单元培优讲义：自行车里的数学（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学讲义以“自行车里的数学”为主题，通过清晰框架梳理传动原理、行驶路程计算、变速原理三大考点，明确核心结构、公式推导及变速组合规律，呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“问题情境化”练习设计，如“前齿轮32齿、后齿轮16齿，后齿轮转8转时前齿轮转数”等例题，结合生活实际培养运算能力与推理意识。分层练习覆盖选择、填空、解决问题，基础题巩固公式应用，提升题探究变速优化，助力教师实施精准教学，学生发展数学思维与应用意识。

2025-2026学年六年级下册数学人教版单元培优讲义 自行车里的数学 考点梳理 1 考点一、自行车的传动原理 1 考点二、自行车行驶路程的计算 1 考点三、变速自行车的变速原理 1 例题讲解 2 题型一、自行车里的数学 2 考点练习 3 练习一、自行车里的数学 3 考点梳理 考点一、自行车的传动原理 1.核心传动结构：自行车的传动系统由大齿轮（牙盘）、链条、小齿轮（飞轮）和后轮组成：大齿轮与脚踏板同步转动，通过链条带动小齿轮转动，小齿轮与后轮同轴，因此小齿轮转数与后轮转数完全相同。 2.传动齿数关系：大齿轮转一圈，链条走过的齿数等于大齿轮的齿数，因此小齿轮转动的圈数=大齿轮齿数÷小齿轮齿数，即 。 考点二、自行车行驶路程的计算 1.核心公式推导 (1)自行车行驶的路程=车轮周长×后轮转数； (2)结合传动关系，可推导为： ； (3)车轮周长=π×车轮直径（或 车轮半径），π通常取3.14进行计算。 考点三、变速自行车的变速原理 1.变速结构特点：变速自行车配备多组不同齿数的大齿轮和小齿轮，通过调节换挡装置，可切换大、小齿轮的搭配组合。 2.变速效果分析 (1)当选择“最大大齿轮+最小小齿轮”的搭配时，传动比最大，自行车行驶速度最快，但骑行时所需的蹬力最大； (2)当选择“最小大齿轮+最大小齿轮”的搭配时，传动比最小，自行车行驶速度最慢，但骑行时所需的蹬力最小，适合爬坡或体力不足的场景。 例题讲解 题型一、自行车里的数学 【例题1】张丽买了一辆儿童自行车，前齿轮齿数是32，后齿轮齿数是16，后齿轮转数是8转时，前齿轮转数是( )转。车轮半径是20cm，蹬一圈，自行车前进了( )cm。 【答案】 4 125.6 【分析】根据题意可知，前齿轮、后齿轮转过的总齿数相等，即齿轮的齿数×转的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，则齿轮的齿数和转的圈数成反比例，据此列出反比例方程，并求解。 已知车轮半径是20cm，求蹬一圈，自行车前进了的距离，就是求半径为20cm的圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr求解。 【详解】解：设前齿轮转数是x转。 32x＝16×8 32x＝128 x＝128÷32 x＝4 2×3.14×20＝125.6（cm） 前齿轮转数是4转。蹬一圈，自行车前进了125.6cm。 【练习1】一辆自行车前齿轮齿数是26，后齿轮齿数为16，车轮直径为66厘米。 （1）蹬一圈能走多远？（得数保留一位小数） （2）园园家离学校680米，她骑这辆自行车上学大约要蹬（    ）圈。 【答案】（1）3.4米 （2）200 【分析】（1）已知车轮直径是66厘米，先根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长； 因为前轮和后轮走过的路程是一定的，则齿轮齿数与转数成反比例，即前齿轮齿数×前齿轮转数＝后齿轮齿数×后齿轮转数，蹬一圈，前齿轮转一圈，则后齿轮转数＝，由此可得：自行车走的距离＝车轮周长×，据此求出蹬一圈自行车能走的距离。 （2）用园园家离学校的距离除以蹬一圈自行车走的距离，即是大约要蹬的圈数。 【详解】（1）66厘米＝0.66米 3.14×0.66＝2.0724米 2.0724× ＝2.0724×1.625 ≈3.4（米） 答：蹬一圈能走3.4米。 （2）680÷3.4＝200（圈） 她骑这辆自行车上学大约要蹬200圈。 考点练习 练习一、自行车里的数学 1．一辆变速自行车前齿轮的齿数有48个和40个两种，后齿轮有28、24、20、18、16个五种，自行车车轮的周长大约为2米，至少要蹬（    ）圈才能通过一条240米长的桥。 A．18 B．20 C．40 D．30 【答案】C 【分析】根据“前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值越大，自行车走得越远”可知，前齿轮齿数为48个，后齿轮为16个时，自行车走得最远，蹬一圈自行车前进的距离为×2，求出蹬一圈的距离，再用桥的长度÷蹬一圈自行车前进的距离，即可解答。 【详解】×2＝6（米） 240÷6＝40（圈） 一辆变速自行车前齿轮的齿数有48个和40个两种，后齿轮有28、24、20、18、16个五种，自行车车轮的周长大约为2米，至少要40圈才能通过一条240米长的桥。 故答案为：C 2．一辆自行车的前齿轮有40个齿，后齿轮有20个齿，当前齿轮转动5圈时，后齿轮会转动( )圈。 【答案】10 【分析】在齿轮传动中，链条带动两个齿轮转动时，前齿轮转动的总齿数等于后齿轮转动的总齿数。因此，前齿轮齿数×转动圈数＝后齿轮齿数×转动圈数；可设后齿轮转动x圈，据此此列出方程求解即可。 【详解】解：设后齿轮转动x圈。 20x＝40×5 20x＝200 20x÷20＝200÷20 x＝10 所以，当前齿轮转动5圈时，后齿轮会转动10圈。 3．有一种变速自行车有2个前齿轮，齿数分别是48个和36个，5个后齿轮，齿数分别是：28、24、22、20、16个齿。这辆自行车能变化出( )种速度，蹬同样的圈数，( )组合自行车走得最远。 【答案】 10 前齿轮48齿和后齿轮16齿 【分析】变速自行车的不同速度由前齿轮和后齿轮的齿数比决定。前齿轮有2种（48齿、36齿），后齿轮有5种（28齿、24齿、22齿、20齿、16齿），总共有2×5＝10种组合。当齿数比值（前齿轮齿数÷后齿轮齿数）最大时，自行车走得最远。 前齿轮48齿对应的齿数比值：48÷28≈1.714，48÷24＝2，48÷22≈2.182，48÷20＝2.4，48÷16＝3。前齿轮36齿对应的齿数比：36÷28≈1.286，36÷24＝1.5，36÷22≈1.636，36÷20＝1.8，36÷16＝2.25。然后比较大小即可。 【详解】前齿轮有2种，后齿轮有5种。 2×5＝10（种） 前齿轮48齿对应的齿数比值： 48÷28≈1.714，48÷24＝2，48÷22≈2.182，48÷20＝2.4，48÷16＝3 前齿轮36齿对应的齿数比值： 36÷28≈1.286，36÷24＝1.5，36÷22≈1.636，36÷20＝1.8，36÷16＝2.25 综上，最大齿数比值为3，对应前齿轮48齿和后齿轮16齿的组合。 这辆自行车能变化出10种速度，蹬同样的圈数，前齿轮48齿和后齿轮16齿组合自行车走得最远。 4．一辆自行车的车轮直径是0.5米，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，蹬一圈自行车前进( )米。（π取3） 【答案】4.5 【分析】根据圆的周长＝πd，设蹬一圈后齿轮转动x圈，根据后齿轮齿数×转动圈数＝前齿轮齿数×1，列出反比例算式，求出后齿轮转动圈数，车轮周长×转动圈数＝前进距离，据此列式解答。 【详解】3×0.5＝1.5（米） 解：设蹬一圈后齿轮转动x圈。 16x＝48 16x÷16＝48÷16 x＝3 1.5×3＝4.5（米） 则蹬一圈自行车前进4.5米。 5．一辆普通自行车的前齿轮数是26，后齿轮数是16，后齿轮转数是13转时，前齿轮转数是( )转。车轮半径是33厘米，后车轮滚动一圈，自行车大约前进了( )米。 【答案】 8 2.0724 【分析】根据题意可知，33厘米＝0.33米，前齿轮齿数×前齿轮转动圈数＝后齿轮齿数×后齿轮转动圈数，据此用16×13÷26即可求出当后齿轮转数是13时，前齿轮转数是多少；后齿轮转动圈数就是车轮转动的圈数，根据圆周长公式用3.14×0.33×2即可求出骑行车前进的米数。 【详解】16×13÷26 ＝208÷26 ＝8（转） 33厘米＝0.33米 3.14×0.33×2＝2.0724（米） 一辆普通自行车的前齿轮数是26，后齿轮数是16，后齿轮转数是13转时，前齿轮转数是8转。车轮半径是33厘米，后车轮滚动一圈，自行车大约前进了2.0724米。 【点睛】此题首先判定前、后齿轮转数和齿数的关系，再结合自行车前、后齿轮和车轮的关系解决问题。 6．一辆自行车的车轮直径是0.7米，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，蹬一圈自行车前进多少米？ 【答案】6.594米 【分析】圆的周长＝πd，设蹬一圈后齿轮转动x圈，根据后齿轮齿数×转动圈数＝前齿轮齿数，列出反比例算式，求出后齿轮转动圈数，车轮周长×转动圈数＝前进距离，据此列式解答。 【详解】3.14×0.7＝2.198（米） 解：设蹬一圈后齿轮转动x圈。 16x＝48 16x÷16＝48÷16 x＝3 2.198×3＝6.594（米） 答：蹬一圈自行车前进6.594米。 【点睛】关键是理解反比例的意义，积一定是反比例关系，掌握并灵活运用圆的周长公式。。 7．这辆自行车蹬一圈能走多少米？ 【答案】 【分析】蹬一圈自行车走的距离＝后车轮周长。车轮直径是，所以车轮周长是，蹬一圈自行车走的距离，再进行单位换算即可。 【详解】 ＝188.4×3 ＝565.2（厘米） 答：这辆自行车蹬一圈能走。 【点睛】明确“蹬一圈自行车走的距离＝后车轮周长”是解答本题的关键。 8．一辆自行车的车轮半径是4分米，前、后齿轮齿数的比是3∶2，这辆自行车蹬20圈能走多少米？（π取3.14） 【答案】 75.36米 【分析】已知自行车车轮的半径是4分米，根据圆的周长公式C＝2πr计算出车轮的周长，即车轮转动1圈行驶的距离； 因为在同一链条传动下，前齿轮转过的总齿数和后齿轮转过的总齿数是相等的，前齿轮齿数×蹬的圈数＝后齿轮齿数×车轮转动的圈数，已知前、后齿轮齿数比是3∶2，假设前轮齿数为3，后轮齿数为2，用前齿轮齿数乘20除以后齿轮齿数，即可计算出蹬20圈车轮转动的圈数； 然后用车轮转动1圈行驶的距离乘蹬20圈车轮转动的圈数，即可计算出这辆自行车蹬20圈行驶的距离；最后将分米换算为米作单位（1米＝10分米）。 【详解】2×3.14×4 ＝6.28×4 ＝25.12（分米） 3×20÷2 ＝60÷2 ＝30（圈） 25.12×30＝753.6（分米） 753.6分米＝75.36米 答：这辆自行车蹬20圈能走75.36米。 9．有一种变速自行车有2个前齿轮，齿数分别是48个和40个齿，6个后齿轮，齿数分别是：28、24、20、18、16、14个齿，这部自行车能变化出多少种速度？请画出示意图。蹬同样的圈数，那种组合自行车走得最远？ 【答案】11种；图见解析；前轮齿数为48、后轮齿数为14 【分析】2个前齿轮、6个后齿轮，列表确定各种搭配方式下前、后轮齿数的比；排除重复（也就是比相同）的情况即可得到这辆自行车能变化出的速度的种类数。 根据变速自行车原理，前后齿轮数的比值越大，前齿轮转一圈，后齿轮所转的圈数就越多，所以得出前齿轮齿数最多，后齿轮齿数最少时自行车跑得最远。 【详解】列表写出前、后轮齿数的比： 48 40 28 12∶7 10∶7 24 2∶1 5∶3 20 12∶5 2∶1 18 8∶3 20∶9 16 3∶1 5∶2 14 24∶7 20∶7 各组合齿数比的数值： 12:7≈1.71 2:1=2 12:5=2.4 8:3≈2.67 3:1=3 24:7≈3.43 10:7≈1.43 5:3≈1.67 2:1=2 20:9≈2.22 5:2=2.5 20:7≈2.86 比较可知24：7≈3.43最大，对应前齿轮48、后齿轮14 答：这辆自行车能变化出11种速度；前轮齿数为48、后轮齿数为14时，蹬同样的圈数，自行车走得最远。 10．淘淘家有一辆变速自行车，这辆自行车的相关数据如下： 前齿轮齿数：40，38。        后齿轮齿数：32，30，28，26，24。 （1）这辆自行车能变换出（    ）种不同的速度。 （2）蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远？若这种组合蹬一圈，自行车前进5，则这辆自行车的后轮直径是多少？（π取3）。 【答案】（1）10 （2）前齿轮40齿与后齿轮24齿的组合使自行车走得最远；这辆自行车的后轮直径是1m。 【分析】（1）变速自行车能变换出不同速度的最多种数＝前齿轮齿数×后齿轮齿数。（相同速度只算一种） （2）因为蹬一圈的路程＝车轮的周长×，车轮的周长一定（同一辆自行车），所以比值越大（也就是前齿轮的齿数越多，后齿轮的齿数越少。），蹬同样的圈数，自行车走得越远。所以前齿轮齿数是40齿，后齿轮齿数是24齿时，蹬一圈，能蹬出最远距离；圆的周长公式（d是圆的直径）设这辆自行车的后轮直径是m，可列方程，求出方程的解即可。 【详解】（1）（种） （2） 所以前齿轮齿数是40齿，后齿轮齿数是24齿时，蹬一圈，能蹬出最远距离。 解：设这辆自行车的后轮直径是m。                          答：这辆自行车的后轮直径是1m。 【点睛】车轮转动的圈数就是后齿轮转动的圈数，前齿轮齿数×前齿轮转数＝后齿轮齿数×后齿轮转数。 11．一辆自行车前齿轮齿数是26，后齿轮齿数为16，车轮直径为66厘米。 （1）蹬一圈能走多远？ （2）小英家离学校680米，她骑车上学大约要蹬多少圈？ 【答案】（1）3.4米 （2）200圈 【分析】（1）先求出车轮周长，设蹬一圈能走x米，根据前齿轮∶后齿轮＝前进米数∶周长，列出比例式解答即可； （2）由（1）可知蹬一圈能走多远，然后用680除以蹬一圈能走的路程即可求解。 【详解】（1）3.14×66＝207.24（厘米）＝2.0724（米） 解：设蹬一圈能走x米。 26∶16＝x∶2.0724 16x＝26×2.0724 16x＝53.8824 16x÷16＝53.8824 ÷16 x≈3.4 答：蹬一圈能走3.4米。 （2）680÷3.4＝200（圈） 答：她骑车上学大约要蹬200圈。 【点睛】本题考查用比例解决实际问题，明确蹬一圈的距离和车轮周长的比等于前后轮的比是解题的关键。 12．如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 【答案】（1）反比例；每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定） （2）30圈 （3）1875圈 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析； （2）设小齿轮每分转x圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式解答即可； （3）圆的周长＝圆周率×直径，据此求出后轮周长，自行车行驶距离÷后轮周长＝后轮转的圈数，先设大齿轮转了x圈，根据后轮转的圈数∶大齿轮转的圈数＝2∶3，列出比例求出x的值是大齿轮转的圈数；再设小齿轮转了y圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式，即可求出小齿轮转的圈数。 【详解】（1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，因为每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定）。 （2）解：设小齿轮每分转x圈。 20x＝50×12 20x＝600 20x÷20＝600÷20 x＝30 答：小齿轮每分转30圈。 （3）80厘米＝0.8米 3.14×0.8＝2.512（米） 1256÷2.512＝500（圈） 解：设大齿轮转了x圈。 500∶x＝2∶3 2x＝500×3 2x÷2＝1500÷2 x＝750 解：小齿轮转了y圈。 20y＝50×750 20y＝37500 20y÷20＝37500÷20 y＝1875 答：小齿轮转了1875圈。 【点睛】关键是确定比例关系，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学人教版单元培优讲义 自行车里的数学 考点梳理 1 考点一、自行车的传动原理 1 考点二、自行车行驶路程的计算 1 考点三、变速自行车的变速原理 1 例题讲解 2 题型一、自行车里的数学 2 考点练习 2 练习一、自行车里的数学 2 考点梳理 考点一、自行车的传动原理 1.核心传动结构：自行车的传动系统由大齿轮（牙盘）、链条、小齿轮（飞轮）和后轮组成：大齿轮与脚踏板同步转动，通过链条带动小齿轮转动，小齿轮与后轮同轴，因此小齿轮转数与后轮转数完全相同。 2.传动齿数关系：大齿轮转一圈，链条走过的齿数等于大齿轮的齿数，因此小齿轮转动的圈数=大齿轮齿数÷小齿轮齿数，即 。 考点二、自行车行驶路程的计算 1.核心公式推导 (1)自行车行驶的路程=车轮周长×后轮转数； (2)结合传动关系，可推导为： ； (3)车轮周长=π×车轮直径（或 车轮半径），π通常取3.14进行计算。 考点三、变速自行车的变速原理 1.变速结构特点：变速自行车配备多组不同齿数的大齿轮和小齿轮，通过调节换挡装置，可切换大、小齿轮的搭配组合。 2.变速效果分析 (1)当选择“最大大齿轮+最小小齿轮”的搭配时，传动比最大，自行车行驶速度最快，但骑行时所需的蹬力最大； (2)当选择“最小大齿轮+最大小齿轮”的搭配时，传动比最小，自行车行驶速度最慢，但骑行时所需的蹬力最小，适合爬坡或体力不足的场景。 例题讲解 题型一、自行车里的数学 【例题1】张丽买了一辆儿童自行车，前齿轮齿数是32，后齿轮齿数是16，后齿轮转数是8转时，前齿轮转数是( )转。车轮半径是20cm，蹬一圈，自行车前进了( )cm。 【练习1】一辆自行车前齿轮齿数是26，后齿轮齿数为16，车轮直径为66厘米。 （1）蹬一圈能走多远？（得数保留一位小数） （2）园园家离学校680米，她骑这辆自行车上学大约要蹬（    ）圈。 考点练习 练习一、自行车里的数学 1．一辆变速自行车前齿轮的齿数有48个和40个两种，后齿轮有28、24、20、18、16个五种，自行车车轮的周长大约为2米，至少要蹬（    ）圈才能通过一条240米长的桥。 A．18 B．20 C．40 D．30 2．一辆自行车的前齿轮有40个齿，后齿轮有20个齿，当前齿轮转动5圈时，后齿轮会转动( )圈。 3．有一种变速自行车有2个前齿轮，齿数分别是48个和36个，5个后齿轮，齿数分别是：28、24、22、20、16个齿。这辆自行车能变化出( )种速度，蹬同样的圈数，( )组合自行车走得最远。 4．一辆自行车的车轮直径是0.5米，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，蹬一圈自行车前进( )米。（π取3） 5．一辆普通自行车的前齿轮数是26，后齿轮数是16，后齿轮转数是13转时，前齿轮转数是( )转。车轮半径是33厘米，后车轮滚动一圈，自行车大约前进了( )米。 6．一辆自行车的车轮直径是0.7米，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，蹬一圈自行车前进多少米？ 7．这辆自行车蹬一圈能走多少米？ 8．一辆自行车的车轮半径是4分米，前、后齿轮齿数的比是3∶2，这辆自行车蹬20圈能走多少米？（π取3.14） 9．有一种变速自行车有2个前齿轮，齿数分别是48个和40个齿，6个后齿轮，齿数分别是：28、24、20、18、16、14个齿，这部自行车能变化出多少种速度？请画出示意图。蹬同样的圈数，那种组合自行车走得最远？ 10．淘淘家有一辆变速自行车，这辆自行车的相关数据如下： 前齿轮齿数：40，38。        后齿轮齿数：32，30，28，26，24。 （1）这辆自行车能变换出（    ）种不同的速度。 （2）蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远？若这种组合蹬一圈，自行车前进5，则这辆自行车的后轮直径是多少？（π取3）。 11．一辆自行车前齿轮齿数是26，后齿轮齿数为16，车轮直径为66厘米。 （1）蹬一圈能走多远？ （2）小英家离学校680米，她骑车上学大约要蹬多少圈？ 12．如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $