1.3 专题一 确定二次函数的表达式-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

专题一 确定二次函数的表达式 题型①用一般式求二次函数的表达式 题型② 用顶点式求二次函数的表达式 1.(教材第23页题4变式)已知二次函数的图 3.已知某二次函数的图象的顶点坐标为(1， 象经过一次函数y=2x十3的图象与x轴、y 2),且经过点(0，一5)，则该二次函数的表 轴的交点，且经过点（一1,4）.求这个二次函 达式为 () 数的表达式。 A.y=-3(x+1)2-2 B.y=3(.x+1)2-2 C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2 4.(2024娄底娄星区期中)如下图所示，已知二 次函数图象的顶点为A(1,一3)，并经过点 C(2,0). (1)求该二次函数的表达式； (2)点Q在x轴上运动，求出所有满足△AOQ 是等腰三角形的点Q的坐标 2.已知二次函数y=ax2+bx十c中，函数y与 自变量x的部分对应值如下表： -1 0 11 3 5 21 (1)该二次函数的表达式为 (2)若A(-4,)B()两点都在该函 数的图象上，则y y2（填“>” “<”或“=”) (3)若A(m-1,y1),B(m十1，y2)两点都在 该函数的图象上，试比较y1与y2的大小. 下册第1章 15△ 题型③用交点式求二次函数的表达式 题型④求图形变换后的二次函数的表达式 5.已知抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),与 8.将抛物线y=x2一6x十9绕它的顶点A旋转 y轴交于点C.若OC=2,则这条抛物线的表 180°，则旋转后抛物线的表达式为 达式是 6.(教材第23页题3变式)已知二次函数的图 9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物 象与x轴的交点的横坐标分别为，和一2，且 线y=x2十bx+c经过A(1,0),B(0,2)两 点，顶点为D 经过点(2，一3).求二次函数的表达式. (1)求抛物线的表达式； (2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点 B落到点C的位置，再将抛物线沿y轴平 移，使其经过点C.求平移后所得新抛物线的 表达式 7.如右图，在平面直角坐标系 中，一条抛物线经过A,O,B 三点，点B在x轴的正半轴 B 上，且OA=OB=4,∠AOB=120°.求这条 10.如下图所示的是抛物线y=a(x十m)2. 抛物线的表达式 (1)求该抛物线的表达式； (2)该抛物线可以由抛物线y =-平移得到吗？若可 以，则怎样平移才能得到该抛物线？若不 可以，请说明理由； (3)将该抛物线绕原点O旋转180°，求旋转 后所得新抛物线的表达式. 16 九年级数学XJ版Sam=SaE,20C.0E=AE·3,即号×6.0E 合8一OB·3,0E=号，即点E的坐标为(0，号)】 设过B,C,E三点的抛物线的函数表达式为y=ax2十bx十c (a≠0). 0=36a+6b+c, 将点B,C,E的坐标代入，得0=36a-66+c, 2 a-27' 解得b=0, 31 ÷过B.CE三点的抛物线的函数表达式为y=品-号 11.解：(1)把(-1,0)，(0，-3)，(2，-3)代入y=ax+bx+c, (a-b十c=0, a=1, 得c=-3, 解得b=一2. 4a+2b+c=-3,c=-3, .抛物线的表达式为y=x2-2x-3. 当x=-2时，d=4十4-3=5； 当x=1时，n=1一2-3=-4. (2)①画出抛物线如图①所示. ②描出点P的运动轨迹如图②所示. 设点P(,m-2m-3). 00.0P(受-0-) 设号=4，则m一20=3-一03-2x-20-是， 2 2 ∴.点P的运动轨迹的函数表达式为y=2z2-2x一之 3 5432 4321 01/2345x 图① 图② 专题一确定二次函数的表达式 1.解：当x=0时，y=2x十3=3：当y=0时，0=2x十3，解得x =一号一次函数y=2:十3的图象与x辅y轴的交点分 别为(-，0），0,3). 设二次函数的表达式为y=ax2十bx十c. 将(-1,40,0,3).(-，0）代入， a-b+c=4, a=-6, 得 c=3, 解得{b=一7， a-6+c=0, 9 c=3, ∴.二次函数的表达式为y=-6x2-7x十3 2.解：(1)y=2x2-4x+5 4334439 164 九年级数学XJ版 (2)> (3)把x=m-1代入函数表达式可得，y=2m2-8m十11.把 x=m十1代入函数表达式可得，y2=2m2十3，.y一y2= -8m+8,∴当m<1时，y>y;当m>1时，y<y2;当m= 1时，y1=y2: 3.C 4.解：(1)，二次函数图象的顶点为A(1,一3)，.设二次函数 的表达式为y=a(x-1)2-3.将C(2,0)代入表达式，得a= 3,.该二次函数的表达式为y=3(x-1)2一3=3x2一6x,即 y=3x2-6x. (2)设Q(m,0).A(1,-3),O(0,0),.QA2=(1-m)2十9 =m2-2m+10,Q03=m2,Ay=10. △AOQ是等腰三角形，∴.可分以下三种情况讨论： ①当QA=Q0时，QA2=QO3,则m2-2m+10=m,解得m =5: ②当QA=AO时，QA2=AOP,则2-2十10=10，解得m =0(不合题意，舍去)，2=2： ③当QO=AO时，QO=AO,则m2=10,解得m1=√10， m2=-/10. 综上，符合条件的点Q的坐标为(5,0)或(2,0)或(10,0)或 (-10,0). 5.y=-x2十x十2或y=x2-x-2 6,解：由题意，设二次函数的表达式为y=(-)x+2). 将(2，-3)代入，得-3=a·2×4,解得a=-令， ∴二次函数的表达式为y= 2(x-)(x+2)=- 、3 1 x+2 7.解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C .∠AOB=120°，∴.∠AOC=60°， .∠OAC=30° .OA=OB=4, ∴.OC=2,AC=2√3，B(4,0), .A(-2,2√3) 由抛物线经过点O(0,0),B(4,0),设抛物线的表达式为y= ax(x-4). 把A(-2,23)代入，得a·(-2)(-2-4)=2√3，解得a= 这条抛物线的表达式为y-r(红-)，即y= 2√3 3 8.y=-x2+6.x-9 9.解：(1)已知抛物线y=x2十bx十c经过点A(1,0),B(0,2), 六将A,B两点的坐标代入，得0=1+b+c, 2=c, 解得，3故抛物线的表达式为y=-3x十2。 c=2. (2)A(1,0),B(0,2),∴.OA=1,OB=2,可得旋转后点C的 坐标为(3,1).当x=3时，x2-3x十2=2，.抛物线y=x 一3x十2经过点(3,2)，.将原抛物线沿y轴向下平移1个单 位后经过点C,∴.平移后所得新抛物线的表达式为y=x 3x+1. 10.解：(1)由题图可知，抛物线的顶点坐标为(2,0)，.m=一2. 将0，-1D代入，得-1=4a,解得a=一子 六该抛物线的表达式为y=一十(x一2. (2)可以.将抛物线y=一子x向右平移2个单位即可得到 该抛物线， (3)顶点绕原点O旋转180°后的对应点的坐标为（一2,0）， 且得到的新抛物线开口向上、开口大小不变.故新抛物线的 表达式为y=(x+2). 1.4二次函数与一元二次方程的联系 1.-华变式题k>42.名 3.解：(1)1 (2).m=1,.y=x2十x-2.当y=0时，x2十x-2=0. .△=b2-4ac=12-4×1×(-2)=9>0, .二次函数的图象与x轴有2个交点 4.C5.2.56.B7.k≥-1且k≠08.0或19.C 10.m<a<bn11.2≤t11 12.解：(1)证明：令y=0,则x2-2mx十m2-1=0, .∴.△=(-2m)2-4(m2-1)=4>0, ∴.不论为何值，该函数的图象与x轴都有两个交点， (2)对于x2-2mx十m2-1=0,x1十x2=2m,x1x2=m2-1. x十x吃=4， x十x号=(x1十x2)2-2.x1x2=4m2-2(m2-1)=4, 解得m1=1,2=-1. 故m的值为1或-1. 13.解：(1)①③(2)0<x<5 (3)令x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1, 抛物线y=x2一2x一3与x轴的交点坐标 为(3,0)和（一1,0）.画出二次函数y=x2 2x一3的大致图象（如图所示）.由图象可 知，当x<一1或x>3时，函数图象位于x 轴上方，此时y>0,即x2-2x-3>0,.一元二次不等式x2 -2x-3>0的解集为x<-1或x>3. 专题二二次函数的图象与系数a,b,c的关系 1.A2.B3.B4.A5.C6.②③ 7.解：(1)根据抛物线开口向上，得α>0..抛物线的对称轴在 y销右侧一名>00.又：抛物线与y销的交点在y 轴负半轴上，.c<0.故a>0,b<0,c<0. (2).抛物线y=ax2十bx十c过点(-1,0)，(0，-1)，∴.a-b +c=0,c=-1,即a-b=1,.a=b+1,.a+b+c=b+1十b -1=2b..b<0,.2b0.a>0,.b+1>0,.b>-1, .2b>-2.故a十b十c的取值范围是-2<a十b十c<0. 专题三二次函数的最值及函数值的范围 1.A2.B3.4 4.解：(1)-6-3 (2)y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6. 一4≤x≤0，.当x=一3时，y取得最大值，最大值为6. (3)①若-3<0， 当x=0时，y取得最小值，最小值为一3； 当x=m时，y取得最大值，最大值为一m2一6m一3， .-m2-6-3+(-3)=2, 解得1=-2，m2=-4(不合题意，舍去). ②若m≤一3，当x=一3时，y取得最大值，最大值为6. .y的最大值与最小值之和为2，∴.y的最小值为一4， ,.-(m十3)2十6=-4， 解得m=-3一√10，m4=-3十√/10（不合题意，舍去）. 综上所述，m的值为-2或-3-√10. 5.解：由题意，得二次函数顶点式为y=a(x十1)2-2.：当x= 1时y红-2=0，解得a=分二次函数的表达式为y (x+1)2-2.当x=-3时，y=0,当x=3时，y=6, 当-3≤x<3时，函数值y的取值范围是-2≤y<6. 6.解：若x=-20时，y大=3，则4a-2a-1)-3,解得a 2a Aa =a=-号，此时x=-2.又：-是<x≤2a=-号不 合题意：若x=2时，y大=3，则4a十2(2a-1)十1=3，a= 合，此时抛物线开口向上，对称轴为直线x=0,离对称轴的 距离越远，值越大，Q=号符合题意；若x=一号时，y大= 3,则a…(-号)+(2a-1)×(-2)+1=3,解得a= 号，经检验符合题意，综上，实数口的值为子或-号 专题四二次函数与几何图形的综合问题 1.解：(1)抛物线y=-x2十2x十3与x轴相交于A,B两点， .-x2十2x十3=0，解得=-1，x2=3, .A(-1,0),B(3,0). (2)设M(,0). .抛物线y=一x2十2x十3与y轴相交于点C,.C(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx十b. 13k十b=0, 把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+b,得 b=3, 用。 .直线BC的表达式为y=-x十3，.F(m,-m十3). 又：E(m,-m+2n十3)， :EF=(-m+2m+3)-(-m+3)=-(m-号）+号。 又'点M在线段OB上，即0≤m≤3， :当m=受时，EF取得最大值 2.解：(1)二次函数y=-x2十c的图象经过点A(-2,5), .5=-4十c,.c=9,.y=-x2十9. (2)证明：当y=0时，0=-x2十9，解得x1=-3,x=3, .B(3,0). 设直线AB的表达式为y=kx十b, 则十。年0月 （k=-1, .y=-x+3. 1b=3, 点P,Q在二次函数的图象上，点D在直线AB上，x2=x1十3， ∴.P(x,-x+9),Q(x+3,-(+3)2+9),D(x,-x十3)， .PD=-x+9-(-x1+3)=-x+x1+6=(x1十2)(-x1十 ,m=-4十8：积- 号PD(0-w) 2D.w-刀 下册参考答案 165