2026年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试《数学高频考点冲刺卷》（八）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据陕西省职教单招文化课考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第8卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 2026年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学 高频考点冲刺卷（八） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.函数的定义域为    ． A. B. C. D. 3.设，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 5.下列函数中，在区间上单调递增的是(    ) A. B. C. D. 6.若，且角的终边经过点，则(    ) A. B. C. D. 7.如果球的大圆周长为，则这个球的表面积是(    ) A. B. C. D. 8.直线与直线平行，则两直线间的距离为(    ) A. B. C. D. 9.不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 10.已知圆与圆有三条公切线，则(    ) A. B. C. D. 11.将名男生名女生分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是(    ) A. B. C. D. 12.在数列中，，，若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.= 14.为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从，，三个部门中抽取名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有人，其中部门人，部门人，则从部门中抽取的访谈人数为          ． 15.已知函数，且，则            ． 16.已知等差数列{}的前n项和为Sn，若=7，=11，则=_________． 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 在三棱锥中，，分别为，的中点，且，平面平面． 证明：平面； 证明：． 18．(本小题满分12分) 已知函数． 求函数的单调递增区间； 求在区间上的最值． 19．(本小题满分12分) 已知向量，． 若与共线，求； 若在上的投影的数量为，求的值． 20．(本小题满分12分) 某校为了调查本校师生对食堂伙食的满意程度，从本校名师生中随机选取了名师生进行问卷调查，并将这个人的满意度分值百分制按照，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图． 求图中的值及这组数据的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表； 若满意度分值不低于分则认为对食堂伙食非常满意，试估计该校师生对食堂伙食非常满意的人数． 21．(本小题满分12分) 共享单车给市民带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润单位：元与运营天数满足函数关系式：． 要使营运累计利润高于元，求营运天数的取值范围； 每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润最大 22． (本小题满分12分) 已知数列满足，． 求证：为等比数列； 求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据陕西省职教单招文化课考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第8卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 2026年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学 高频考点冲刺卷（八） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，是基础题． 利用并集定义直接求解． 【解答】 解：集合，， ． 故选：． 2.函数的定义域为    ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：要使函数有意义，分式的分母必须不为零，即： 解得。 因此，函数的定义域为。 3.设，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力． 直接利用充要条件的判定方法判断即可． 【解答】 解：因为“”，则“”； 但是“”不一定有“”； 所以“”，是“”成立的充分不必要条件． 故选：． 4.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查根据函数的单调性比较函数值大小，也考查了学生对于函数性质的灵活运用，属于基础题． 根据函数单调递减，可知，根据函数单调递增，可知，得到答案． 【解答】 解：根据函数单调递减， 可知； 根据函数单调递增， 可知， 故． 故选：． 5.下列函数中，在区间上单调递增的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数单调性判断，属于基础题． 根据基本初等函数的单调性判断即可． 【解答】 解：对于：， 则在上单调递减，在上单调递增，故 A错误； 对于：，则在，上单调递减，故 B错误； 对于：，则在上单调递减，故 C错误； 对于：，则在上单调递增，故 D正确． 故选：． 6.若，且角的终边经过点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了余弦的定义，属于基础题． 利用余弦的定义，根据题意列出关于的式子即可求出结果． 【解答】 解：由余弦的定义可知，， 又角的终边经过点， 则点在第二象限，解得， 故选D． 7.如果球的大圆周长为，则这个球的表面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查球的表面积，属基础题． 先求出球的半径，再由球的表面积公式求解． 【解答】 解：球的大圆的半径即为球的半径设为，则，解得，所以球的表面积为， 故选A． 8.直线与直线平行，则两直线间的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式求得两直线间的距离． 【解答】 解：直线与直线平行，，， 故平行直线即与直线， 它们之间的距离为． 故选：． 9.不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：不等式的对应的方程为， 故方程的两根为，或， 解原不等式可得， 故不等式的解集为， 故选C． 10.已知圆与圆有三条公切线，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据题意，圆，其圆心，半径； 圆，必有，且圆心为，半径为， 若两个圆有三条公切线，则两圆外切，则有， 解得：． 故选：． 11.将名男生名女生分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查求等可能事件的概率，得到恰好一名女生和一名男生分到甲社区有种，是解题的关键，属于基础题． 根据排列组合和古典概率公式即可求出． 【解答】 解：先把个男生分到个社区，女生分配到甲社区，故恰好一名女生和一名男生分到甲社区种数为种， 所有的分配方法有种， 故恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是． 故答案选：． 12.在数列中，，，若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系，等比数列的判断及通项公式，属于中档题． 由得出是等比数列，然后出的通项公式，得到，再解不等式即可求出的最小值． 【解答】 解：因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 由，得，所以， 所以的最小值是． 故选C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.= 【答案】0 14.为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从，，三个部门中抽取名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有人，其中部门人，部门人，则从部门中抽取的访谈人数为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了分层随机抽样，是基础题． 先求出部门人数，按抽取比例计算即可． 【解答】 解：部门共有人， 从部门中抽取的访谈人数为人 故答案为． 15.已知函数，且，则            ． 【答案】  【解析】解：根据题意，函数， 则， 又由，则． 故答案为：． 16.已知等差数列{}的前n项和为Sn，若=7，=11，则=_________． 【答案】63 【解析】【分析】本题考查等差数列的性质及前n项和公式，属于中档题，可利用等差数列 “等差中项” 性质或通项公式求解。 【解答】解：方法一：利用等差数列性质等差数列中，若m+n=p+q（m,n,p,q∈N∗），则+=+。因为1+7=3+5=8，所以+=+=7+11=18。等差数列前n项和公式Sn=2n(+)​，则=27(+)=27×18=63 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 在三棱锥中，，分别为，的中点，且，平面平面． 证明：平面； 证明：． 【答案】证明：在中，，分别是，的中点， ， 平面，平面， 平面． 在中，，为的中点， ， 又平面平面，平面， 平面平面， 平面， 平面，．  【解析】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理证明的能力，是基础题． 推导出，由此能证明平面． 推导出，从而平面，进而可证． 18．(本小题满分12分) 已知函数． 求函数的单调递增区间； 求在区间上的最值． 【答案】解：． 令 ，得 ． 所以 的单调递增区间为 ． 因为，所以． 当 ，即时， 最大值为， 当 ，即时， 最小值为．  【解析】本题考查了三角变换，正弦函数的性质，是基础题． 运用三角公式化成形如的函数，利用函数单调性求解； 根据函数的最值直接求解． 19．(本小题满分12分) 已知向量，． 若与共线，求； 若在上的投影的数量为，求的值． 【答案】解：根据题意，向量，． 若与共线，则，解可得， 则；故； 故； 若在上的投影为，即， 则，且， 解得， 故．  【解析】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算公式，属于基础题． 根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得，解可得，即可得的坐标，进而可得的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案； 根据题意，由数量积的计算公式可得，解可得的值，验证分析可得答案． 20．(本小题满分12分) 某校为了调查本校师生对食堂伙食的满意程度，从本校名师生中随机选取了名师生进行问卷调查，并将这个人的满意度分值百分制按照，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图． 求图中的值及这组数据的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表； 若满意度分值不低于分则认为对食堂伙食非常满意，试估计该校师生对食堂伙食非常满意的人数． 【答案】解：由频率分布直方图可得， 所以， 这组数据的平均数为． 由频率分布直方图可得不低于分的频率为， 用样本估计总体，可以估计不低于分的人数为， 所以估计该校师生对食堂伙食非常满意的人数为．  【解析】本题主要考查了频率分布直方图，平均数的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题． 由频率和为，可解得的值，由此可求出这组数据的平均数； 由频率分布直方图可得不低于分的频率，由此用样本估计总体的方法，可得出结论． 21．(本小题满分12分) 共享单车给市民带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润单位：元与运营天数满足函数关系式：． 要使营运累计利润高于元，求营运天数的取值范围； 每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润最大 【答案】解：要使营运累计利润高于元，则， 即， 解得． 所以营运天数的取值范围为，； ，； 当且仅当，即时等号成立， 所以每辆单车营运天时，才能使每天的平均营运利润的值最大．   【解析】本题考查函数的应用，考查了解二次不等式和利用基本不等式求最值问题，属于中档题． 解不等式，但要注意应用题中的取值范围即可； 首先表示出的函数表达式，利用基本不等式求解即可． 22． (本小题满分12分) 已知数列满足，． 求证：为等比数列； 求数列的前项和． 【答案】解：证明：由， 得， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 由知，故， 则． 设数列的前项和为， 则， ， 两式相减得 ， 所以， 故 ．  【解析】本题考查等比数列的证明，考查错位相减求和，属于基础题． 找相邻两项的关系，利用等比数列的定义即可得证； 依据数列特点利用“拆项分组法”结合错位相减法求和即可得出． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $