精品解析：湖北省襄阳市樊城区襄阳高新四中教联体2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

襄阳高新四中1月联考数学试卷 1. 习近平总书记强调，“垃圾分类工作就是新时尚”．下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，； D. ，， 3. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　） A. 竹篮打水 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月 4. 如图，绕点O顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知、是方程两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为(　　) A. 6 B. 6 C. 8 D. 8 8. 抛物线过，两点，点到抛物线对称轴的距离记为，若时，则实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线的表达式：______． 12. 若关于的一元二次方程有两个整数根，则整数的值是___________． 13. 已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是_____． 14. 如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光概率为________． 15. 如图，以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，点是的中点，连接交于点，平分交于点，则_____度；当时，的长为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知关于的一元二次方程，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①，②③． 17. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E在对角线BD上，将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到CF，连接DF． （1）求证：△BCE≌△DCF． （2）若BC＝2 ．求四边形ECFD的面积． 18. 新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点(﹣1，0)，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． （1）试判断二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象是否为“定点抛物线”； （2）若“定点抛物线”y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值． 19. 已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应值如下表： （1）写出二次函数图象的对称轴为______； （2）求二次函数的解析式； （3）当时，求函数值的取值范围． 20. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 21. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 22. 某超市以元千克的价格购进一批草莓，如果以元千克的价格销售，那么每天可售出千克；如果以元千克的价格销售，那么每天可售出千克，根据销售经验可以知道，每天的销售量（千克）与销售单价（元）（）存在一次函数关系． （1）请你直接写出与之间的函数关系式为______； （2）设该超市销售草莓每天获得的利润为元，求当销售单价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果物价局规定商品的利润率不能高于，而超市希望每天销售草莓的利润不低于元，请你帮助超市确定这种草莓的销售单价的范围． 23. 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． （1）证明与推断： ①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：的值为　 　： （2）探究与证明： 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　． 24 如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点． （1）抛物线的顶点坐标为______； 直线的解析式为______，直线的解析式为______； （2）将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到新抛物线，若新拋物线顶点在内（不含边界），求的取值范围； （3）将拋物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象记作，若直线与图象始终有个交点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳高新四中1月联考数学试卷 1. 习近平总书记强调，“垃圾分类工作就是新时尚”．下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项合题意； B、既不是轴对称图形, 也不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，； D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先化为一般形式，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解． 【详解】解：，即的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：2，，． 故选：A． 3. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　） A. 竹篮打水 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟知随机事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．竹篮打水是不可能事件； B．守株待兔是随机事件； C．水涨船高必然事件； D．水中捞月是不可能事件； 故选：B． 4. 如图，绕点O顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，由任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 5. 已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，由得，又没有实数根，则有然后求出的范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：由得， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 6. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 7. 如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为(　　) A. 6 B. 6 C. 8 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长． 【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD， ∵AB=CD=16， ∴BM=DN=8， ∴OM=ON==6， ∵AB⊥CD， ∴∠DPB=90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP=∠ONP=90° ∴四边形MONP是矩形， ∵OM=ON， ∴四边形MONP是正方形， ∴OP=． 故选B． 【点睛】本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 8. 抛物线过，两点，点到抛物线对称轴的距离记为，若时，则实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把代入抛物线得，根据，得或，联立或，求出的值，即有抛物线解析式为或，最后把代入求值即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：把代入抛物线得， ∴， ∴， ∵抛物线上点到抛物线对称轴的距离记为， ∴， ∴或， ∴或， 则或， 解得：或， ∴抛物线解析式为或， ∵在抛物线上， ∴或， ∴实数的值是或， 故选：． 9. 如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质和全等三角形的性质, 掌握切线的性质是解题的关键．连接，根据切线性质，，再根据为切线可知，即可求解出的度数． 【详解】解：如图，连接， 由切线性质得：，，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 则的度数为． 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得：，，， ，故①正确； 当时，，故②正确； 当时，， 由得：， 则，即，故④错误； ，， ，故③正确； 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】二次函数一般形式为，抛物线开口向下则，与轴交于点，则，满足这些条件的表达式均可，答案不唯一． 【详解】解：抛物线开口向下，，与轴交于点，则，所以例如 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，及与系数的关系，熟练掌握函数图象与性质是解题的关键． 12. 若关于的一元二次方程有两个整数根，则整数的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】若一元二次方程有有两个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个整数根， ∴且， 解得，且， 方程的根为， 根据根与系数的关系可得为整数，也为整数，且为整数， ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键． 13. 已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的表面积，解题的关键是熟记圆锥的侧面积公式．根据圆锥表面积公式，，其中为底面半径，为母线长． 【详解】解：由题意，得：，， ∴，， ∴． 故答案为． 14. 如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：设为①，为②，为③，画出树状图如下： 共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①，共4种， ∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 15. 如图，以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，点是的中点，连接交于点，平分交于点，则_____度；当时，的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合圆周角定理以及三角形内角平分线定理即可求解； 连接,求得，根据勾股定理可得,证明，，根据相似三角形性质求解． 此题考查了勾股定理，三角形相似，圆周角定理，综合运用勾股定理，三角形相似，圆周角定理的相关知识是解题关键． 【详解】解：①点是的中点， , 平分， ， 根据图可知： 为半圆的直径， ∴ ∴, , , , ②连接, ,, , , 设，则， 根据勾股定理可得：, ， 点是的中点， , , , , , , , ,, , , , ． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共9小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知关于的一元二次方程，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①，②③． 【答案】选①，；选②，；选③，方程无实数解． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据公式法或因式分解法求解即可． 【详解】解：选①，方程为， ， 即， 解得：； 选②，方程为， ， 即， 解得：； 选③，方程为， ∵， ∴方程无实数解． 17. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E在对角线BD上，将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到CF，连接DF． （1）求证：△BCE≌△DCF． （2）若BC＝2 ．求四边形ECFD的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得BC=CD，∠A=∠BCD=120°，由旋转的性质可得CF=CE，∠ECF=120°=∠BCD，由“SAS”可证△BCE≌△DCF； （2）如图，连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∠BCA=60°，由直角三角形的性质可求CO=，BO=CO=3，即可求S△BCD=×6×=3，由全等三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠A=∠BCD=120° ∵将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到CF， ∴CF=CE，∠ECF=120°=∠BCD， ∴∠BCE=∠DCF，且BC=CD，EC=CF， ∴△BCE≌△DCF（SAS） （2）如图，连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∠BCA=60°， ∵BC=2， ∴CO=，由勾股定理可得BO==3， ∴BD=6， ∴S△BCD=×6×=3， ∵△BCE≌△DCF ∴S△BEC=S△CDF， ∴S△BCD=S四边形ECFD=3． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的性质 18. 新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点(﹣1，0)，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． （1）试判断二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象是否为“定点抛物线”； （2）若“定点抛物线”y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值． 【答案】（1）二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象是“定点抛物线”；（2）1 【解析】 【分析】（1）把代入y＝x2﹣4x﹣5求解即可判断； （2）把代入可得与的关系，根据抛物线与轴只有一个交点可得顶点落在轴上，从而可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】解：（1）把代入y＝x2﹣4x﹣5得：， 二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象经过点，是“定点抛物线”． （2）把代入得：， 整理得：， ， ∵抛物线与轴只有一个交点时， ∴为抛物线顶点， 抛物线对称轴为直线， 解得：， ∴k的值为1． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题的关键，属于中考常考题型． 19. 已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应值如下表： （1）写出二次函数图象对称轴为______； （2）求二次函数的解析式； （3）当时，求函数值的取值范围． 【答案】（1）； （2）二次函数的解析式为； （3）的取值范围为． 【解析】 【分析】（）根据抛物线的对称性，，时的函数值相等，然后列式计算即可得解； （）待定系数法求解可得； （）根据二次函数的性质可得； 本题考查了利用列表求对称轴，二次函数解析式，函数值范围，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【小问1详解】 解：∵，时的函数值相等，都是， ∴此函数图象对称轴为直线， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将、代入，得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． 20. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们的目标可以实现． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 21. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接AD．证明OD∥AE，可得∠E＝90°，则∠ODE＝90°得出DE⊥OD即可； （2）设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r（8﹣r）2+42＝r2解方程即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接AD． ∵点D为弧BC的中点， ∴， ∴∠EAD＝∠DAB， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB， ∴∠EAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r． 过点O作OF⊥AE于F， 则四边形OFED为矩形 ∴OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r， ∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确运用基本图形的性质解决问题． 22. 某超市以元千克的价格购进一批草莓，如果以元千克的价格销售，那么每天可售出千克；如果以元千克的价格销售，那么每天可售出千克，根据销售经验可以知道，每天的销售量（千克）与销售单价（元）（）存在一次函数关系． （1）请你直接写出与之间的函数关系式为______； （2）设该超市销售草莓每天获得的利润为元，求当销售单价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果物价局规定商品的利润率不能高于，而超市希望每天销售草莓的利润不低于元，请你帮助超市确定这种草莓的销售单价的范围． 【答案】（1）； （2）当时，取得最大，元； （3）销售这种草莓的销售单价的范围为． 【解析】 【分析】（）设与之间的函数关系式为，将、代入，可得出的值，继而得出与的函数关系式； （）每天的总利润每天的销量每千克的利润，从而可得关于的表达式，利用配方法求解最值即可； （）根据利润不低于元，可求得的取值范围，再由利润率不能高于，可最终确定这种草莓的销售单价的范围； 本题考查了一次函数，二次函数的应用，解题的关键是仔细审题，得出利润与售价的函数关系式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将、代入，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ∵， ∴当时，取得最大，元； 【小问3详解】 解：由题意得， 解得：， 又∵物价局规定商品的利润率不能高于， ∴， ∴， 综上可得：， 答：销售这种草莓的销售单价的范围为． 23. 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． （1）证明与推断： ①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：的值为　 　： （2）探究与证明： 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　． 【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3 【解析】 【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证； ②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接CG，只需证∽即可得； （3）证∽得，设，知，由得、、，由可得a的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE⊥BC、GF⊥CD， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°， ∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC， ∴四边形CEGF是正方形； ②由①知四边形CEGF是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°， ∴，GE∥AB， ∴， 故答案为； （2）连接CG， 由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α， 在Rt△CEG和Rt△CBA中， =、=， ∴=， ∴△ACG∽△BCE， ∴， ∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE； （3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG∽△BCE， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG， ∴△AHG∽△CHA， ∴， 设BC=CD=AD=a，则AC=a， 则由得， ∴AH=a， 则DH=AD﹣AH=a，CH==a， ∴由得， 解得：a=3，即BC=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键. 24. 如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点． （1）抛物线的顶点坐标为______； 直线的解析式为______，直线的解析式为______； （2）将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到新抛物线，若新拋物线的顶点在内（不含边界），求的取值范围； （3）将拋物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象记作，若直线与图象始终有个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；，； （2）的取值范围为； （3）的取值范围为． 【解析】 【分析】（）把配成顶点式即可求解； 由求出点，，，然后根据待定系数法接求解； （）根据题意得出平移后的解析式为，得出顶点坐标为，然后分当顶点在上时，当顶点在上时，求出的值，从而求出范围； （）先画出翻折后所得新图象如图所示，平移直线知直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点，然后找出的值，从而求出范围； 本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象的几何变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：由， ∴顶点坐标为， 故答案：； ∵与轴相交于点和点，与轴交于点， ∴当时，， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（）得：， ∴向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度的抛物线解析式为， ∴抛物线顶点为， 由（）得：直线的解析式为，直线的解析式为， 当顶点在上时，， 解得：， 当顶点在上时，， 解得：， ∴新拋物线的顶点在内（不含边界），的取值范围为； 【小问3详解】 解：翻折后所得新图象如图所示， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点； 当直线位于时，此时过点， ∴，即； 当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴，整理得：， 故有方程两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴直线与图象始终有个交点，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $