24.3 方法技巧专题 构造圆周角的方法-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

7.C变式题B8.D9.C10.72°11.130° 12.解：(1).四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠C+∠A=180°. ∠C=2∠A,2∠A+∠A=180°，.∠A=60° (2)连接BE,如图. :DE是⊙O的直径，.∠EBD=90 ED=4,∠E=∠A=60°， mE-部即9BD=25 13.证明：如图，连接CA,CE,CF,BC :CD⊥AB于点D,DE=AD, .CA=CE,∴∠A=∠CEA. o. CF=CA,∠CBF=∠CBA. ,四边形ABFC内接于⊙O, .∠A+∠F=180°. 又：∠CEA+∠CEB=180°，∴.∠F=∠CEB. ∠F=∠CEB, 在△CFB和△CEB中，了∠CBF=∠CBE, BC=BC, .△CFB≌△CEB(AAS),.BF=BE 方法技巧专题构造圆周角的方法 1.证明：如图，连接CF,AC,AB. .AB=AF, ∴.∠BCA=∠ACF=∠ABF. ,BC是半圆O的直径， ∴∠BAC=90°，∴.∠ABC+∠ACB =90°. 又AD⊥BC,.∠ADB=90°， ∴∠ABC+∠BAD=90°，∴.∠BAD=∠ACB, ∠ABF=∠BAD,.AE=BE 2.证明：(1)AC=BC,∠BAC=∠B. DF∥BC,∴.∠ADF=∠B,∴∠BAC=∠ADF. ∠BAC=∠CFD,∠ADF=∠CFD, ∴.BD∥CF, ∴.四边形DBCF是平行四边形， (2)如图，连接AE ∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,∴.∠AEF=∠B. 四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴.∠ECF+∠EAF=180°. .BD∥CF, ∴.∠ECF+∠B=180°， ∴.∠EAF=∠B=∠AEF, ..AF=EF. 3.证明：(1)AC=BD,.AC=BD, ∴.AC-CB=BD-CB,即AB=CD, ∴.∠ACB=∠DBC,.EB=EC,∴.AE=DE. (2)如图，延长CO交⊙O于点F,连接 DF,则CF为⊙O的直径， .∠CDF=90°，∠OCD+∠F=90°. ,AC⊥BD,.∠ACB+∠B=90° 由圆周角定理，得∠B=∠F, ∴.∠OCD=∠ACB. 4.解：(1)如图①，连接OC. AB为⊙O的直径，CD⊥AB, ∴CE=DE=CD. .AE=2,OE=3,..OA=AE+OE=5=OC, ..CE=VOC-OE2=4,..CD=8. 图① 图② (2)证明：如图②，连接AP. AB为⊙O的直径，∠APB=90°，.BP⊥AP. OC∥PB,∴.OC⊥AP,∠B=∠AOC,∴AC=PC, ∴∠AOC=2∠D=∠B. .CD⊥AB,CE=DE,∴.AB垂直平分CD, ∴.CF=DF,∴∠D=∠DCF, .∠CFP=∠D+∠DCF=2∠D,∴.∠CFP=∠B. 5.解：(1)连接BD,如图. :AB平分∠DAE,∴.∠EAB=∠DAB. .AE=AD,AB=AB,∴.△ABE≌△ABD(SAS), .∠AEB=∠ADB. ∠ADB=∠ACB,.∠AEB=∠ACB. AC为⊙O的直径，.∠ABC=90°. AB=BC,.∠ACB=45,.∠AEB=∠ACB=45 (2)证明：延长EA交⊙O于点F,连 接BF,CF,如图. AC是⊙O的直径，∠AFC=90°， .EF+CFR=CE2 ∠AEB=45°，∠BFE=∠ACB=45, .△BFE为等腰直角三角形，EF=2BE. △ABD≌△ABE,BD=BE,BD=BF, ∴BD=BF,∴AF=CD, .'.AD=CF,..CF=AD=AE, .2BE+AE2=CE 6.解：(1)如图，连接CO.:AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°. AC-TAB, .AC=AO=CO,∠ABC=30°， 下册参考答案 143 ∴△AOC是等边三角形， ∠A=60°，.∠P=∠A=60° (2)由(1)可得∠P=∠A=60°. ,CP⊥AB,AB是⊙O的直径， ..AC=AP, ∴∠ABP=∠ABC=30°，∴.∠CBP=60°， ∴△CBP是等边三角形，∴.BP=BC=CP. AC=2,.BC=5AC=25, ∴.CAP=BP+BC+CP=3BC=63、 24.4直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 1.B2.A3.A4.相切或相交5.相切6.9 7.解：(1)在Rt△ABC中，AC=3,AB=5, .BC=√JAB-AC=√5-3=4. BC>3.5,即点B到圆心C的距离大于⊙C的半径， ∴点B在⊙C外. (2)过点C作CD⊥AB于点D,如图 :2AC·BC=2ABCD, :CD=AC:BC=3X4=2.4, AB 5 ∴当⊙C与直线AB相切时，r=2.4. 8.解：如图，过点O作OE⊥AB于 点E. ,四边形ABCD是菱形，∠DAB =60°， ∴.∠OAB=30°，∠AOB=90°. 又.AB=16, 0B-AB-80A-gAB=8尽 :Saom=2OA·OB=2OE·AB, OE=0A:OB_85X8=45. AB 16 故以点O为圆心，半径为4√3时所作的圆才能与菱形 ABCD的四条边都相切. 9.C10.D11.(1)相离(2)17 12.解：不会.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB,垂足 为D. 由题意可知，∠A=30°，∠B=45, ∴∠BCD=∠B=45°，.CD=BD. 设CD=xkm,则BD=xkm. 由∠A=30°，得AD=√3CD=√3xkm, √5x十x=2,解得x=5-1, 144 九年级数学HK版 即CD=√5-1≈0.732(km).0.732km>0.7km, .修建的这条公路不会穿过公园. 13.解：(1)点P的坐标为(2,3) 或(6,3). (2)直线OP与⊙A相交.理 由如下： 0 如图，过点A作AC⊥OP,垂足为C 由题意，得AP=PB-AB=12一4=8，OB=3, .OP=√/122+3=√/153. ∠ACP=∠OBP=90°，∠APC=∠OPB, △APCn△0PB6部，即AC=g AC AP 3√153 AC=24≈1.9<2，直线OP与⊙A相交 w/153 第2课时切线的性质与判定 1.D变式题D2.50 3.解：(1)证明：连接OC,如图. ,CE是⊙O的切线，则∠OCE=90°， ∴.∠COE+∠E=90°. ∠AOC=2∠D,2∠D+∠E=90 (2)2√5 4.D5.相切 6.解：(1)证明：连接OD,如图. D为BC的中点， ∴.∠CAD=∠BAD, OA=OD,∴.∠BAD=∠ADO, ∴.∠CAD=∠ADO. DE⊥AC,∴.∠E=90°， .∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴.∠ODE=90°， .OD⊥DE.OD是半圆O的半径， DE为半圆O的切线. (2)2 7.A8.239.6-2√3 10.解：(1)证明：连接OE,如图 ,AC为切线， OE⊥AC,则∠AEO=90°. ∠C=90°，.OE∥BC, .∠1=∠3. OB=OE,∠2=∠3，∠2=∠1. 又：BE=BE,∠EHB=∠C=90°， .△BEH≌△BEC(AAS),..BH=BC方法技巧专题 构造圆周角的方法 题型① 通过辅助线构造同弧或等弧所对的 题型② 利用直径所对的圆周角为直角解题 圆周角 3.已知点A,B,C,D均在⊙O上，连接AC,BD 1.如下图所示，BC是半圆O的直径，AD⊥ 相交于点E,连接BC. BC,垂足为D,AB=AF,BF与AD,AO分 (1)如图①，若AC=BD,求证：AE=DE; 别交于点E,G.证明：AE (2)如图②，若AC⊥BD,连接OC,OD,CD, =BE. 求证：∠OCD=∠ACB. 图① 图② 2.如下图，在△ABC中，AC=BC,D是AB上 一点，⊙O经过点A,C,D,交BC于点E,过 点D作DF∥BC,交⊙O于点F,连接AF, EF,CF.求证： (1)四边形DBCF是平行四边形； 4.(2024合肥新站区一模)已知：AB为⊙O的 (2)AF-EF. 直径，E为OA上一点，过点E作CD⊥AB, 交⊙O于点C,D. 图① 图② (1)如图①，若AE=2,OE=3,求CD的长； 24 九年级数学HK版 (2)如图②，P为BC上一点，连接DP交直径 题型③ 动态几何问题 AB于点F,连接CF,OC,PB.若OC∥PB, 求证：∠CFP=∠B. 6.已知点C在⊙0上，AC=2AB,动点P与点 C位于直径AB的异侧.点P在半圆AB上 运动（不与A,B两点重合），连接BP. 0 图① 图② (I)如图①，过点C作CD⊥PB交PB的延 长线于点D,连接BC,CP.在点P的运动过 程中，求∠P的度数； (2)如图②，过点C作CD⊥PB交PB于点 D,连接BC,CP.在点P的运动过程中，当 CP⊥AB,AC=2时，求△BCP的周长 5.如下图，四边形ABCD内接于⊙O,AB= BC,对角线AC为⊙O的直径，E为⊙O外 一点，AB平分∠DAE,AD=AE,连接 CE,BE. (1)求∠AEB的度数； (2)求证：2BE+AE=CE」 下册第24章 25△