1.5 第1课时 利用二次画数解决几何图形问题及实物抛物线问题-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

运士（一多型-8晨的值为定价 (-x+3)(x1+2) (3)点P,Q在二次函数的图象上，x2=一2x1, .P(x1,-x+9),Q(-2x1,-4x2+9). 设直线PQ的表达式为y=mx十n, m=x1, 则-2m十n=-4z+9,”n=-2xf+9. y=x1x-2x+9. 当x=五-1时w=a-1D-2+9=-(a+）+买， 当=一合时，线段MN的长度最大，最大值为平 3.解：存在.如图，连接AE,BE.令-号十6=0，解得x 23,x2=-23,.OB=OA=2√3」 令x=0,则y=6,.OE=6,.AE=BE=4√/3=AB ∴.△ABE为等边三角形 △AQP≌△ABP,点Q与点E重合， ∴.∠PAB=30°. 取BE的中点C,连接AC并延长，交OE于点D,交二次函数 的图象于点P 在Rt△AOD中，∠AOD=90°，∠OAD=30°，OA=2√3， ∴.OD=OA·tan∠OAD=2, .D(0,2).设直线AP：y=kx十b.把A(-2√3,0)，D(0,2) 代人，得23k+6=0:解得=③ 3 1b=2, b=2, ·直线APy= 3x+2. 令号+2=一+6解得=。 3 3x2 =-23(不合题意，舍去) =9时y- 2+6=9P点 坐标为(，) 4.解：(1)把A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)代入y=ax2+bx+ (a-b+c=0, a=1, c,得9a+3b十c=0,解得b=-2, c=-3, c=-3, ∴.二次函数的表达式为y=x2-2x一3. (2)如图.由y=x2一2x一3，得抛物线的 对称轴为直线x=1. :P,C两点关于抛物线的对称轴对称， C(0,-3),.P(2,-3) 设Q(m,m2-2m-3). .∠OPQ=90°，.OP2+PQ=OQ, ∴.(22+32)+[(2-m)2+(-3-m2+2m 十3)2]=m2+(m2-2m-3)2, 整理，得3m2一8m十4=0， 解得m=号m=2不合题意，舍去) 加=号点Q的坐标为（号，一） .2 5.解：(1)23 (2)由(1)，得抛物线的表达式为y=-x+2x+3,.C(0,3). 431443 166 九年级数学J版 ,A(3,0),.△OAC是等腰直角三角 形.如图，过点P作PE⊥x轴，垂足 为E Ap-E器=sin6 六PE=E.9= EA 2 :AQ=3-(-1)-t=4-t, :Sa0=SaAm-Sa8=号×4X3-名X(4-)t= 含-2+6=2-2)r+4. :当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC=√32十32=3√2，AB=4,∴.0≤t≤3， ∴当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4， 1.5二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决几何图形 问题及实物抛物线问题 1.B2253.454.1 5.解：(1)如图，以O为原点，水平方向为x y/m 轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐 标系 1 立柱的间距为吉m,OC=m】 x/m A(-号，) 设抛物线的表达式为y=a,则普=a·(一号)厂，解得a= 器地物线的表达式为y器. (2)能.理由如下： 由)可知，将x=号与=号分别代入y号，解得y 能与=品：一段捷栏所需阏筋的总长度为5×号-2 ×(篇+品)+号×6=器(m. :得<7一根长为7m的锅筋能做成一段符合要求的 栅栏. 6.C 7.解：(1)：8-6=2(m),∴抛物线的顶点坐标为(2,3).设抛物 线的表达式为y=a(x-2)2十3.把点A(8,0)代入，得36a十 3=0,解得a=一立“抛物线的表达式为y=一立（红-2） 十8当x=0时y=号>24，球不能射进球门 (2)设小明带球向正后方移动am,则移动后的抛物线表达式 为y=一12(x-2-a)2+3.把点(0,2.25)代入，得2.25= 一立0-2-a)2十3，解得a=-5(不符合题意，合去) 1,∴.当时他应该带球向正后方移动1m射门，才能让足球经 过点O正上方2.25m处. 8.解：(1)(40,32) (2)设抛物线的表达式为y=a(x-40)2+32. 把(80,0)代入y=a(x-40)2+32,得0=a(80-40)2+32, 解得a=一0抛物线的表达式为y=一0(x一40)° +32. (3)能.理由如下： 当y=2.5时，2.5=一品（红-40）十32，解得x=40士 5/59. .'40+5V59-(40-5√59)=1059>24×3， 罩子内一排能放下3个这样的盘子. 第2课时利用二次函数解决销售问题及其他问题 1.D 2.解：设利润为M元.由题意可得M=(x十40一30)(300一 10x)=-10(x-10)2+4000,∴.当x=10时，M有最大值， 最大值为4000，.销售单价为40十10=50（元）. 故当服装店将销售单价定为50元时，获得的利润最大，最大 利润是4000元. 3.D4.16 5.解：(1)由题意，得抛物线顶点P(2,10),D(0,6) 设抛物线的表达式为y=a(x-2)2十10. 将D(0,6)代入，得4a十10=6，解得a=-1, ∴抛物线的表达式为y=-(x-2)2+10. (2)当y=0时，0=-(x-2)2+10, 解得x1=2十√10，x2=2-√10（不符合题意，舍去）， .C(2+/10,0), .水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为(2十√10)m, 6.D7.1060500 8.解：(1)y=-x+120 (2)设公司销售该商品获得的日利润为元. 根据题意，得=(x一30)y=(x一30)（一x十120）=一(x 75)2+2025. :x-30≥0，-x十120≥0，.30≤x≤120. :-1<0,∴.当x=75时，最大=2025. 故公司销售该商品获得的最大日利润是2025元. (3)由(2)，得=(x-30-10)(-x+120)=-(x-80)2十 1600. 当最大=1500时，-(x-80)2+1600=1500, 解得x1=70,x2=90. 40≤x≤a,.分以下两种情况讨论： ①当a<80时，随x的增大而增大， .当x=a=70时，w敏大=1500. ②当a≥80时，在40≤x≤a范围内w最太=1600≠1500， .这种情况不成立.综上所述，a=70. 9.解：(1)500 (2)当20≤x<600时，w=z(六+10)+50100-)- 品-40)+420， “品>0当x=40时，w有最小值，最小值为42000， 此时，1000-x=1000-400=600. 当600<x≤700时，W=40x十50(1000-x)=-10x+ 50000. -10<0,.当x=700时，W有最小值，最小值为一10× 700+50000=43000. 42000<43000,.当甲种蔬菜的种植面积为400m2,乙种 蔬菜的种植面积为600m时，W最小. (3)由(2)可知，甲、乙两种蔬菜的总种植成本为42000元，乙 种蔬菜的种植成本为50×600=30000（元）， 则甲种蔬菜的种植成本为42000-30000=12000（元）. 由题意，得12000(1-10%)2十30000(1-a%)2=28920. 设a%=. 整理，得(1一m)2=0.64, 解得1=0.2,2=1.8（不符合题意，舍去）， .a%=20%,.a=20. 故当a为20时，2026年的总种植成本为28920元. 章未对点导练 1.B2.0 3.解：(1)根据题意，得m2十4m一3=2， 解得1=一5，m2=1.,m十3≠0，∴.m≠一3.故m的值为 -5或1. (2)函数图象的开口向上，.m十3>0，.m>一3， ,.m=1. (3)函数有最大值，.m十3<0，∴.m一3，.m=一5. 4.C5.142406.-1<x<4 7.解：(1)在y=ax2-4ax十5中，令x=0,得y=5,.C(0,5). .y=ax2-4a.x+5=a(x-2)2+5-4a, .对称轴为直线x=2. (2)在y=ax2-4ax+5中， 令x=-1,得y1=5a+5; 令x=2,得y2=5-4a; 令x=6,得y=12a十5. ①当a>0时，：yyy中有且只有一个小于0， 5a+5≥0， :5-a<0,解得a>至 112a+5≥0， ②当a<0时，.y1,y2,y中有且只有一个小于0， (5a+5≥0， :5-u>0,解得-1<a<一是 12a+5<0, 综上所述，a的取值范围是a>5或-1<a<-是 8.y=(x-2)2-29.y=-2x2+4x十6 10.解：(1)直线y=x一3交x轴于点B,交y轴于点A, .B(3,0),A(0,-3). 将B(3,0),A(0,-3)代入y=ax+4x十c, 得/9a+12+c=0 解得/a一1， c=-3, c=-3, .抛物线的表达式为y=一x2十4x一3. .y=-x2+4x-3=-(x-2)2十1，.C(2,1). (2)将抛物线y=ax2十4x十c向下平移m个单位长度得到 y=-(x一2)2十1一m,∴平移后的抛物线的顶点为(2,1 m).把x=2代入y=x-3,得y=-1, ∴.AB与对称轴的交点为(2，一1). :Saw=22×31-m+1=2 加的值为号或号 10 11.B12.B13.11.25 424442 下册参考答案 1671.5二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决几何图形问题及实物抛物线问题 要恩提园 1.利用二次函数解决几何图形问题：利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函 数表达式，并利用函数的图象确定最大或最小面积 2.实物抛物线问题：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问 题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的表达式，通过表达式可以解决一些测 量问题或其他问题， 已课内基础练 5.(教材第32页题1变式)某校的围墙上端由相 知识点① 利用二次函数解决几何图形问题 同的凹曲拱形栅栏组成.如下图，一段拱形栅栏 为抛物线的一部分，该栅栏的立柱和横杆用相 1.已知一个直角三角形两直角边边长之和为 同的钢筋切割而成，横杆AB间用5根立柱加 20cm,则该直角三角形的最大面积为( A.25 cm2 B.50 cm2 固，立柱的间距为号m,0C- 15m. C.100cm2 D.不确定 (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物 2.(教材第31页题2变式)把一根长100cm的铁 线的表达式； 丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形， (2)试判断一根长为7m的钢筋能不能做成 则它们的面积之和最小为 cm2. 一段符合要求的栅栏？请说明理由. 知识点②实物抛物线问题 3.（2024株洲芦淞区模拟)如图所示是某抛物 线形的隧道示意图.已知抛物线的函数表达 式为y=一高十6，为增加照明度，在该抛 物线上距地面AB高为6m的点E,F处要 安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离E℉是 m(用含根号的式子表示). 第3题图 第4题图 4.(2024宿迁沭阳模拟)如图，当一喷灌架为 农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似 地看成抛物线y=一六(x-5)2+3.6,则该 喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA m. 下册第1章 23企 已课外拓展练 核心素养练 -- 6.某农场要建两间矩形饲养 8.数学核心素养·应用意识为了防止蚊虫 室，一面靠现有墙（墙足够 污染饭菜，奶奶用细竹篾编了一个罩子保护 长)，中间用一道墙隔开，并 第6题图 饭菜（如图①）.将罩子开口朝下放在水平桌 在如图所示的两处各留1m宽的门.已知计 面上，其截面为抛物线形.小丽测得罩子的 划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 跨度为80cm,高度为32cm.小丽以罩子左 28m,则当能建成的饲养室总占地面积最大 边缘为原点、水平线为x轴建立平面直角坐 时，中间隔开的墙长为 标系（如图②） A.8m B.6 m C.5m D.4m (1)罩子上最高的点的坐标为 7.(教材第38页题12变式)一次足球训练中， (2)求抛物线的表达式； 小明从球门正前方8m的点A处射门，球射 (3)小丽的妈妈想购买一批直径为24cm,高 向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距 度为2.5cm的盘子，要使罩子紧贴水平桌 离为6m时，球达到最高点，此时球离地面 面，罩子内一排能放下3个这样的盘子吗？ 3m.已知球门高OB为2.44m,现以O为原 请说明理由 点建立如下图所示的平面直角坐标系 (1)求抛物线的表达式，并通过计算判断球 能否射进球门（忽略其他因素）； 0 80 (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形 图① 图② 状、最大高度均保持不变，则小明应该带球 向正后方移动多少米射门，才能让足球经过 点O正上方2.25m处？ y/mt x/m 24 九年级数学XJ版