上， ， ， ， 拓展提升 1．现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题： (1)如图1，请直接写出、的数量关系； (2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由； (3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数． （2），，理由如下： 由（1）得， ，， ， ， ，， ， ． 拓展提升 1．现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题： (1)如图1，请直接写出、的数量关系； (2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由； (3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数． 平分，， ， ，， 由（1）可知， ． 答： 与直线所成锐角的度数 真题感知 1.（2025•江西）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AE∥DF． 证明：∵AB∥CD，（已知） ∴∠ACD＝∠1，（两直线平行，内错角相等） ∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠ACD＝∠2，（等量代换） ∴AE∥DF．（内错角相等，两直线平行） 真题感知   证明：∵AD∥BC，（已知） ∴∠1=∠3，（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠4=180°，（已知） ∴∠3+∠4=180°（等量代换） ∴BE∥DF，（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等） ∴∠1=∠2．（等量代换） 2．（2025揭阳统考）如图，已知AD∥BC，∠1+∠4=180°，求证：∠1=∠2． 课堂小结 1.知识总结： （1）定义：对名称和术语的含义作出明确规定的语句； （2）定理：经过推理证实的真命题； （2）关系：定理属于真命题，定义是特殊真命题，基本事实是定理的基础，是真命题。 真命题 假命题 公理 定理 （只需举一个反例） （不需证明） （由推理证实） 命题 课堂小结 2.方法总结： （1）区分基本事实与定理的方法： 看是否需要证明，基本事实无需证明，定理需证明； （2）区分命题、定理、定义的方法： 看语句的作用，定义界定概念，定理是推理依据，命题是判断语句； （3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。 这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等； （4）证明命题的步骤： 写出已知， 写出求证， 写出证明过程 课堂小结 （1）混淆基本事实和定理，误认为所有真命题都是定理； （2）运用定理推理时，遗漏推理依据或依据错误； （3）把普通真命题当作定理。 3.易错提醒： 课后练习 2. 如图，用符号表示下列推理过程： （1）因为∠1 和∠2 相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以 AB 和 EF 平行； （2）因为 DE 和 BC 平行，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1 =∠B，∠3 =∠C. 解：（1）∵∠1 =∠2， ∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）. （2）∵DE∥BC， ∴∠1 =∠B，∠3 =∠C（两直线平行，同位角相等）. 教材P24页 习题7.3 课后练习 3. 完成下面的证明. （1）如图（1），AB∥CD，BC∥ED. 求证∠B +∠D = 180°. 证明：∵AB∥CD， ∴∠B =_______（ ）. ∵BC∥ED， ∴∠C +∠D = 180°（ ）. ∴∠B +∠D = 180°. （1） ∠C 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 教材P25页 习题7.3 课后练习 （2）如图（2），∠ABC =∠A′B′C′，BD，B′D′ 分别是∠ABC，∠A′B′C′ 的平分线. 求证∠1=∠2. 证明：∵BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线， ∴∠1= ∠ABC，∠2=________ （ ）. 又∠ABC=∠A′B′C′， ∴ ∠ABC = ∠A′B′C′. ∴∠1=∠2（ ）. （2） 等量代换 角平分线的定义 ∠A′B′C′ 教材P25页 习题7.3 课后练习 4.如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，EG和FH平行吗？为什么？ 解：∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）. 又EG平分∠AEF，FH平分∠EFD， ∴∠GEF= ∠AEF，∠EFH= ∠EFD （角平分线的定义）. ∴∠GEF=∠HFE， ∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行）. 教材P25页 习题7.3 谢谢聆听 $