专题23.2 平行四边形（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题23.2 平行四边形 教学目标 1. 理解平行四边形的定义， 掌握平行四边形的性质：对边平行且相等、对角相等（邻角互补）、对角线互相平分、两条平行线间的平行线段相等; 2.掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行/相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形; 3.能运用定义、性质、判定进行简单的计算（边长、角度、周长、面积）和几何证明; 4.了解平行四边形的不稳定性、中心对称性，以及逆命题、逆定理等知识; 教学重难点 1.重点 （1）平行四边形的定义及核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）的推导与掌握; （2）平行四边形判定定理的推导与应用（尤其是 “一组对边平行且相等”“对角线互相平分” 的判定）; （3）运用定义、性质、判定解决实际问题（计算、证明、图形识别）; 2.难点 运用定义、性质、判定解决实际问题（计算、证明、图形识别）. 知识点01 平行四边形的概念 1. 有一组对边平行的四边形叫作梯形; 2. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 读作：平行四边形ABCD； 线段AC、BD就是平行四边形ABCD的对角线； 平行四边形相对的边，称为对边，相对的角称为对角； 对边：AB与CD；BC与DA； 对角：∠ABC与∠CDA；∠BAD与∠DCB． 【即学即练】 1.如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（    ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形均为平行四边形． ∴图中共有个平行四边形9个． 故选：D． 知识点02 平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 【即学即练】 1.如图18.1-4,在▱ABCD中，DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF. 【答案】见解析 【分析】证明线段相等最常用的方法是证明三角形全等。 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C,AD=CB. 又∠AED=∠CFB=90°, ∴△ADE≌△CBF. ∴AE=CF. 【点睛】距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离.在题1中，DE和BF是两条平行线之间的距离，由题意可知两条平行线间的距离处处相等。而且两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 2.在中，，则 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，先由平行四边形的性质可得、，进一步得到，再根据即可求得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3.若平行四边形的一条边长是10，一条对角线长为8，则它的另一条对角线长x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是把平行四边形的问题转化为三角形的问题．根据平行四边形的性质可知由对角线和边组成的三角形的三边是10和4、，利用三角形三边关系可求x的取值范围． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 在中，， ∴的取值范围是，即， ∴的取值范围是． 故答案为：． 知识点03 平行四边形的判定 1.平行四边形的定义本身就是平行四边形的一种判定方法； 如右图所示：∵AB//CD,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 2.平行四边形的判定定理 定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB//CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 【即学即练】 1.已知如图，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．利用两组对边相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形． 2.题1可以用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明吗？ 【答案】可以 【分析】本题考查了平行四边形的判定，条件中已经有了AD=BC，关键还要证明AD//BC. 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴∠ADB=∠BDC ∴AD//BC， ∴四边形是平行四边形． 3.两组对角相等的四边形是平行四边形吗？ 【答案】是的 【分析】本题是个命题的证明，需要画出图形，写出已知、求证，再进行证明。 【详解】 如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明： ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360 又∵∠A=∠C，∠B=∠D ∴2∠A+2∠B=360 ∴∠A+∠B=180 ∴AD//BC 同理：AB//CD ∴四边形是平行四边形． 4.如图，点M、N在的对角线上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 连接，交于点O，由平行四边形的性质可知：，再证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：如图，连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵对角线上的两点M、N满足， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 知识点04 平行四边形具有不稳定性和中心对称性 1. 因为四边形具有不稳定性,所以平行四边形也具有不稳定性; 平行四边形是常见的图形.小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等都有平行四边形的形象，就是应用了平行四边形具有不稳定性的特性。 2.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心; 【即学即练】 1. 平行四边形的不稳定性是指当平行四边形边长一定时，什么不确定?( ) A.平行四边形的周长 B.平行四边形的内角和 C.平行四边形内角的大小 D.平行四边形的外角和 【答案】C 【分析】四边形具有不稳定性是指在边长确定的情况下它的大小和形状不能确定，所以它的内角的大小不能确定. 【详解】略 2. 下列关于平行四边形的说法正确的是（   ） A．平行四边形对角线相等 B．平行四边形邻边相等 C．平行四边形是中心对称图形 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故该选项不符合题意； B、平行四边形邻边不一定相等，故该选项不符合题意； C、平行四边形是中心对称图形，故该选项符合题意； D、平行四边形不一定是轴对称图形，故该选项不符合题意， 故选：C． 题型01 利用平行四边形的性质计算 【典例1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（   ） A．9 B．10 C．13 D．14 【分析】本题考查的是线段垂直平分线和平行四边形的对边相等性质； 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是14， 故选：D． 【变式1】如图，在中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定和平行四边形的对边平行且相等的性质； 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ∴， ， 同理可证：， ． 故选：A． 【变式2】在平行四边形中，是的2倍， 那么 ． 【分析】本题考查了平行四边形对边平行、对角相等、邻角互补的性质． 根据平行四边形对边平行得到，再由即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 °． 【分析】本题考查了平行四边形对角相等的性质。解题的关键是证明三角形是等腰三角形．由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质得出，根据旋转角相等可得． 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：40． 【变式4】如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平行四边形的对角线互相平分和三角形的三边关系； 【详解】解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：C． 题型02 利用平行四边形的性质进行推理证明 【典例1】如图，在中，已知E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，求证：； 【分析】本题考查了平行四边形的对边平行且相等的性质，根据平行四边形的性质可得，根据已知可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明；∵四边形是平行四边形， ∴，AB=CD ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴CD=CF 【变式1】已知：如图，点O是对角线的交点，过点O作直线分别交的延长线于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可证明结论． 【详解】证明：∵点O是对角线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，连接，作于点E，于点F，与相交于点H，求证：． 【分析】此题考查了平行四边形对角相等、同角的余角相等的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后证明出，得到然后由平行四边形的性质得到． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即． 【变式3】如图，在平行四边形中，对角线与相相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；全等三角形对应边相等． （1）根据平行四边形的性质得出，则，即可根据求证； （2）根据全等三角形的性质得出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴四边形的周长． 【变式4】如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，然后根据等式的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三线合一的性质得出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）证明∶设、相交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型03 通过对边平行或相等来判定平行四边形 【典例1】如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，通过证明两组对边平行可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【变式1】E，F是四边形对角线上的两点，，，．求证： (1) ； (2)四边形 是平行四边形 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定． （1）根据全等三角形的判定定理即可证得； （2）利用“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”即可证得结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴，即． 在与中， ， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】如图所示，在四边形中，于点E，于点F，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能证出和是证此题的关键．题型较好． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式3】如图，在中，点G，H分别是的中点，点E，F在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点． 【详解】证明：， ， ， 点G，H分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【变式4】如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，的周长为24，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定可得，，根据平行四边形的判定即可求证； （2）根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行四边形的性质可得，推得，设，则，根据的周长列式求得，根据勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 设，则， ∴，． ∵的周长为， ∴， 在中，， ∴． 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 题型04 通过对角线互相平分来判定平行四边形 【典例1】如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接、．且平分，求证：四边形是平行四边形； 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行四边形的性质可得AB=CD，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后证出，则可得，最后根据平行四边形的判定即可得证； 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，AB=CD ∴，， ∵BE=CD ∴AB=BE ∵平分 ∴AF=EF 在和中， ， ∴， ∴， 又∵DF=CF， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】 如图，的对角线、相交于点O，E、F是上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，则可得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】如图，在中，O为对角线的交点，E、F分别是的中点，顺次连接D、E、B、F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积为2，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质和三角形面积关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵E是的中点， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． 【变式3】已知：如图，ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB、CD的延长线交于点E、F.求证：四边形AECF是平行四边形. 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； 【详解】证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，DC//AB ∴∠DFO=∠BEO ∵∠FOD=∠EOB ∴△FOD≌△EOB ∴OF=OE ∴四边形AECF是平行四边形 【变式4】已知：如图，过ABCD的四个顶点，分别向两条对角线作垂线，垂足分别为点E、H、G、F.求证：四边形EFGH是平行四边形. 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．由平行四边形的性质得，再证OE=OG，OF=OH即可得出结论； 【详解】证明： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵AE⊥BD,CG⊥BD ∴∠AEO=∠CGO ∵∠AOE=∠COG ∴△AEO≌CGO ∴EO=GO 同理：FO=HO ∴四边形EFGH是平行四边形. 题型05 平行四边形性质、判定的综合 【典例1】如图在平行四边形中，点E在上，点F在上，且，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 先由平行四边形得到，，然后证明，即可证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可证明． 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式1】如图，已知，四边形中，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理． 先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，得到，再结合，证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得出． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式2】如图,已知在△ABC中,D是AB的中点,E是AC上的点,且EF∥AB,DF∥BE, 求证:AE与DF互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理． 先证明BDFE是平行四边形，得到，再证明四边形ADEF是平行四边形，再由平行四边形的性质得出结论． 【详解】证明：∵EF∥AB，DF∥BE ∴四边形BDFE是平行四边形 ∴BD=EF ∵D是AB的中点 ∴AD=BD， ∴EF=AD ∵EF∥AB ∴四边形ADEF是平行四边形 即AE与DF互相平分． 【变式3】已知：如图，过ABCD的对角线的交点O作直线EF，分别交AD于E，交AD于F，G、H分别为OD、OB的中点． 求证：EH//FG． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理． 先证明EHFG是平行四边形,再由平行四边形的性质得出结论． 【详解】证明： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BO=DO，AD=BC且AD∥BC． ∴∠ADO=∠CBO． 又∵∠FOD=∠EOB， ∴△FOD≌△EOB（ASA）． ∴EO=FO． 又∵G、H分别为OB、OD的中点， ∴GO=HO． ∴四边形GEHF为平行四边形． ∴EH//FG 【变式4】已知，如图，在中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交于点，连接．求证：AM=CN． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先证明得到，即得到，再证四边形AMCN是平行四边形即可获证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴AM=CN． 题型06 命题的辨析 【典例1】命题真假判断：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．( ) 【答案】√ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的各种判定是解题关键．根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：由平行四边形的判定：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．可知原问题正确， 故答案为：√ 【变式1】下列命题的逆命题错误的是（    ） A．平行四边形是中心对称图形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形的两组对边相等 D．平行四边形的两组对角相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题的知识，原命题与逆命题的关系是将条件和结论互换．需逐一分析各选项的逆命题是否正确． 【详解】选项A：逆命题为“中心对称图形是平行四边形”．中心对称图形包含圆、线段等非四边形，故逆命题错误． 选项B：逆命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”符合平行四边形的判定定理，故逆命题正确． 选项C：逆命题“两组对边相等的四边形是平行四边形”符合平行四边形的判定定理，故逆命题正确． 选项D：逆命题“两组对角相等的四边形是平行四边形”，可通过同旁内角互补推导对边平行，故逆命题正确． 故选A． 【变式2】在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理判断各选项是否成立即可． 【详解】解：∵ 平行四边形的判定定理：两组对边分别平行（选项C）、两组对边分别相等（选项A）、一组对边平行且相等（选项D）均能判定平行四边形； 而选项B：一组对边平行且另一组对边相等，不能判定平行四边形（如等腰梯形满足此条件但非平行四边形）． ∴ 不能判定四边形为平行四边形的是B． 故选B． 【变式3】一个四边形，对于下列条件：一组对边平行，一组对角相等；一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；两组对角的平分线分别平行，其中能判定为平行四边形的有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键； 根据平行四边形的判定定理，逐一分析各条件是否满足判定要求即可． 【详解】解：对于条件①，一组对边平行且一组对角相等，根据平行四边形的判定定理，可证明另一组对边也平行，从而判定为平行四边形； 已知：,, 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 对于条件②，一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分，可通过全等三角形证明对角线互相平分，从而判定为平行四边形； 已知：，对角线平分， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴, 又∵， ∴四边形是平行四边形； 对于条件③，一组对边相等且一条对角线被另一条对角线平分，“一组对边相等 + 一条对角线被另一条平分” 无法推出三角形全等，缺少 “夹角相等” 或 “另一组对边相等” 的条件，不能满足平行四边形的判定定理； 对于条件④，两组对角的平分线分别平行，可推导出两组对角分别相等，根据平行四边形的判定定理，可判定为平行四边形； 已知：，分别平分，，且，，分别平分，,且， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①②④． 【变式4】下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】根据平行四边形的判定、真命题与假命题的定义解决此题． 【详解】解：①根据平行四边形的判定，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，那么①是真命题； ②根据平行四边形的判定，一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，那么②是假命题； ③根据平行四边形的判定，一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线该组平行的对边也相等，故这个四边形是平行四边形，那么③是真命题； ④根据平行四边形的判定，一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形无法推断出这个四边形是平行四边形，那么④是假命题． 综上：真命题有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、命题与定理，熟练掌握平行四边形的判定、真命题与假命题的定义是解决本题的关键． 题型07 已知平行四边形的三点坐标寻求第四点坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 【变式2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、， (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积； (3)找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)或或 【分析】本题考查作图—复杂作图，坐标与图形性质，三角形的面积，平行四边形的判定等知识，解题的关键是正确作出图形解决问题． （1）根据A，B，C三点坐标作出三角形即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）根据平行四边形的判定分三种情形作出平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积； （3）解：如图，满足条件的点P的坐标，，． 故答案为：或或． 【变式3】如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【答案】(1)结论：是直角三角形．见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一应用于设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据平行四边形的判定作出图形即可． 【详解】（1）解：结论：是直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图点即为所求． 【变式4】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，的长满足，过点B作直线的垂线，交于点D． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)求线段的长； (3)在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质，二次根式非负性． （1）根据绝对值、二次根式、平方的非负性分别求出的长度即可； （2）利用计算即可； （3）分别过三个顶点作对边平行线，平行线交点即为点P，再利用平移的性质求坐标即可． 【详解】（1）∵， ∴，，， ∴，，，（负值舍去）， ∴，，； （2）∵，，， ∴，， ∵， ∴ （3）分别过三个顶点作对边平行线，平行线交点即为点P，如图所示： 点向左平移10个单位长度到点，由平行四边形可得点向左平移10个单位长度到点， 同理，， ∴存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为或或． 题型08 平行四边形的周长和面积 【典例1】如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（    ） A．48 B．36 C．40 D．24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A 【变式1】如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可出得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴ 故选：D． 【变式2】如图，正方形和，点在边上，若正方形和的面积分别是、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】连接交于，根据正方形以及平行四边形的面积计算公式，即可得到、的大小关系． 【详解】解：如图所示，连接交于，则， 正方形的面积， 的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形和平行四边形的性质及面积的计算，解决问题的关键是能够熟练运用正方形的性质． 【变式3】如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的周长，平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 由平行四边形的周长可求得的长，再根据平行四边形的性质及的周长比的周长多，可得的值，从而不难求得的值，即可解答． 【详解】解：∵的周长为． ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 即， ∴ 解得， ∴． 故答案为：5． 【变式4】如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接，根据平行四边形的性质，则，，根据点是的中点，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，得到，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，，根据阴影部分的面积为：，即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 题型09 平行四边形的不稳定性和中心对称性 【典例1】如图，在教学过程中，王老师为了更加直观地让学生体验四边形不具有稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，向右拉动框架，给出了如下结论： ①拉动后的四边形为平行四边形； ②拉动前后四边形对角线的长度不变； ③拉动前后四边形的面积不变； ④拉动前后四边形的周长不变． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．根据平行四边形的判定方法即可判断①正确，观察图形即可判断．可得②错误，由底不变，高变小可得③错误． 根据平行四边形性质即可判断④正确． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形是平行四边形，故①正确， ∵向右扭动框架， ∴的长度变大，故②错误， ∵平行四边形的底不变，高变小了， ∴平行四边形的面积变小，故③错误， ∵平行四边形的四条边不变， ∴四边形的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【典例2】（平行四边形是中心对称图形） 关于平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．不是轴对称图形，但是中心对称图形 D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形进行判定即可． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形， ∴A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，熟记性质是解题的关键． 【变式1】如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据平行四边形的判定方法即可判断；②观察图形即可判断；③根据平行四边形的面积公式即可判断；④根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：①根据题意两组对边的长度分别相等，所以四边形是平行四边形，故①正确； ②向右拉动框架，观察图形可知的长度变大，故②错误； ③因为平行四边形的底不变，高变小了，所以面积变小，故③错误； ④因为平行四边形的四条边长度不变，所以周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：C． 【变式2】小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图（1）中 ， ， 是等边三角形， 在图（2）中 ， ， 在中，， 故选：C． 【变式3】如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（    ）    A．平行四边形是中心对称图形 B． C．和面积相等 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、三角形的面积等知识点，掌握平行四边形的对角线互相平分、平行四边形的对边相等成为解题的关键． 根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据平行四边形的性质可得B错误，C正确；根据等底同高的三角形的面积相等可得D正确． 【变式4】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与中心对称，理解题意，灵活运用平行四边形的性质是关键． 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，根据中心对称的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 又∵对角线交点在原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵， ∴． 故选：C． 1．如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由是的角平分线可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，解方程即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 2．平行四边形中，、、、的度数之比有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是考查平行四边形的性质，由于四边形是平行四边形，由平行四边形的性质两组对角分别相等可知选项C有可能． 【详解】解：由平行四边形的两组对角分别相等得到在平行四边形中，，，那么，的度数之比有可能是． 故选：C． 3．如图所示，在平行四边形中，的交点P在上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．平行四边形和平行四边形 B．平行四边形和平行四边形 C．平行四边形和平行四边形 D．平行四边形和平行四边形 【答案】B 【分析】主要考查了平行四边形的性质和面积的求法．解题的关键是得到对角线把平行四边形分得的两个三角形全等，面积相等．根据平行四边形的面积=底×高，可知，当两个平行四边形的底与高相等时，面积相等．得出平行四边形和平行四边形相等． 【详解】解：A、观察图形，很明显的面积小于的面积，错误． B、由于分别是的对角线，根据“对角线把平行四边形分得的两个三角形全等”，可推出和面积相等，正确． C、观察图形，很明显和的底与高都不相等，错误 D、观察图形，和高相等，底不相等，面积不相等，错误． 故选：B． 4．下列关于平行四边形性质的描述中，错误的是（   ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形一定是轴对称图形 D．平行四边形对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，是中心对称图形，不是轴对称图形即可判断． 【详解】解：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，是中心对称图形，不是轴对称图形，故A、B、D正确，不符合题意，C错误，符合题意， 故选：C． 5．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 6. 已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【分析】本题主要考查了平行四边形的对角线互相平分和三角形的三边关系； 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，对角线交于点，过点作于点，交于点，若面积是，，则的长为 ．    【答案】 【分析】由可证，可得，由平行四边形的面积公式可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 面积是， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 8．在平行四边形中，，则与之间的距离为 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据题意作图过点作于点，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下，，过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴与之间的距离为， 故答案为： ． 9．如图，的对角线与相交于点，若，则的长是_____ 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 10. 如图，在中，，平分，则=_______ 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，掌握平行四边形邻角互补、对边平行，及平行线的内错角相等是解题的关键． 先利用平行四边形邻角互补的性质求出的度数，再通过角平分线得到的度数，最后结合平行四边形对边平行的性质，利用内错角相等求出． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ AD∥BC，且 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 11. 如图，在直角坐标系中，的对角线的交点在原点，若顶点的坐标为，则顶点的坐标是_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．依据的对角线的交点在原点，即可得到点与点关于原点中心对称，依据顶点的坐标为，即可得出顶点的坐标是． 【详解】解：的对角线的交点在原点， 点与点关于原点中心对称， 又顶点的坐标为， 顶点的坐标是， 12. 如图所示，有位农场主有一大片田地，其形状恰好是一个平行四边形，并且在对角线上有一口水井．农场主临死前留下遗嘱，把两块三角形的田地(即图中阴影部分)给小儿子，剩下的全部给大儿子，至于水井，正好两儿子共用，由于平行四边形两边长不同，所以遗嘱公布之后，亲友们七嘴八舌，议论纷纷，认为这个分配不公平，那么你认为 ．(填“公平”或“不公平”)理由是 ． 【答案】 公平 与的面积之和等于平行四边形的面积的一半． 【分析】过E作GH⊥AD交AD于H，交BC于G，根据三角形的面积公式求出△AED和△CEB的面积之和等于AD×GH，再根据平行四边形的面积即可求出答案． 【详解】公平， 理由是：过E作GH⊥AD交AD于H，交BC于G， ∵平行四边形ABCD， AD∥BC，AD＝BC， ∵GH⊥AD， ∴GH⊥BC， ∴阴影部分的面积是S△EAD＋S△EBC＝AD×EH＋BC×EG＝AD×GH＝S平行四边形ABCD， ∴△AED和△CEB的面积之和等于平行四边形ABCD的面积的一半， 故答案为：公平，△AED和△CEB的面积之和等于平行四边形ABCD的面积的一半． 13. 如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对角都相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ． ∴∠ABD=∠CDB ∴∠ABD+∠2=∠CDB+∠1 即∠ABC=∠ADC ∴四边形是平行四边形． 14．如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质得，结合，证明，即． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 15．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，延长到点E，使，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，推出，结合，利用证明，即可得出结论； （2）易证是等边三角形，得到，由（1）知，即，，即，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知，即， ∴，即， ∴． 16. 如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定． 首先由四边形是平行四边形得到，，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴． 17.如图， □ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠ADC＝60º，AD＝6，BE＝2，求△DEC的面积． 【答案】S△DEC=. 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质,含有30的直角三角形的性质. 【详解】 四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D=60°，AB=CD，AD=BC． ∵AE⊥BC， ∴在Rt△ABE中，BE=2，AB=4，AE=， ∴CD=AB=4， ∵AF⊥DC，∠D=60° ∵AD=6， ∴DF=3， ∴EC=BC-BE=AD-BE=6-2=4． S△DEC= EC×AE= ×4×=． 18. 在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形结合平行四边形的性质，A、B、C的坐标求出即可． 【详解】解：如图， 如图有三种情况：①平行四边形， ∵A，B，C， ∴， ∴， 则D的坐标是； ②平行四边形， ∵A，B，C， ∴， ∴， 则D的坐标是； ③平行四边形， ∵A，B，C， ∴的纵坐标是，横坐标是， 则D的坐标是， 故答案为或或． 19. 如图，在，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：    (1)； (2)四边形是平行四边形； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定． （1）证明，，再进一步证明即可． （2）证明，结合，进一步可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴． （2）证明：由（1）知，，则． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 20．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.2 平行四边形 教学目标 1. 理解平行四边形的定义， 掌握平行四边形的性质：对边平行且相等、对角相等（邻角互补）、对角线互相平分、两条平行线间的平行线段相等; 2.掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行/相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形; 3.能运用定义、性质、判定进行简单的计算（边长、角度、周长、面积）和几何证明; 4.了解平行四边形的不稳定性、中心对称性，以及逆命题、逆定理等知识; 教学重难点 1.重点 （1）平行四边形的定义及核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）的推导与掌握; （2）平行四边形判定定理的推导与应用（尤其是 “一组对边平行且相等”“对角线互相平分” 的判定）; （3）运用定义、性质、判定解决实际问题（计算、证明、图形识别）; 2.难点 运用定义、性质、判定解决实际问题（计算、证明、图形识别）. 知识点01 平行四边形的概念 1. 有一组对边________的四边形叫作梯形; 2. 两组对边分别________的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作________； 读作：________； 线段AC、BD就是平行四边形ABCD的对角线； 平行四边形相对的边，称为对边，相对的角称为对角； 对边：AB与CD；BC与DA； 对角：∠ABC与∠CDA；∠BAD与∠DCB． 【即学即练】 1.如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（    ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 知识点02 平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边________; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角________; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线________. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 【即学即练】 1. 如图在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB,过点B作BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF. 2.在▱中，，则 ． 3.若平行四边形的一条边长是10，一条对角线长为8，则它的另一条对角线长x的取值范围是 ． 知识点03 平行四边形的判定 1.平行四边形的定义本身就是平行四边形的一种判定方法； 如右图所示：∵____________ ∴四边形ABCD是平行四边形 2.平行四边形的判定定理 定理1：两组对边分别____________的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵____________ ∴四边形ABCD是平行四边形 定理2：一组对边____________的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵____________ ∴四边形ABCD是平行四边形 定理3：对角线____________的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵____________ ∴四边形ABCD是平行四边形 【即学即练】 1. 已知如图，，，求证：四边形是平行四边形． 2. 题1可以用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明吗？ 3. 两组对角相等的四边形是平行四边形吗？ 4. 如图，点M、N在的对角线上，且，求证：四边形是平行四边形． 知识点04 平行四边形具有不稳定性和中心对称性 1. 因为四边形具有不稳定性,所以平行四边形也具有不稳定性; 平行四边形是常见的图形.小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等都有平行四边形的形象，就是应用__________________________的特性。 2.平行四边形是_________对称图形,___________________是它的对称中心; 【即学即练】 1. 平行四边形的不稳定性是指当平行四边形边长一定时，什么不确定?( ) A.平行四边形的周长 B.平行四边形的内角和 C.平行四边形内角的大小 D.平行四边形的外角和 2. 下列关于平行四边形的说法正确的是（    ） A．平行四边形对角线相等 B．平行四边形邻边相等 C．平行四边形是中心对称图形 D．平行四边形是轴对称图形 题型01 利用平行四边形的性质计算 【典例1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（   ） A．9 B．10 C．13 D．14 【变式1】如图，在中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式2】在平行四边形中，是的2倍， 那么 ． 【变式3】如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 °． 【变式4】如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型02 利用平行四边形的性质进行推理证明 【典例1】如图，在中，已知E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，求证：； 【变式1】已知：如图，点O是对角线的交点，过点O作直线分别交的延长线于点E、F．求证：． 【变式2】如图，在中，连接，作于点E，于点F，与相交于点H，求证：． 【变式3】如图，在平行四边形中，对角线与相相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，求四边形的周长． 【变式4】如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 题型03 通过对边平行或相等来判定平行四边形 【典例1】如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【变式1】E，F是四边形对角线上的两点，，，．求证： (1) ； (2)四边形 是平行四边形 【变式2】如图所示，在四边形中，于点E，于点F，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【变式3】如图，在中，点G，H分别是的中点，点E，F在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形； 【变式4】如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，的周长为24，求的长． 题型04 通过对角线互相平分来判定平行四边形 【典例1】如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接、．且平分，求证：四边形是平行四边形； 【变式1】 如图，的对角线、相交于点O，E、F是上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形． 【变式2】如图，在中，O为对角线的交点，E、F分别是的中点，顺次连接D、E、B、F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积为2，直接写出四边形的面积． 【变式3】已知：如图，ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB、CD的延长线交于点E、F.求证：四边形AECF是平行四边形. 【变式4】已知：如图，过ABCD的四个顶点，分别向两条对角线作垂线，垂足分别为点E、H、G、F.求证：四边形EFGH是平行四边形. 题型05 平行四边形性质、判定的综合 【典例1】如图在平行四边形中，点E在上，点F在上，且，求证． 【变式1】如图，已知，四边形中，，，，求证：． 【变式2】如图,已知在△ABC中,D是AB的中点,E是AC上的点,且EF∥AB,DF∥BE, 求证:AE与DF互相平分． 【变式3】已知：如图，过ABCD的对角线的交点O作直线EF，分别交AD于E，交AD于F，G、H分别为OD、OB的中点． 求证：EH//FG． 【变式4】已知，如图，在中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交于点，连接．求证：AM=CN． 题型06 命题的辨析 【典例1】命题真假判断：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．( ) 【变式1】下列命题的逆命题错误的是（    ） A．平行四边形是中心对称图形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形的两组对边相等 D．平行四边形的两组对角相等 【变式2】在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 【变式3】一个四边形，对于下列条件：一组对边平行，一组对角相等；一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；两组对角的平分线分别平行，其中能判定为平行四边形的有 （填序号）． 【变式4】下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题的序号是 ． 题型07 已知平行四边形的三点坐标寻求第四点坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、， (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积； (3)找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是______． 【变式3】如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【变式4】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，的长满足，过点B作直线的垂线，交于点D． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)求线段的长； (3)在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型08 平行四边形的周长和面积 【典例1】如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（    ） A．48 B．36 C．40 D．24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【变式1】如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可出得结论． 【变式2】如图，正方形和，点在边上，若正方形和的面积分别是、的大小关系是 ． 【变式3】如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则 ． 【变式4】如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 ． 题型09 平行四边形的不稳定性和中心对称性 【典例1】如图，在教学过程中，王老师为了更加直观地让学生体验四边形不具有稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，向右拉动框架，给出了如下结论： ①拉动后的四边形为平行四边形； ②拉动前后四边形对角线的长度不变； ③拉动前后四边形的面积不变； ④拉动前后四边形的周长不变． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【典例2】（平行四边形是中心对称图形） 关于平行四边形，下列说法正确的是（　　） A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．不是轴对称图形，但是中心对称图形 D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【变式1】如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【变式2】小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【变式3】如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（    ）    A．平行四边形是中心对称图形 B． C．和面积相等 D． 【变式4】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（    ）． A． B． C． D． 1．如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 2．平行四边形中，、、、的度数之比有可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在平行四边形中，的交点P在上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．平行四边形和平行四边形 B．平行四边形和平行四边形 C．平行四边形和平行四边形 D．平行四边形和平行四边形 4．下列关于平行四边形性质的描述中，错误的是（   ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形一定是轴对称图形 D．平行四边形对角线互相平分 5．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 6. 已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 7. 如图，在中，对角线交于点，过点作于点，交于点，若面积是，，则的长为 ．    8．在平行四边形中，，则与之间的距离为 9．如图，的对角线与相交于点，若，则的长是_____ 10. 如图，在中，，平分，则=_______ 11. 如图，在直角坐标系中，的对角线的交点在原点，若顶点的坐标为，则顶点的坐标是_______ 12. 如图所示，有位农场主有一大片田地，其形状恰好是一个平行四边形，并且在对角线上有一口水井．农场主临死前留下遗嘱，把两块三角形的田地(即图中阴影部分)给小儿子，剩下的全部给大儿子，至于水井，正好两儿子共用，由于平行四边形两边长不同，所以遗嘱公布之后，亲友们七嘴八舌，议论纷纷，认为这个分配不公平，那么你认为 ．(填“公平”或“不公平”)理由是 ． 13. 如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 14．如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 15．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，延长到点E，使，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16. 如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 17.如图， □ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠ADC＝60º，AD＝6，BE＝2，求△DEC的面积． 18. 在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标． 19. 如图，在，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：    (1)； (2)四边形是平行四边形； 20．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $