第一部分 4 培优专题四 全等三角形的常考模型-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦全等三角形常考模型，系统覆盖一线三等角、手拉手、对角互补、半角、十字等核心考点，严格对接中考说明，分析模型应用在几何综合题中的考查权重，归纳证明、计算等常考题型，通过条件解读、图形展示、结论推导构建完整知识体系，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“模型解读-例题精讲-针对训练”的三阶备考模式，如一线三等角模型通过构造辅助线证△APC≌△BDP，培养学生几何直观与推理能力，手拉手模型结合等边三角形实例示范全等证明思路，同步配套模拟题和解题技巧点拨，帮助学生掌握模型应用方法，教师可依托此资料开展专题突破，提升复习效率，助力学生在中考几何题中高效得分。

二轮重难培优 数学 第一部分 贵州培优专题强训 培优专题四　全等三角形的常考模型 深研贵州统考方向 条件：点P在线段AB(或AB的延长线)上，∠1＝∠2＝∠3，且AP＝BD(或AC＝BP或CP＝PD) 图形展示： 同侧型 异侧型 结论：△APC≌△BDP 新题好题 一练提优 模型拓展(三垂直型)： 一线三垂直常出现的图形背景： 新题好题 一练提优 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，BD＝1，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，∠ECD＝60°，CE＝3，则△ABC的面积为_______. (例题图) 5 新题好题 一练提优 ➡读题干 等边△ADE→三边相等，三个内角均为60° ➡配模型 ∠ECD＝60°→∠ECD＝∠ADE＝60°，且∠ADE的顶点在∠ECD的一边上→构造一线三等角模型 辅助线作法：延长 CB 至点 F，连接 AF，使 ∠F＝60° (例题解图) 新题好题 一练提优 ➡明思路 ①一线三等角模型→DC＝AF， EC＝DF→BF长度 ②∠F度数→AF长度→BC长度 ③勾股定理→AB长度→S△ABC值 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，延长 CB 至点 F，连接 AF，使 ∠F＝60°.∵△ADE是等边三角形，∴AD＝DE，∠ADE＝60°.∵∠F＋∠DAF＝∠ADE＋∠EDC，∴ ∠DAF＝∠EDC.在△DEC和△ADF中， ，∴△DEC≌△ADF(AAS)，∴DC＝AF， EC＝DF＝3. (例题解图) 新题好题 一练提优 ∵BD＝1，∴BF＝DF－BD＝2.∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°， ∴∠BAF＝30°，∴DC＝AF＝2BF＝4，∴BC＝BD＋DC＝1＋4＝5. 由 勾股定理得AB＝＝2，∴S△ABC＝BC∙AB＝×5×2＝5. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在BC边上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为6，则△ABE与△CDF的面积之和为_______. (第1题图) 4 新题好题 一练提优 【解析】∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE＋∠ABE，∠2＝∠CAF＋∠ACF，∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，∴∠BAE＝∠ACF，∠ABE＝∠CAF.又∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAF，∴S△ABE＝S△CAF.∵CD＝2BD，△ABC的面积为6，∴S△ABE＋S△CDF＝S△CAF＋S△CDF＝S△ACD＝ S△ABC＝4. (第1题图) 新题好题 一练提优 2.如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G，则的值为______. (第2题图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，则∠H＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，AD＝DC.∵AE绕点E逆时针旋转90°得到FE，∴AE＝FE，∠AEF＝90°.∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠HEF＋∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠HEF.在△ADE和 △EHF中，， (第2题解图) 新题好题 一练提优 ∴△ADE≌△EHF(AAS)，∴AD＝EH，DE＝HF，∴EH＝DC，∴DE＝CH＝HF，∴∠HCF＝45°.∵AB∥CD，∴∠G＝∠HCF＝45°.设CH＝HF＝DE＝x，正方形的边长为y，则CE＝y－x，CF＝x，CG＝y，∴FG＝CG－CF＝y－x＝(y－x)，∴＝. (第2题解图) 新题好题 一练提优 条件：如图，△OAB和△OCD都是等腰三角形，OA＝OB，OC＝OD，且∠AOB＝∠COD＝α，将△OCD绕点O旋转，连接AC，BD(称为“拉手线”) 图形展示： 结论：△AOC≌△BOD 新题好题 一练提优 解题小技巧： 如图，当出现共顶点的三条线段(AB，AC，AD)，且其中两条线段相等(AB＝AC)时，可以构造“手拉手”模型 新题好题 一练提优 如图，△ABC是边长为12的等边三角形，CD 为 AB 边上的高，E 为 CD 的中点，连接 AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF，则CF的长为_______. (例题图) 3 新题好题 一练提优 ➡读题干 ①等边△ABC，等边△AEF→三边分别相等， 三个内角相等，均为60° ②CD 为 AB 边上的高→CD⊥AB ③E 为 CD的中点→CE＝DE ➡配模型 △ABC，△AEF共顶点，均为等边三角形→构造旋转手拉手模型 辅助线作法：连接BE (例题解图) 新题好题 一练提优 ➡明思路 ①旋转手拉手模型→CF＝BE ②含特殊角的直角三角形→CD长度 ③中点、高→DE，BD长度 ④勾股定理→BE长度→CF长度 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，连接BE.∵△ABC与△AEF均为等边三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠CAF＝∠BAE.在△CAF和△BAE中， ，∴△CAF≌△BAE(SAS)， (例题解图) 新题好题 一练提优 ∴CF＝BE.∵AC＝12，∠BAC＝60°，CD⊥AB，∴CD＝AC∙sin 60°＝12×＝6.∵E为CD的中点，∴DE＝CD＝3.∵△ABC为等边三角形，CD为AB边上的高，∴BD＝AB＝×12＝6，∴在Rt△BDE中，BE＝＝3， ∴CF＝3. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为_______. (第1题图) 62° 新题好题 一练提优 【解析】如解图，设AC与BD相交于点O.∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD.在△BAE和△CAD中， ，∴△BAE≌△CAD(SAS)， (第1题解图)　 新题好题 一练提优 ∴∠ABE＝∠ACD.∵∠BOC是△ABO和△CDO的外角，∴∠BOC＝∠ABE＋∠BAC＝∠ACD＋∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC＝56°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝×(180°－56°)＝62°. (第1题解图)　 新题好题 一练提优 2.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是_________. (第2题图) 120° 新题好题 一练提优 【解析】如解图，连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°.∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE.∵AD＝BE，OA＝OB，∴△OAD≌△OBE(SAS)，∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA＋∠AOE＝∠BOE＋∠AOE＝∠AOB＝120°. (第2题解图) 新题好题 一练提优 条件：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝CD 作图方法1：过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F 结论：△ADE≌△CDF 新题好题 一练提优 作图方法2：延长BC到点E，使得CE＝AB，连接DE或将△ADB绕点D逆时针旋转得到△CDE 结论：△ADB≌△CDE 新题好题 一练提优 模型拓展： (1)如图，若∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，则AB＋BC＝BD，S四边形ABCD＝BD2 新题好题 一练提优 (2)如图，若∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，BD平分∠ABC，则AB＋ BC＝BD，S四边形ABCD＝BD2 新题好题 一练提优 如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在AB上，∠EDF＝120°，若AB＝5，则BE＋BF的值为 ____. (例题图) 新题好题 一练提优 ➡读题干 ①等边△ABC→∠B＝∠ACB＝60° ②D是AC的中点→AD＝CD ③∠EDF＝120°→∠EDF＋∠B＝180° ➡ 配模型 ∠EDF＋∠B＝180°→对角互补模型 辅助线作法：过点D作DG∥BC交AB于点G ➡明思路 ①对角互补模型，D是AC的中点→DG＝DC＝AG，GF＝CE ②线段和差→BC＋BG→BE＋BF (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点D作DG∥BC交AB于点G.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∠DCE＝120°.∵D为AC的中点，∴AD＝DC＝AC.∵DG∥BC，∴∠GDC＝∠DCE＝120°，∠AGD＝∠B ＝∠ADG＝∠ACB＝60°，∴∠DGF＝120°，△ADG为等边三角形，∴AG＝DG＝AD，∴DG＝DC.∵∠EDF＝∠GDC＝120°，∴∠GDF＝∠CDE. (例题解图) 新题好题 一练提优 在△DCE和△DGF中，，∴△DCE≌△DGF，∴CE＝GF，∴BE＋BF＝BC＋GF＋BF＝BC＋BG. 设BA＝BC＝AC＝2a，∴CD＝AD＝BG＝a，∴BC＋BG＝3a，∴BC＋BG＝AB，∴BE＋BF＝AB＝×5＝. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是64，则AC的长为_________. (第1题图) 8 新题好题 一练提优 【解析】如解图，延长CD至点E，使DE＝BC，连接AE. ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠B. 在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌ △ADE， (第1题解图) 新题好题 一练提优 ∴∠EAD＝∠BAC，AC＝AE，S△AEC＝S四边形ABCD.∵∠BAD＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形.∵四边形ABCD的面积为64，∴AC2＝64，解得AC＝8(负值已舍去)，∴AC的长为8. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F.若AE＝4，FC＝3，则EF的长为_____. (第2题图) 5 新题好题 一练提优 【解析】如解图，连接BD.∵等腰直角三角形ABC中，D为边AC的中点，∴BD⊥AC(三线合一)，BD＝CD＝AD，∠ABD＝∠C＝45°. 又∵DE⊥ DF，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF，∴∠FDC＝∠EDB. 在 △EDB与△FDC中， (第2题解图)　 新题好题 一练提优 ，∴△EDB≌△FDC，∴BE＝CF＝3，∴AB＝BC＝7， ∴BF＝4，∴在Rt△EBF中，EF＝＝＝5. (第2题解图)　 新题好题 一练提优 1.等腰直角三角形含45°角 条件：如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠DAE＝45° 图形展示： 结论：△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF，△CEF是直角三角形，BD2＋CE2＝DE2 新题好题 一练提优 2.正方形含45°角 条件：如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45° 图形展示： 结论：△ADF≌△ABG，△AEG≌△AEF，△AGF是等腰直角三角形，EF＝BE＋DF 新题好题 一练提优 3.120°含60°角 条件：如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC，在等腰△BCD中，∠BDC＝120°，BD＝CD，∠EDF＝60° 图形展示： 结论：△BDE≌△CDG，△DFE≌△DFG，EF＝BE＋FC 新题好题 一练提优 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，BE＝2，EF＝5，则DF＝_____. (例题图) 3 新题好题 一练提优 ➡ 读题干 ∠BAD＝120°，∠EAF＝60°→∠EAF＝∠BAD ➡ 配模型 ∠EAF＝∠BAD→半角模型 辅助线作法：延长FD到点M，使DM＝BE，连接AM ➡ 明思路 ①作图→AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，BE＝DM ②半角模型→EF＝MF→DF长度 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，延长FD到点M，使DM＝BE，连接AM.∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADM＝∠B＝90°.在△ABE和△ADM中， ，∴△ABE≌△ADM(SAS)， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM.∵∠BAD＝120°， ∠EAF＝60°， (例题解图) 新题好题 一练提优 ∴∠BAE＋∠DAF＝60°，∴∠MAF＝60°＝∠EAF.在△EAF和 △MAF中，，∴△EAF≌△MAF(SAS)，∴EF＝MF， ∴DF＝MF－MD＝5－2＝3 . (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E都在BC上，∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝5，则DE的长为_______. (第1题图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD′，使得AB与AC重合，连接ED′.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°. ∵△ABD≌△ACD′，∴CD′＝BD＝3，∠ACD′＝∠B＝45°，∠CAD′＝∠BAD，AD＝AD′，∴∠D′CE＝∠ACD′＋∠ACB＝ 90°.∵CE＝5，∴D′E＝＝. (第1题解图) 新题好题 一练提优 ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠EAC＝45°，∴∠EAC＋∠CAD′＝45°，∴∠EAD′＝∠DAE＝45°.∵AD＝AD′，AE＝ AE，∴△ADE≌△AD′E(SAS)，∴DE＝D′E＝. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，点D为等边△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点M，N分别在AB，AC上，且∠MDN＝60°，若AM＝9，AN＝4，MN＝ 8，则△ABC的边长为_____. (第2题图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，延长AC到点E，使CE＝BM，连接DE.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC.∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABC＋∠DBC＝∠ACB＋∠DCB，即∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠DCE＝180°－∠ACD＝90°. (第2题解图) 新题好题 一练提优 在△DBM和△DCE中，，∴△DBM≌△DCE(SAS)，∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE.∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠BDM＋∠CDN＝120°－60°＝60°，∴∠CDE＋∠CDN ＝60°，即∠EDN＝60°. (第2题解图) 新题好题 一练提优 在△MDN和△EDN中，，∴△MDN≌△EDN(SAS)，∴MN＝EN.∵EN＝CE＋CN，CE＝BM，∴MN＝BM＋CN＝8，∴AB＋AC＝AM＋AN＋BM＋CN＝9＋4＋8＝21，∴AB＝，∴△ABC的边长为. (第2题解图) 新题好题 一练提优 条件：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF 结论：△EAD≌△FBA，AE＝BF 新题好题 一练提优 模型拓展： △GEM≌△FBA， EG＝BF △GEM≌△HFN， 　　EG＝FH 新题好题 一练提优 如图，在 ABC中， ∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是AC边上的中 线，过点A 作AE ⊥BD交BD 于点F，交BC于点E，则 的值为______. (例题图) 2 新题好题 一练提优 ➡读题干 ①∠BAC＝90°，AB＝AC→BC＝AC ②BD是AC边上的中线→AD＝CD ➡ 配模型 AE ⊥BD→十字模型 辅助线作法：过点C作CG⊥AC交AE的延长线于点G ➡ 明思路 ①十字模型→CG＝AD＝ AB ②BA∥CG→＝→值 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点C作CG⊥AC交AE的延长线于点G，则∠ACG＝∠BAC＝∠AFD＝90°， ∴∠ABD＋∠BAF＝∠CAG＋∠BAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAG.又∵AB＝AC，∴△ACG≌ △BAD(ASA)，∴CG＝AD＝ AC＝ AB.∵BA∥CG，∴△CEG∽△BEA， ∴＝＝，即 ＝2. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点P，Q分别是边AD，BC上的点，将顶点A沿PQ折叠至DC边上的点E，若DE＝5，则折痕PQ的长为______. (第1题图) 13 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点P作PM⊥BC于点M，由折叠可得PQ⊥AE，∴∠DAE＋∠APQ＝90°. ∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠AED＝90°，∴∠AED ＝∠APQ.∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠APQ ＝∠PQM，∴∠PQM＝∠AED. 又∵∠D＝∠PMQ ＝90°，PM＝AB＝AD，∴△PQM≌△AED(AAS)，∴PQ＝AE＝ ＝13. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，在正方形ABCD中，点E是DC边的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC边于点F，G，垂足为点H.若AB＝4，则GH的长为 ____. (第2题图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点B作BN∥GF交AD于点N.∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠BAN＝∠D＝90°，∴四边形BGFN是平行四边形，∴BN＝GF.∵AE⊥FG，BN∥GF，∴BN⊥AE，∴∠BNA＋∠EAD＝90°.∵∠AED＋∠EAD＝90°， ∴∠BNA＝∠AED.在△AED和△BNA中， (第2题解图) 新题好题 一练提优 ，∴△AED≌△BNA(AAS)，∴AE＝ BN＝FG.∵点E是DC边的中点，∴DE＝CD＝2，∴AE ＝＝＝2，∴FG＝2.∵H是AE的中点，∴AH＝AE＝.∵∠AHF＝∠D＝90°， (第2题解图) ∠FAH＝∠EAD，∴△AFH∽△AED，∴＝，即＝，∴FH＝，∴GH＝FG－FH＝2－＝. 新题好题 一练提优 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $