专题7.2 一元一次不等式及其解法（举一反三讲义）数学新教材沪科版七年级下册

本讲义聚焦一元一次不等式及其解法核心知识点，先明确概念（含一个未知数、次数为1、系数不为0及标准形式），再梳理解法步骤（依据不等式性质，通过去分母、去括号等化为x>a或x<a），通过8个题型（概念、解集、数轴表示等）构建从基础到综合应用的学习支架。 资料以“题型+例题+变式”设计，覆盖从概念辨析到方程与不等式综合应用，如通过错误解题过程分析培养推理意识，数轴表示解集发展几何直观，助力教师分层教学，学生可课后强化练习，查漏补缺，提升应用能力。

专题7.2 一元一次不等式及其解法（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 【题型1 一元一次不等式的概念】 1 【题型2 求一元一次不等式的解集】 3 【题型3 在数轴上表示不等式的解】 4 【题型4 一元一次不等式的整数解】 6 【题型5 含参数的一元一次不等式的解法】 8 【题型6 一元一次不等式的最值问题】 10 【题型7 不等式的恒成立问题】 12 【题型8 方程（组）与不等式的综合求参数范围】 15 知识点1 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0．像这样的不等式，叫做一元一次不等式． 一元一次不等式的标准形式是或 ． 知识点2 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为的形式，其一般步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【题型1 一元一次不等式的概念】 【例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，绝对值，根据一元一次不等式的定义可得且，求解即可，正确把握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 【变式1-1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的不等式叫做一元一次不等式. 【详解】、是一元一次不等式； 、不含未知数，不符合定义； 、含有两个未知数，不符合定义； 、未知数的次数是，不符合定义， 故选：A. 【点睛】此题考查一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的不等式叫做一元一次不等式. 【变式1-2】已知是关于x的一元一次不等式，那么 ． 【答案】-1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，所以，求解即可； 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案是：-1． 【点睛】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件的考查. 【变式1-3】给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 【答案】②④ 【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就是一元一次不等式． 【详解】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故选项不符合题意； ②y－1＞3是一元一次不等式，故此选项符合题意； ③x＋≥2中不是整式，故选项不符合题意； ④x≤0是一元一次不等式，故此选项符合题意； ⑤3x－y＜5；含两个未知数，故选项不符合题意． 故答案为：②④ 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 【题型2 求一元一次不等式的解集】 【例2】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．将不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解集． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则不等式的解为． 【变式2-1】（24-25七年级下·广东东莞·期末）不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式，解不等式 ，通过移项求解． 【详解】解：， 移项得：， 化简得：， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下面是骏骏同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……·第四步 ……第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是___________________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】任务一：①乘法分配律；②五；不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变；任务二：． 【分析】本题考查解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：任务一：①乘法分配律； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变； 故答案为：乘法分配律；五；不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变； 任务二：该不等式的正确解集为． 【变式2-3】（24-25七年级下·吉林·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，根据，得到，结合，即可求出的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【题型3 在数轴上表示不等式的解】 【例3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况得到关于m的不等式组成为解题的关键． 根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为；再根据数轴可得，进而得到关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， 由数轴可知不等式解集为：， ∴，即． 故选：A． 【变式3-1】（24-25七年级下·广西贵港·期中）不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键； 根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并按要求将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ． 不等式解集在数轴上的表示为： 故选：B． 【变式3-2】（24-25七年级下·北京·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为 【答案】 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，理解数轴上不等式的解集，解一元一次方程式关键． 根据数轴上的解集得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵数轴上不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为： ． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）定义运算：，例如：，若不等式的解集在数轴上如图所示，求的值． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合不等式解集在数轴上的表示，得出，再求出即可． 【详解】解：由新运算的定义可得，， 所以， 解得， 由数轴上表示的解集可知，， 解得． 【题型4 一元一次不等式的整数解】 【例4】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式的非正整数解． 【答案】（1）；1，2，3，4；（2）；，0． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，利用解一元一次不等式的一般解法即可求解，熟练掌握一元一次不等式的一般解法是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得正整数解，即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得非正整数解，即可求解；． 【详解】解：（1） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1， ∴正整数解为：1，2，3，4； （2） 去分母，得：． 去括号，得：． 移项、合并同类项，得：． 系数化为1，得． 所以不等式的非正整数解为，0． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·期末）不等式的非负整数解的个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再确定不等式的非负整数解即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∴不等式的非负整数解为，共个， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级下·山东泰安·期末）对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如： ，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键． 根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 该不等式的正整数解为1，2共2个， 故选：B． 【变式4-3】（24-25七年级下·广西桂林·期中）定义，例如：，若，则非负整数的值有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，求一元一次不等式的整数解，先根据新定义，列出不等式，进而求出不等式的解集即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴非负整数的值有，共4个； 故选B． 【题型5 含参数的一元一次不等式的解法】 【例5】（24-25七年级下·福建泉州·期末）若满足不等式，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的基本性质，先解不等式得，则有，再运用不等式的基本性质求解即可，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ∴， 根据不等式的基本性质，得不等式的解集为， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程的解是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、不等式的解集等知识点，根据题意得到关于a的不等式是关键． 先解方程求得，然后代入得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：关于x的方程可得：， 把代入得：，解得：． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知不等式的解集是，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的性质，列出关于a的不等式，确定出a的范围即可，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 解得， 数轴上表示符合D， 故选：D． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集，不等式的性质，正确计算是解题的关键．先整理不等式，再根据其解集得出之间的关系以及的取值范围，再解不等式即可． 【详解】解：， ， ∵关于的不等式的解集为， ∴， 解①，得， 即， 把代入②，得， 解得， ∴关于的不等式的解集为， ∴， 即， 故选：B． 【题型6 一元一次不等式的最值问题】 【例6】已知实数，，．若，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值． 【详解】解：由得， 由得， 及， 解得：， 的最大值为3， 的最大值． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值． 【变式6-1】已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 【题型7 不等式的恒成立问题】 【例7】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）当 时，不等式恒成立． 【答案】6 【分析】本题考查不等式的解，解不等式得到，然后根据不等式恒成立可得，解出k值即可． 【详解】解： ∵不等式恒成立， ， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，先解有关的不等式，再根据恒成立求有关的不等式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若关于x，y的方程组的解是正数，要使恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先解方程组求出x、y关于m的表达式，根据解为正数确定m的范围，再分析不等式在m的取值范围内恒成立的条件，从而确定a的最小值. 本题考查了解方程组，方程组解的属性，不等式的应用，熟练掌握解方程组是阶梯的关键 【详解】解：根据题意，得， 得， 解得， 把代入得， 由关于x，y的方程组的解是正数， 得， 解得， ， 又，即， 故 解得， 故选：C. 【变式7-3】（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键． 求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，求出a即可． 【详解】解：解不等式得， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴当，即时 不等式， ， ， 可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立， 所以满足条件． 当，即时 不等式其解为． 因为的解都能使成立， 所以． 解不等式： ，结合前提，这种情况满足条件． 当，即时 不等式其解为． 要使的解都能使成立，那么． 解不等式： ，结合前提，得到． 综合以上三种情况． 故答案为：． 【题型8 方程（组）与不等式的综合求参数范围】 【例8】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·假期作业）当自然数 时，关于的方程的解是负数． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的范围，求一元一次不等式的非负整数解，先求出方程的解，根据解为非负数，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于的方程的解是负数， ∴， ∴， ∴自然数0，1，2； 故答案为：0，1，2． 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知关于的方程的解不小于，且是一个非负整数，试确定的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，解题的关键是正确理解题意． 解方程，写出关于的表达式，根据方程的解不小于，列不等式，结合是一个非负整数，可得的值，从而可得的值． 【详解】解：由得， ∵关于的方程的解不小于， ∴， ∴， 又∵是一个非负整数， ∴， 当时，， ∴， 答：的值为． 【变式8-3】（24-25八年级下·四川成都·期中）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式的解，则称该一元一次方程为该不等式的相伴方程，若方程是关于x的不等式的相伴方程，则m的最大值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题关键．先解一元一次方程可得，再代入不等式即可得． 【详解】解：， ， ， ∵方程是关于的不等式的相伴方程， ∴， ∴， ∴的最大值为3， 故答案为：3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 一元一次不等式及其解法（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 【题型1 一元一次不等式的概念】 1 【题型2 求一元一次不等式的解集】 2 【题型3 在数轴上表示不等式的解】 2 【题型4 一元一次不等式的整数解】 3 【题型5 含参数的一元一次不等式的解法】 3 【题型6 一元一次不等式的最值问题】 4 【题型7 不等式的恒成立问题】 4 【题型8 方程（组）与不等式的综合求参数范围】 4 知识点1 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0．像这样的不等式，叫做一元一次不等式． 一元一次不等式的标准形式是或 ． 知识点2 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为的形式，其一般步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【题型1 一元一次不等式的概念】 【例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式1-1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知是关于x的一元一次不等式，那么 ． 【变式1-3】给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 【题型2 求一元一次不等式的解集】 【例2】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式：． 【变式2-1】（24-25七年级下·广东东莞·期末）不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下面是骏骏同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……·第四步 ……第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是___________________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【变式2-3】（24-25七年级下·吉林·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 【题型3 在数轴上表示不等式的解】 【例3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·广西贵港·期中）不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·北京·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）定义运算：，例如：，若不等式的解集在数轴上如图所示，求的值． 【题型4 一元一次不等式的整数解】 【例4】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式的非正整数解． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·期末）不等式的非负整数解的个数为 个． 【变式4-2】（24-25七年级下·山东泰安·期末）对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如： ，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（24-25七年级下·广西桂林·期中）定义，例如：，若，则非负整数的值有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型5 含参数的一元一次不等式的解法】 【例5】（24-25七年级下·福建泉州·期末）若满足不等式，则关于的不等式的解集为 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程的解是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知不等式的解集是，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【题型6 一元一次不等式的最值问题】 【例6】已知实数，，．若，则的最大值为 ． 【变式6-1】已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 【变式6-3】已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【题型7 不等式的恒成立问题】 【例7】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）当 时，不等式恒成立． 【变式7-1】（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立，则n的取值范围是 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若关于x，y的方程组的解是正数，要使恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【题型8 方程（组）与不等式的综合求参数范围】 【例8】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·假期作业）当自然数 时，关于的方程的解是负数． 【变式8-2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知关于的方程的解不小于，且是一个非负整数，试确定的值． 【变式8-3】（24-25八年级下·四川成都·期中）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式的解，则称该一元一次方程为该不等式的相伴方程，若方程是关于x的不等式的相伴方程，则m的最大值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $