第7章 7.1.2 两条直线垂直-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

7.1.2两条直线垂直 要点提示 1.垂直的概念：一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说a与b互相垂直，记作 “a⊥b”. 2.垂线的概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 3.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4.垂线段的概念及性质：(1)从直线外一点作该直线的垂线，这个点和垂足之间的线段叫作垂线段：(2)连接直 线外一，点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成，垂线段最短， 5,点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 O1固基础 。。。。。。 知识点1垂直的概念及性质 1.如图，两直线AB,CD相交于点O,则下列 条件中，能说明AB⊥CD的是 知识点(4垂线段的性质 A.AO=OB B.CO=OD 5.(2025上饶弋阳期中)如图， C.∠AOC=∠BODD.∠AOC=∠BOC 要在河堤两岸搭建一座桥， 搭建方式中最短的是线段 PN,理由是 ( 第5题图 A.经过两点有且只有一条直线 B.垂线段最短 第1题图 第2题图 C.两点之间的所有连线中线段最短 2.如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线 于点O,∠EOC=35°，则∠AOD的度数是 与已知直线垂直 ( A.55° B.65 C.115° D.125° 知识点(5点到直线的距离 6.(教材变式)如右图，在直角三 知识点2垂线的画法 角形ABC中，∠C=90°，BC 3.(2025上饶余干月考)如图，过点P作出 =8,AC=6,AB=10. OA,OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）. (1)点B到AC的距离是 ;点A 到BC的距离是 (2)画出表示点C到AB的距离的线段，并 求出这个距离. 图① 图② 知识点3垂线的基本事实 4.(教材变式)已知直线AB,CB,l在同一平 面内，若AB⊥I,垂足为B,CB⊥l,垂足也 为B,则符合题意的图形可以是 () 下册第七章 (1)求∠DOE的度数. 易错点情况分析不全，导致漏解 (2)试说明：OF平分∠AOC. 7.已知直线AB与直线CD相交于点O, ∠AOC=60°，EO⊥CD于点O,则 ∠AOE的度数为 02提能力 8.(2025上饶鄱阳月考)如图， B 直线AD与BE相交于点 O,射线OB在∠AOC内D 0 /E 部，且OC⊥AD于点O.若 第8题图 OB平分∠COA,则∠AOE的度数为( A.125° B.1359 C.145 D.155 O3拓思维】 9.跨物理学科图①是光的反射规律示意图. 13.(2025六安期末)直线AB,CD相交于点 其中PO是入射光线，OQ是反射光线，法线 O,OE平分∠BOD KO⊥MN,∠POK是入射角，∠KOQ是反 (1)如图①，∠AOC=70°，OF⊥CD.求 射角，∠KOQ=∠POK.图②中，光线自点 ∠EOF的度数. P射入，经镜面EF反射后会经过 ( (2)如图②，若OF平分∠COE,∠BOF= B CD 15°，求∠AOC的度数. 反射面 0 图① 图② 第9题图 A.点AB.点BC.点CD.点D D 10.如图，AB⊥BD,BC⊥CD, 图① 图② 且AD=10,BC=6.若线段 BD的长为偶数，则BD的 B 第10题图 长为 11.已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且 ∠AOB<∠BOC,OD平分∠BOC,射线 OE在∠AOB的内部，且4∠BOE+ ∠BOC=180°，∠DOE=70°，OM⊥OB,则 ∠MOE的度数为 12.(2025赣州于都期中)如下图，直线AB, CD相交于点O,OE平分∠AOD,OE⊥1 OF,∠BOD=40° 数学七年级RJ版参考答案 第七章相交线与平行线 (2),∠EOC+∠EOD=180°，∠EOC:∠EOD =2:3, 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 ∴∠E0C=号×180=720， :OA平分∠EOC, 1.B2.C3.B4.A5.对顶角相等6.14 7.解：(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC,对顶角 六∠A0c-名∠B0C=36 是∠BOD. .∴.∠BOD=∠AOC=36°」 (2):∠BOE与∠AOF互为对顶角， 12.解：(1)：∠BCE=40°，点C在直线DE上， ∴.∠BOE=∠AOF=75°. ∴.∠BCD=180°-∠BCE=180°-40°=140°. :∠BOF与∠AOF互为邻补角， 又：CF平分∠BCD, ∴.∠BOF=180°-∠A0F=180°-75°=105. ∴.∠BCF=∠DCF=70°. 8.20或32【解析】两条直线相交所构成的四个角中，对 ∠ACB=90°， 顶角相等，邻补角互补.根据题意可知，(7x一80)°= ∴.∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°-70°=20°. (100-2x)°或(7x-80)°+(100-2x)°=180°， 解得x=20或x=32. 9.A【解析】·：∠AOE=2∠BOD,∠BOD=∠AOC, (3)∠ACF=2∠BCE.理由如下： .∴.∠AOE=2∠AOC, ∴.∠EOC=∠AOE+∠AOC=3∠AOC. :点C在DE上， :∠COF=∠AOE+30°， ∴∠BCD=180°-∠BCE. .∠COF=2∠AOC+30°. :CF平分∠BCD, :∠EOC+∠COF=180°， ∴∠BCF=∠BCD=218o-∠BCE)=90 即3∠AOC+2∠AOC+30°=180°， .∠AOC=30. 名∠BCE 10.30°【解析】：∠A0C=号∠C0B,∠A0C+∠C0B :∠ACB=90°， .∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°-（90°- =180.号∠00B+∠00B=180 .∠C0B=100°，.∠A0C=80°， 名∠BCE)-∠BCE,B∠ACF=∠BCE. .∠BOD=∠AOC=80°. 又：OE平分∠BOD, 13.解.125°(290-70 (3)∠EOD+∠FOD=90°.理由如下： ÷∠B0E=∠D0E=2∠B0D=号×80=40， :OE平分∠AOD,OF平分∠BOD, ∴∠C0E=180°-∠D0E=180°-40°=140°. ∴∠BOD=∠AOD.∠POD=2∠BOD, OF平分∠COE, :∠AOD+∠BOD=180°， ·∠EOF= 7∠c0E=号×140=70 1 ·∠EOD+∠FOD=Z(∠AOD+∠BOD)= 1 2十 ∴.∠BOF=∠EOF-∠BOE=70°-40°=30° 180°=90. 11.解：(1)：∠EOC=70°，OA平分∠EOC, ∠A0C=7∠B0C=35 7.1.2两条直线垂直 1.D2.D ∴.∠BOD=∠AOC=35°. 3.解：如图所示. 下册参考答案 即3a+70°+70°-a=180°，解得a=20°， ∴.∠BOE=20°. 又OM⊥OB, .∠MOB=90°， 图0 图② .∠MOE=∠BOE+∠MOB=20°+90°=110°； 4.C5.B ②如图②所示，同理可得∠BOE=20°. 6.解：(1)86 又OM⊥OB, (2)如图，线段CD即为所求 .∠MOB=90°， ∴.∠MOE=∠MOB-∠BOE=90°-20°=70° 综上所述，∠MOE的度数为110°或70°. S三角形A= 2ACBC=2AB·CD,即2×6X8= ×10CD, 1 CD=24 ，即点C到AB的距离是 图① 图② 12.解：(1)：直线AB,CD相交于点O,∠BOD=40°， 7.30或150°【解析】：E0⊥CD,∴.∠EOC=90°. .∠AOD+∠BOD=180°，∠AOC=∠BOD=40°， 分两种情况讨论： .∠AOD=180°-∠B0D=180°-40°=140°. ①如图①，：∠AOC=60°， OE平分∠AOD, .∠AOE=∠EOC-∠AOC=90°-60°=30° 1 1 ∠D0E=∠A0E=2∠A0D=2X140°=70， (2)OE⊥OF. ∴.∠EOF=90°.由(1)得∠AOE=70°，∠AOC=40°， 图① 图② .∠AOF=∠EOF-∠AOE=90°-70°=20°， ②如图②，.∠AOC=60°， ∠COF=∠AOC-∠AOF=40°-20°=20°， ∴.∠AOE=∠EOC+∠AOC=90°+60°=150° .∠AOF=∠COF, 综上所述，∠AOE的度数为30°或150° .OF平分∠AOC. 8.B 13.解：(1)：∠A0C=70°， 9.B【解析】根据直线的性质补全 ∴.∠BOD=∠AOC=70. 图并作出法线OK,如图所示.根 .OE平分∠BOD, 据图形可以看出OB是反射光线， 1 E流 即光线反射后会经过点B. ∠D0E=z∠B0D=35: 10.8【解析】：CB⊥CD,∴.BD>BC. .OF⊥CD BA⊥BD,BD<AD .∠DOF=90°， AD=10,BC=6, .∠EOF=∠DOF-∠DOE=90°-35°=55. .线段BD的长大于6且小于10. (2)设∠DOE=x. 又线段BD的长为偶数，∴BD=8. OE平分∠DOB, 11.110°或70°【解析】分两种情况进行讨论： .∠BOE=∠DOE=x. ①如图①所示，：OD平分∠BOC, :∠B0F=15°， ∴.∠COD=∠BOD. .∠EOF=x+15° .4∠BOE+∠BOC=180°，∠AOB+∠BOC=180°， ,OF平分∠COE, ∴.∠AOB=4∠BOE,即∠AOE=3∠BOE. ∴.∠COE=2∠EOF=2(x+15). 设∠BOE=a,则∠AOE=3a,∠BOD=∠DOE- :∠DOE+∠EOC=180°， ∠BOE=70°-a=∠COD. .x+2(x+15)=180°， :点A,O,C在同一条直线上， 解得x=50°， ∴∠AOE+∠DOE+∠COD=180°， .∠AOC=∠BOD=2.x=100°. 数学七年级RJ版