24.3 第2课时 圆内接四边形-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

第2课时圆内接四边形 要固梳理 1.一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外 接圆。 2.圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角. 课内基础闯关 知识点⑦圆内接四边形的概念 1.下列说法正确的是 CE A.在圆内部的多边形叫做圆内接多边形 第3题图 第4题图 B.过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边 知识点③圆内接四边形的外角性质 形的外接圆 4.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的 C.任意一个四边形都有外接圆 一个外角.若∠O=144°，则∠DCE的度数为 D.一个圆有且只有一个内接四边形 知识点②圆内接四边形的对角互补 5.(教材第32页题10变式)如下图，四边形 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ABCD内接于⊙O,EF∥AD.求证：∠F+ 连接AO,OC,∠B=70°，AO∥CD,则 ∠EBC=180°. ∠OAD的度数为 ( A.40° B.50° C.60° D.70° 第2题图 变式题图 6.如下图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四 变式题由整圆变成半圆 边形，延长DC,AB相交于点E,且∠ABC 如图，四边形ABCD内接于半圆O(点A, 2∠E.求证：△ADE是等腰三角形. B,C,D在半圆O上)，AB为⊙O的直径. 若∠ADC=110°，则∠BAC的度数为 3.如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对 角线，点D关于AC的对称点E在边BC 上，连接AE.若∠B=64°，则∠BAE的度数 为 A.64 B.40° C.52° D.42° 22 九年级数学HK版 色课外拓展提高 11.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E 7.如图，菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上， 为OB上一点，点E,C关于BD对称，∠ODE 且∠O=120°.若P是圆上任意一点且不与 =30°，则∠C的度数为 点A,B,C重合，则∠P的度数为 ( 12.如右图，四边形ABCD内接 A.60° B.120 于⊙O,∠C=2∠A,DE是 C.60°或120° D.30°或150 ⊙O的直径，连接BD. (1)求∠A的度数； (2)若⊙O直径为4，求BD的长. B B 第7题图 变式题图 变式题实圆变成隐圆 如图，在四边形ABCD中，AD=BD=CD, E是AB延长线上一点.若∠CBE=73°，则 ∠ADC的度数为 () A.152° B.146° C.140° D.138° 8.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD=DC, ∠CBE=45°，∠O的大小为 ) 色综合能力提升 -------------------------8 A.130° B.100°C.145° D.135° 13.古代数学文化古希腊数学家、物理学家阿 基米德流传于世的数学著作有10余部.下 面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的 一个命题：如下图，AB是⊙O的弦，点C在 ⊙O上，CD⊥AB于点D,在弦AB上取点 第8题图 第9题图 E,使DE=AD,F是BC上的一点，且CF 9.(2024南充模拟)如图，A,B,C,D均在⊙O CA,连接BF,则BF=BE.请证明该命题. 上，∠C=5∠A.若BD=√5，则AB的长最 大为 A.3 B.4 C.23 D.3√2 10.如图，四边形ABCD内接于⊙O,它的3个 外角∠EAB,∠FBC,∠GCD的度数之比 为1：2：4，则∠D的度数为 D 第10题图 第11题图 下册第24章 28△DH⊥AB于点H,连接OA,OC. 此时PA+PC最小，且PA+PC= AD.由垂径定理，得AE=BE=AB =4,CF=DF=2CD=3. .OA=OC=5, ∴.在Rt△AEO中，OE=√OA-AE=3; 在Rt△CFO中，OF=√OC-CF=4. :∠FEH=∠EHD=∠DFE=90°， .四边形HEFD为矩形， .DH-EF-OE+OF=7,EH=DF-=3. 又，AH=AE+EH=7, ∴.AD=√A+D=7√2， 即PA+PC的最小值为7√2. 7.解：设圆心为点O,过点O作OC⊥ AB于点C,交⊙O于点D,连接 OA,如图所示， 0 1 则AC=2AB=号×10=5（寸）. 设该圆材的半径为r寸. 在Rt△ACO中，OC=(r-1)寸，OA=r寸， 则有r2=52+(r-1)2,解得r=13,.2r=26. 故该圆材的直径为26寸. 8.解：(1)连接OA,如图 .'AB=24 m,OC AB, ∴AD=号AB=12m OA=OC=r..CD=8 m,..OD=(r-8)m. 在Rt△AOD中，AD+OD=OA2, 即12+(r-8)2=r2,解得r=13, 故该圆弧形拱桥所在圆的半径长为13m. (2)不能.理由如下： .r=13 m,CD=8 m,..OD=OC-CD=5 m. 构造如图所示的矩形MEFN,MN交CD于点H,连接 OM. 当EF=MN=10m时， :OCLAB,.∴OCLMN,∴MH=2MN=5m, 根据勾股定理，得OH=√OMP-M=12m, ∴.DH=OH-OD=12-5=7(m). 7<7.5,此货船不能顺利通过这座桥， 24.3圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 1.C2.9∠ADB,∠ACB∠A,∠B,∠E 3.C变式题D4.C5.D6.A变式题A 444444 142 九年级数学HK版 7.解：(I)4∠CAD=∠CBD,∠BAC=∠BDC,∠ADB =∠ACB,∠ABD=∠ACD (2)图中的相似三角形有△ABP∽△DCP,△APD ∽△BPC. 示例： 证明：根据圆周角定理可知，∠ADB=∠BCA,∠CAD =∠DBC, .△APD△BPC. 8.B9.B10.25 11.解：(1)∠D=∠A,∠D=60°，∴∠A=60°. 又∠AOB是直角， .AB是⊙C的直径，∠OBA=30°， .AB=2OA=4. (2)在Rt△OAB中，OB=OA·tanA=2×tan60°= 2,点B的坐标为(23,0). 12.解：(1)证明：ACI BD, .∠APB=∠CPD=90°， .∠ABP+∠BAP=90 .PH⊥AB,.∠BAP+∠APH=90°， .∠ABP=∠APH,.∠MPC=∠APH=∠ABP. ,AD=AD,.AD=AD,.∠ABP=∠ACD, .∠PCM=∠MPC,.PM=MC. 同理可得PM=DM, .DM=CM,.M是CD的中点. (2)PH⊥AB,BP=3,HP=√3， .BH=√BP2-HP=√6， sm∠HBP-部- ∠ABP=∠PCD,∠CPD=90°， ·sin∠PCD=E-DP_2 3CD-CD,解得CD=23. :M是CD的中点，PM=DM=CD=5, ∴.MH=HP+PM=25. 第2课时圆内接四边形 1.B2.D变式题20°3.C4.72 5.证明：EF∥AD,.∠D+∠F=180°. :四边形ABCD内接于⊙O, ∠D=∠EBC, ∴∠F+∠EBC=∠F+∠D=180° 6.证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠A=∠BCE, ·∠ABC=2∠E,∠ABC=∠E+∠BCE, ∴∠BCE=∠E,∴.∠A=∠E,∴.DA=DE, 即△ADE是等腰三角形. 7.C变式题B8.D9.C10.72°11.130° 12.解：(1).四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠C+∠A=180°. ∠C=2∠A,2∠A+∠A=180°，.∠A=60° (2)连接BE,如图. :DE是⊙O的直径，.∠EBD=90 ED=4,∠E=∠A=60°， mE-部即9BD=25 13.证明：如图，连接CA,CE,CF,BC :CD⊥AB于点D,DE=AD, .CA=CE,∴∠A=∠CEA. o. CF=CA,∠CBF=∠CBA. ,四边形ABFC内接于⊙O, .∠A+∠F=180°. 又：∠CEA+∠CEB=180°，∴.∠F=∠CEB. ∠F=∠CEB, 在△CFB和△CEB中，了∠CBF=∠CBE, BC=BC, .△CFB≌△CEB(AAS),.BF=BE 方法技巧专题构造圆周角的方法 1.证明：如图，连接CF,AC,AB. .AB=AF, ∴.∠BCA=∠ACF=∠ABF. ,BC是半圆O的直径， ∴∠BAC=90°，∴.∠ABC+∠ACB =90°. 又AD⊥BC,.∠ADB=90°， ∴∠ABC+∠BAD=90°，∴.∠BAD=∠ACB, ∠ABF=∠BAD,.AE=BE 2.证明：(1)AC=BC,∠BAC=∠B. DF∥BC,∴.∠ADF=∠B,∴∠BAC=∠ADF. ∠BAC=∠CFD,∠ADF=∠CFD, ∴.BD∥CF, ∴.四边形DBCF是平行四边形， (2)如图，连接AE ∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,∴.∠AEF=∠B. 四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴.∠ECF+∠EAF=180°. .BD∥CF, ∴.∠ECF+∠B=180°， ∴.∠EAF=∠B=∠AEF, ..AF=EF. 3.证明：(1)AC=BD,.AC=BD, ∴.AC-CB=BD-CB,即AB=CD, ∴.∠ACB=∠DBC,.EB=EC,∴.AE=DE. (2)如图，延长CO交⊙O于点F,连接 DF,则CF为⊙O的直径， .∠CDF=90°，∠OCD+∠F=90°. ,AC⊥BD,.∠ACB+∠B=90° 由圆周角定理，得∠B=∠F, ∴.∠OCD=∠ACB. 4.解：(1)如图①，连接OC. AB为⊙O的直径，CD⊥AB, ∴CE=DE=CD. .AE=2,OE=3,..OA=AE+OE=5=OC, ..CE=VOC-OE2=4,..CD=8. 图① 图② (2)证明：如图②，连接AP. AB为⊙O的直径，∠APB=90°，.BP⊥AP. OC∥PB,∴.OC⊥AP,∠B=∠AOC,∴AC=PC, ∴∠AOC=2∠D=∠B. .CD⊥AB,CE=DE,∴.AB垂直平分CD, ∴.CF=DF,∴∠D=∠DCF, .∠CFP=∠D+∠DCF=2∠D,∴.∠CFP=∠B. 5.解：(1)连接BD,如图. :AB平分∠DAE,∴.∠EAB=∠DAB. .AE=AD,AB=AB,∴.△ABE≌△ABD(SAS), .∠AEB=∠ADB. ∠ADB=∠ACB,.∠AEB=∠ACB. AC为⊙O的直径，.∠ABC=90°. AB=BC,.∠ACB=45,.∠AEB=∠ACB=45 (2)证明：延长EA交⊙O于点F,连 接BF,CF,如图. AC是⊙O的直径，∠AFC=90°， .EF+CFR=CE2 ∠AEB=45°，∠BFE=∠ACB=45, .△BFE为等腰直角三角形，EF=2BE. △ABD≌△ABE,BD=BE,BD=BF, ∴BD=BF,∴AF=CD, .'.AD=CF,..CF=AD=AE, .2BE+AE2=CE 6.解：(1)如图，连接CO.:AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°. AC-TAB, .AC=AO=CO,∠ABC=30°， 下册参考答案 143