专题2.5 抛物线导学案-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学导学案聚焦抛物线专题，涵盖定义、标准方程、性质、焦点弦及弦长等核心知识，通过联系椭圆、双曲线构建圆锥曲线知识脉络，以学习支架形式帮助学生衔接前后知识点。 资料分8个考点设计专练，含经典例题与变式训练，强化实训覆盖多种题型，注重通过推理、论证培养数学思维，结合实际情境（如抛物线型拱桥）引导用数学眼光分析问题，规范公式应用与解题步骤提升数学语言表达能力。

专题2.5 抛物线 高中数学导学案 专题2.5 抛物线 考点预览 一、必备知识 1.抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点. 2.抛物线的标准方程及其基本性质： 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 3.焦点弦：若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： ①；②；③焦点弦长，（为直线与对称轴的夹角）. ④的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）. 4.抛物线的弦长：若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 ①弦长； ②斜率； ③直线AB的方程为； ④线段AB的垂直平分线方程为 ⑤任意弦长公式: 斜率为的直线与二次曲线交于两点，则 或 5.抛物线常用二级结论： （1）若直线与抛物线交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明：因为点，都在抛物线上， 所以（点在抛物线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，所以． 注：这里给出的都是焦点在x轴上的情形，焦点在y轴上时需要再根据点差法推导，不能直接套结论．点差法得到的结论在小题中可以直接用，在大题中要有推导过程． （2）抛物线的切线： ①抛物线在点处的切线方程为． ②抛物线在点处的切线方程为． （3）如果与抛物线有两个交点，．则 联立得到，判别式，由韦达定理得 弦长． （4）如果直线与抛物线有两个交点，．则 联立得到，判别式，由韦达定理得 弦长． （实际上与抛物线的硬解定理的区别就是把A，B对调了一下） 二、考点专练： 地 城 考点01 抛物线的标准方程 【经典例题】 1．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)若点在抛物线上，则该抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】由在上，代入可得，即抛物线的方程为.故答案为：. 2．(23-24高二上·广西百色·期末)如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；   【答案】 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：   设抛物线方程为，由题意可得：因为桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，所以在抛物线上，所以解得，所以抛物线方程为 当水面上升后，不妨设由图可知则，解得， 所以，所以当水面上升后，桥洞内水面宽为.故答案为：. 【变式训练】 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为，则，准线方程为. 所以点.因为，所以，化简得，即，解得.所以抛物线方程为.故选：D. 2．（2025·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，抛物线C的方程为，将代入，可得，故抛物线C的方程为.故选：A. 3．（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的圆心为，所以，得到，又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为，故选：D. 4．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，设抛物线，因为抛物线与直线相交所得线段的长为12， 所以点在上，所以，解得，所以的标准方程为．故选：B 地 城 考点02 由方程研究基本性质 【经典例题】 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线方程知其焦点在轴上且，其焦点坐标为.故选：C. 2．(24-25高二上·浙江宁波余姚中学·月考)抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，则，所以抛物线开口向下，所以准线方程为.故选：C 3．(21-22高二·3.3.2抛物线的简单几何性质（分层练习）-·)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C．± D． 【答案】A 【详解】将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为，故选：A. 【变式训练】 1．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的标准方程为，所以所求准线方程为.故选：D 2．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知抛物线焦点在轴上，且，∴，所以焦点为.故选：B. 3．(24-25高二上·广西部分学校·)抛物线的焦点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的标准形式为，其焦点在轴负半轴上，坐标为.故选：C 4．(24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，，故抛物线的焦点坐标为.故选：A. 5．（25-26高三上·上海松江·期末）抛物线的焦点到其准线的距离为 ． 【答案】4 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以所求距离为.故答案为4 6．（24-25高三上·北京海淀·期末）设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为点A满足，又，代入抛物线方程得，因为，可得，故选：C． 7．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 【答案】A 【详解】抛物线的准线方程为，所以点A到抛物线焦点的距离为.故选：A 8．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由抛物线，则焦点，准线：，又因为直线的斜率为，则直线的方程为：，因，所以可得点，又，所以，即得点，则.故选：C. 地 城 考点03 抛物线定义的简单应用 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西桂林·期末)抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，由于，根据抛物线的定义可知，则，所以的坐标为、.故选：AB 2．(21-22高二上·广东汕尾·期末)已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则 ． 【答案】2 【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高二上学期期末数学试题 【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，所以，则 ， 由抛物线的定义可得，又是的中点，所以到准线的距离为,故答案为：2． 【变式训练】 1．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标 ． 【答案】2 【详解】由题意得抛物线的焦点，准线方程为，，解得． 2．(21-22高二上·陕西西安周至县第四中学·期末)抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 . 【答案】2 【详解】抛物线的准线的方程为：，焦点为,分别过，作，垂足为，在直角梯形中，，由抛物线的定义可知：，因此有，所以点的横坐标为.故答案为：2. 3．(23-24高二上·广西玉林·期末)已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】抛物线的焦点，准线，过点作，垂足为，由，得，于是，设，则，解得，所以的面积.故选：B 地 城 考点04 抛物线中距离和与差的最值问题 【经典例题】 1．(24-25高三上·贵州遵义第十五中学等校·月考)已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，当时，的值最小，此时，由抛物线的定义，可得，则.故选：A. 2．(23-24高二上·广西北海·期末)已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则（    ） A．2 B．13 C．6 D． 【答案】C 【详解】如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为， 设横坐标分别为，由抛物线定义及梯形中位线可知则，，易知，则，即的最小值为，设，， 联立抛物线得，即， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立，故. 故选：C 【变式训练】 1．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为.如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为.由抛物线的定义得，所以，当三点共线时取等号，故的最小值为. 故选：C 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为，设到轴的距离为，过点作⊥准线于点，由抛物线焦半径公式可得，，  则，当且仅当三点共线时，等号成立，其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为.故选：A 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【详解】抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得，在抛物线中，当时，，因此点在抛物线上方.过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然，当且仅当点与点重合时取等号，所以.故选：B. 4．(23-24高二上·湖南浏阳·期末)已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】抛物线中，当时，，则点在抛物线外，抛物线的焦点，准线，过作直线的垂线，垂足为，连接，则，于是，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，所以点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为.故选：C 6．(24-25高二上·河北石家庄二中润德学校·期中)如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，由可得，故，故的周长的取值范围为，故选：D. 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则 ，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则 ． 【答案】 4 8 【详解】如图：设点在的准线上的射影为，则，要使得取得最小值，即取得最小值，当三点共线时，取得最小值，由4，得． 因为，所以.设，则切线的方程为，即．因为切线与圆相切，所以，化简得，解得（舍去）或，因为，所以．故答案为：4；8 地 城 考点05 与抛物线相关的轨迹问题 【经典例题】 1．过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，动圆的圆心到直线的距离与到点的距离相等，所以动圆的圆心是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则其方程为．故答案为： 2.已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：，设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为．故答案为：. 3.若一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设动圆M的半径为r，依题意：，点M到定直线的距离为，所以动点M到定点的距离等于到定直线的距离，即M的轨迹为以F为焦点，为准线的抛物线，所以此动圆的圆心M的轨迹方程是.故选：D． 【变式训练】 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得.【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得，所以所求轨迹方程为. 故答案为： 2.已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为．故答案为: .    3．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为，令，得或，则，令，得，则，所以，所以， 所以点的轨迹为抛物线，故选：D 地 城 考点06 抛物线中点弦问题 【经典例题】 1．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，则，设直线与抛物线交点，则，故，所以线段的中点坐标是.故选：B. 2．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为，由消去得，，由弦的中点为，得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即.故选：D 【变式训练】 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则两式相减得，整理得，因为的中点为，则，所以，即直线的斜率为.故选：D. 2．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等，故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为，设，则，则，则,由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，，故，故直线的方程为，即，故选：D 地 城 考点07 直线与抛物线相交弦问题 【经典例题】 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线过点，过且与(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线过点，得，抛物线的方程为，直线的斜率为，则直线的方程为，即，由消去得，解得，，所以.故选：A 2．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图作垂直于准线，垂足为，可知设，直线的斜率为得，，则，由勾股定理得：，即，化简得：，解得或， 当直线斜率存在时，设为，与抛物线联立消元得：，设交点，则， 而， 当直线斜率不存在时，， 综上，，由得，此时. 由得，此时.故选：D. 【变式训练】 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【详解】易知的斜率存在，设，则，得，因为点在上，所以，又点在第一象限，故，所以，又，所以，所以直线的方程为，即．联立，得，则，由抛物线的定义，得．故选：A 2．(24-25高二上·云南昭通·联考)抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线 的准线方程为，焦点的坐标为，由已知，所以，故抛物线的方程为，焦点的坐标为，因为直线的斜率为，过点，所以直线的方程为，联立，可得，方程的判别式，设，则，又，故选：D. 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】令且，则，联立抛物线准线，可得，令，故，故，所以，令，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，所以的最小值为.故选：B 地 城 考点08 解答题 【经典例题】 1．(21-22高二上·广东广州华南师大附中·期中)已知抛物线上的点到焦点F的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程． 【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为， ∴抛物线定义知：，可得， ∴. （2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程， 有，整理得，则，又P是线段的中点， ∴，即，故. 2．已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点，若点在抛物线的准线上，且为等边三角形，求直线的斜率． 【详解】（1）不妨设点在第一象限，因为，所以，则， 因为，所以，即抛物线的方程为 （2）当直线的斜率不存在时，，要使得为等边三角形，则，但是，，不满足边长相等， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为： 由，化简得 则， 故线段的中点为 设，因为，所以，即， 因为为等边三角形，所以 即，即， 3．(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【详解】（1）法一因为到点的距离与到直线的距离相等； 所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为, 则有  所以, 故的方程为. 法二设的坐标为则有, 所以. 即, 所以的方程为. （2）法一设方程为， 因为，所以，即. 所以，即； 由得，所以. 所以，即，所以； 所以方程为，故恒过定点. 法二设，因为，所以； 所以，所以. 所以的方程为，整理得， 所以，即， 所以直线恒过定点. 【变式训练】 1．(24-25高二上·广西贵港·期末)已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【详解】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，则， 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 2．(24-25高二上·广西玉林·期末)在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线的方程： (2)若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 【详解】（1）在双曲线中，，，所以，即， 在抛物线：中，由题意得，即， 所以抛物线的方程是. （2）由消去并整理得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以， ， 所以的周长为. 3．(23-24高二上·四川巴中·期末)已知抛物线：的焦点为点F，点M在第一象限，且在抛物线上，若，且点M到y轴的距离1，延长MF交抛物线点N． (1)求抛物线的方程及线段MN的长； (2)直线l与抛物线交于A，B两点，记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，当时，直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【详解】（1），且点M到y轴的距离1， 由抛物线的定义得，即，解得． 抛物线E的方程为． 抛物线的焦点．又点M到y轴的距离为1，且在抛物线上， 点M的横坐标为1．直线MN的方程为． 联立，解之得或， 点M在第一象限，，， ； （2）设，， ，，同理可得：， ，整理得，（*） 设直线AB的方程为， 联立方程，消去x，则，， 由韦达定理得，， 将其代入（*）式得，解得， 直线AB的方程为，当时，， 直线l过定点． 三、强化实训 1．(20-21高二上·陕西商洛·期末)抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【详解】将抛物线的方程整理为标准形式，得，则该抛物线的焦点在y轴正半轴，坐标为．故答案为：． 2．已知抛物线则抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【详解】由抛物线，得，所以，则抛物线的准线方程为. 故答案为：. 3．(24-25高二上·云南大理·期末)设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，，直线与的另一个交点为，则 . 【答案】/ 【详解】联立消可得，解得或，即直线与抛物线的交点为或，∵，∴，又，直线：，即，联立，消可得，解得或，则，此时.故答案为： 4．(24-25高二上·云南保山·期末)已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若的最小值为9，则 ． 【答案】2 【详解】，设直线的方程为，将其代入中，得，设，则，，，当且仅当时等号成立，∴由的最小值为得．故答案为：2 5．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知.设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值.由抛物线，得，所以的最小值为.故选：B. 6．(24-25高二上·江苏南通·期中)已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则 ；若为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 /0.5 5 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，设，圆，即为，则； 因为，则，当且仅当三点共线时，等号成立，设点到准线的距离为，则，当且仅当为坐标原点时，等号成立，综上所述：，当且仅当为坐标原点，为时，等号成立，所以的最小值为5.故答案为：；5. 7．(23-24高二上·广西玉林·期末)（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是2 C．若点的坐标为，则的最小值为2 D．若为线段中点，则的坐标可以是 【答案】BD 【详解】由题意，故A错误；焦点到准线的距离是，B正确；对于，过点作垂直于准线，垂足为，则，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故C错误；对于D，假设的坐标是，设，则，由，两式相减得，即，所以，即，所以直线的方程为，即，将代入得，所以直线过点，符合题意，所以的坐标可以是，故D正确.故选：BD. 8．(24-25高二上·云南昆明·期末) （多选）设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线l的方程是 B．的最小值为4 C．所在直线被抛物线所截得的弦长为 D．以线段为直径的圆与y轴相切 【答案】BD 【详解】对于A，由抛物线，则，所以准线的方程为，故A错误； 对于B，由题意，过作，垂足为，设点到直线的距离为，由图可知，故B正确； 对于C，由，则直线的方程为，代入，可得，整理可得，由，设直线与抛物线的两个交点分别为和， 则，，所以弦长为，故C错误； 对于D，取的中点为，并过作，垂足为，记准线与轴交点为，如下图，设以为直径的圆的半径为，由图可知其圆心为，由图可知，易知到轴的距离为，则圆与相切，故D正确. 故选：BD. 9．(22-23高二下·浙江·) （多选）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的（    ） A．点的坐标为 B．若直线经过焦点，则 C．若，则线段的中点到轴的距离为 D．若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为 【答案】BC 【来源】浙江省新阵地教育联盟2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试题 【详解】抛物线的焦点为,故A错误；过作直线交抛物线于两点，显然的斜率存在，设的方程为，与联立消去整理得0恒成立.设，则，故B正确；∵，根据抛物线定义得，则，而由中点坐标公式得点P的纵坐标，即为点P到x轴的距离为，故C正确；由得，又 当，解得：，则直线的倾斜角为，当，解得，则直线的倾斜角为， 故D错误. 故选：BC 10．(23-24高二上·山西吕梁·期末) （多选）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得，所以抛物线的焦点为 且，所以A正确；对于B中，如图，当线段过焦点时，过作，取的中点作，可得，此时以线段为直径的圆与准线相切，因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误.对于C中，设，由抛物线得的定义得，所以，当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得，所以的长不是定值，所以C错误；对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确.故选：AD. 11．(24-25高二上·广西部分学校·)已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【详解】（1）由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即，经检验满足题意. 12．(23-24高二上·广西桂林·期末)在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点. (1)求的焦点坐标及准线方程； (2)求的面积. 【详解】（1）解：对于抛物线，，则，， 所以，抛物线的焦点坐标为，准线方程为. （2）解：设点、，易知直线过抛物线的焦点， 联立可得，由韦达定理可得， 由抛物线的焦点弦长公式可得， 原点到直线的距离为， 因此，的面积为. 13．（24-25高二上·河南开封·期末）已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 (1)求点M的轨迹方程; (2)若经过点的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，，O为坐标原点，求线段CD的长. 【详解】（1）设，则，， 所以，化简得 （2）易知直线l的斜率存在，记为k，设直线l的方程为：，，， 联立得，所以① 因为，所以即，即， 整理可得，将①代入，得，即， 所以 14．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【详解】（1）设，则，而，则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 试卷第1页，共3页 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $专题2.5 抛物线 高中数学导学案 专题2.5 抛物线 考点预览 一、必备知识 1.抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点. 2.抛物线的标准方程及其基本性质： 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 3.焦点弦：若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： ①；②；③焦点弦长，（为直线与对称轴的夹角）. ④的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）. 4.抛物线的弦长：若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 ①弦长； ②斜率； ③直线AB的方程为； ④线段AB的垂直平分线方程为 ⑤任意弦长公式: 斜率为的直线与二次曲线交于两点，则 或 5.抛物线常用二级结论： （1）若直线与抛物线交于，两点， 且是线段AB的中点，如图，则． 证明：因为点，都在抛物线上， 所以（点在抛物线上），所以（作差）， 所以，所以． 因为，，所以． 注：这里给出的都是焦点在x轴上的情形，焦点在y轴上时需要再根据点差法推导，不能直接套结论．点差法得到的结论在小题中可以直接用，在大题中要有推导过程． （2）抛物线的切线： ①抛物线在点处的切线方程为． ②抛物线在点处的切线方程为． （3）如果与抛物线有两个交点，．则 联立得到，判别式，由韦达定理得 弦长． （4）如果直线与抛物线有两个交点，．则 联立得到，判别式，由韦达定理得 弦长． （实际上与抛物线的硬解定理的区别就是把A，B对调了一下） 二、考点专练： 地 城 考点01 抛物线的标准方程 【经典例题】 1．(23-24高二上·广西三新·期末)若点在抛物线上，则该抛物线的方程为 . 2．(23-24高二上·广西百色·期末)如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；   【变式训练】 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 由方程研究基本性质 【经典例题】 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·浙江宁波余姚中学·月考)抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 3．(21-22高二·3.3.2抛物线的简单几何性质（分层练习）-·)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（    ） A． B． C．± D． 【变式训练】 1．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·广西部分学校·)抛物线的焦点为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海松江·期末）抛物线的焦点到其准线的距离为 ． 6．（24-25高三上·北京海淀·期末）设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 8．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 地 城 考点03 抛物线定义的简单应用 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西桂林·期末)抛物线焦点为，点在上，若.则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．(21-22高二上·广东汕尾·期末)已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则 ． 【变式训练】 1．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标 ． 2．(21-22高二上·陕西西安周至县第四中学·期末)抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 . 3．(23-24高二上·广西玉林·期末)已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 地 城 考点04 抛物线中距离和与差的最值问题 【经典例题】 1．(24-25高三上·贵州遵义第十五中学等校·月考)已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C． D． 2．(23-24高二上·广西北海·期末)已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则（    ） A．2 B．13 C．6 D． 【变式训练】 1．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 4．(23-24高二上·湖南浏阳·期末)已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 6．(24-25高二上·河北石家庄二中润德学校·期中)如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则 ，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则 ． 地 城 考点05 与抛物线相关的轨迹问题 【经典例题】 1．过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 2.已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 3.若一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 2.已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 3．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 地 城 考点06 抛物线中点弦问题 【经典例题】 1．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点07 直线与抛物线相交弦问题 【经典例题】 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线过点，过且与(为坐标原点)垂直的直线与抛物线交于另一点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 2．(24-25高二上·云南昭通·联考)抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 地 城 考点08 解答题 【经典例题】 1．(21-22高二上·广东广州华南师大附中·期中)已知抛物线上的点到焦点F的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程． 2．已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点，若点在抛物线的准线上，且为等边三角形，求直线的斜率． 3．(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【变式训练】 1．(24-25高二上·广西贵港·期末)已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 2．(24-25高二上·广西玉林·期末)在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线的方程： (2)若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 3．(23-24高二上·四川巴中·期末)已知抛物线：的焦点为点F，点M在第一象限，且在抛物线上，若，且点M到y轴的距离1，延长MF交抛物线点N． (1)求抛物线的方程及线段MN的长； (2)直线l与抛物线交于A，B两点，记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，当时，直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 三、强化实训 1．(20-21高二上·陕西商洛·期末)抛物线的焦点坐标为 ． 2．已知抛物线则抛物线的准线方程为 ． 3．(24-25高二上·云南大理·期末)设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，，直线与的另一个交点为，则 . 4．(24-25高二上·云南保山·期末)已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若的最小值为9，则 ． 5．(24-25高二上·河南新乡·期末)已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江苏南通·期中)已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则 ；若为上的动点，则的最小值为 . 7．(23-24高二上·广西玉林·期末)（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是2 C．若点的坐标为，则的最小值为2 D．若为线段中点，则的坐标可以是 8．(24-25高二上·云南昆明·期末) （多选）设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线l的方程是 B．的最小值为4 C．所在直线被抛物线所截得的弦长为 D．以线段为直径的圆与y轴相切 9．(22-23高二下·浙江·) （多选）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的（    ） A．点的坐标为 B．若直线经过焦点，则 C．若，则线段的中点到轴的距离为 D．若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为 10．(23-24高二上·山西吕梁·期末) （多选）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 11．(24-25高二上·广西部分学校·)已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 12．(23-24高二上·广西桂林·期末)在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点. (1)求的焦点坐标及准线方程； (2)求的面积. 13．（24-25高二上·河南开封·期末）已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 (1)求点M的轨迹方程; (2)若经过点的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，，O为坐标原点，求线段CD的长. 14．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 试卷第1页，共3页 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $