3.长方体和正方体&探索图形-【课堂笔记】2025-2026学年五年级下册数学课堂笔记（人教版）

3 长方体和正方体 长方体和正方体的认识 生活中许多物体的形状都是长方体或正方体（正方体也叫立方体)。 国家游泳中心 联合国总部大楼 立体图形和平面图形的区别：平面图形只在平面上占有一定的面积，立体图形 不仅在平面上占有一定的面积，还占有一定的空间。 长方体 顶点：棱和棱的交点 面 围成长方体的长方形或 棱：面和面相交的线段（不叫边） 正方形叫作长方体的面。 无论从哪个角度观察长方体，最多只能看到三个面。 1 拿几个长方体的物品来观察，并将小组同学的发现填在下页的表中。 长方体有6个面。 有些面是完全相同的。 长方体有6个面， 相对的面完全相同。 数一数，比一比，量一量等，是认识图形经常用到的方法。 18 长方体和正方体 (1)长方体有6个面。 (4)长方体有12条棱。 (2)每个面是什么形状的？ (5)哪些棱长度相等？ 相对的棱长度相等。 有2个相对 每个面都是长方形（特殊情祝有两个相对的面是正方形） 的面是正方 (6)长方体有8个顶点。 形的长方体 (3)哪些面是完全相同的？ 中有8条棱 的长度相等 相对的面是完全相同的。 另外4条棱 的长度相等。 通过以上的观察和讨论可以知道：长方体一般是由6个长方形（特殊情况有两个 相对的面是正方形)围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的 棱长度相等。 2 用细木条和橡皮泥做一个长方体框架。 需要不同长度 的细木条。 根据制作过程，回答下面的问题。 （1)长方体的12条棱可以分成几组？3组。4条长、4条宽、4条高。 (2)相交于同一顶点的3条棱的长度相等吗？不相等。所有的长、宽、 高分别相等。 相交于同一顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的 长、宽、高。 长：底面较长的棱。 宽：底面较短的棱。 高：垂直于底面的棱。 划重点 长 长方体的长、宽、高决定了长方体的大小，长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4。 做一做三 剪下本书附页中图1的图样，按要求做一做。 提示对于同一个长方体来说， (1)把图样中完全相同的长方形涂上同样的颜色。 长方体的长、宽、高不是固定 产不变的，长方体的摆放方式不 (2)用这个图样做一个长方体。 同，长、宽、高也就不同。 (3)量一量所做长方体的长、宽、高各是多少厘米。 (4)观察这个长方体，最多能看到几个面？提示从一个面看，只能看到一个面； 从一条棱看，只能看到两个面； 从一个顶点看，只能看到三个面。 9 ©课堂笔记)数学五年级下册人教 正方体 也叫立方体。 3 拿一个正方体的物品来观察，并将小组同学的发现填在下面。 (1)正方体的6个面完全相同，都是正方形。 (2)正方体的12条棱长度相等 棱 棱 (3)正方体有8个顶点。 正方体的棱长总和=棱长×12 通过观察可以知道：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，所 有的棱长度相等。 剪下本书附页中图2的图样做一个正方体，再量出它的棱长是多少厘米。 讨论一下：长方体和正方体有哪些相同点？有哪些不同点？ 不同点：①长方体相对的面相同，一般6个面都是长方形，特殊情况下 有2个相对的面是正方形。正方体6个面都是正方形，所有面大小相等。 相同点： ② 正方体的棱长度都 长方体和正方体都有 相等，长方体相对 6个面、8个顶，点… 的棱… 和12条棱。 长度相等。 正方形是特殊的长 方形，所以… 正方体是特殊的长方体 长方体 正方体是长、宽、高都相等的长方体。我们可以 正方体 用右图表示长方体和正方体的关系。 相交于一个顶点的三条棱的长度都相等的长方体一定是正方体。 做一做三 用棱长1c的小正方体搭一搭。先搭一搭，再回答问题。 (1)搭一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？动手试一试。 (2)用12个小正方体搭一个长方体，可以有几种不同的搭法？记录搭出的长方 体的长、宽、高。 (3)搭一个4个面都是正方形的长方体，你发现了什么？ 3长方体和正方体 练习五 1.（1)这个纸巾盒的前面是什么形状？长和宽各是多少？ 和它相同的面是哪个？ 126 (2)这个纸巾盒的右面是什么形状？长和宽各是多少？ 和它相同的面是哪个？ 12.cm 24 cm （3)哪几个面的长是24cm,宽是12cm? 2.一个长、宽、高分别为40cm、30cm、20cm的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带， 至少需要多长的胶带？ 提示求胶带长就是求棱长的总和。 (1)和a平行的棱有几条？ (2)和a相交且垂直的棱是哪几条？ (3)和b平行的棱有几条？ (4)你还能发现什么？ b 4.（1)这个魔方是什么形状的？ （2)它的棱长是多少？ (3)它有几个面的形状完全相同？ cm 提示观察可知，12条棱的长度都相等。 10 cm 5.为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯（地面的四边不装）。 已知礼堂长90m,宽55m,高22m,工人叔叔至少需要多长的彩灯线？ 提示彩灯线长=2条长+2条宽+4条高 21 ⊙课堂笔记)数学五年级下册人教 6.左边的长方体是用棱长1cm的小正方体拼成的。右边的图形中哪一个是这个长方体 6个面中的一个？用“V”标出来，并注明有几个这样的面。 2cm 4 cm 3 cm )个 )个 )个 提示先确定长方 对 体的长是4cm,宽 m 是3cm,高是2cm, 3cm 4 cm 3cm 再判断。 )个 )个 )个 7.下图分别是长方体或正方体一个顶点处的3条棱。（单位：cm) 提示根据顶 点处的3条棱 找对应的面。 从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出上面的长方体或正方体。 ③ ⑤ ① ② ⑥ 7 9 9 8·正方体的6个面分别写着A、C、D、E、F、I。与A、E、I相对的面分别是哪个面？ 把正方体转一下 再转一下 A 提示由两次转动可知，侧面是A、E、F、C,上面是1，下面是D,与A相邻的是F、E 你知道吗？ 几何学和欧儿里得 几何学是数学学科的一个重要分支，它源于土地测量等实际需要。 古希腊数学家欧几里得被称为“几何学之父”，他的著作《原本》在数学 发展史上有着深远的影响。 3长方体和正方体 长方体和正方体的表面积 一个长方体或正方体的纸盒展开后是什么形状的？ 我展开了一个长 要沿着棱剪开！ 方体的纸盒。 沿棱剪开时不能剪断， 正方体的纸盒可 要使相邻面有一条边 能连在一起，不能剪 以这样展开。 成一个一个的长方形 或正方形。 把长方体和正方体的6个面分别展开，如下图所示。 同一个长方体或正方体，沿着不同的棱展开，得到的展开图是不相同的。 右边的两幅图都只 展开图中相对 是展开图中的一种 后 后 的面不相邻。 左 下 右 左 下右 前 前 请在上面的展开图中，分别用“上、下、前、后、左、右”标明6个面。观察长 方体展开图，回答下面的问题。上、下面的面积相等、有、后面 (1)哪些面的面积相等？面积相等，左、右面的面积相等。 两个相对的面面积相等。 （2)每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？ 上、下面的长和宽是长方体的长和宽； 前、后面的长和宽是长方体的长和 做一做三 高 左、右面的长和宽是长方体的宽和 折叠后，下面哪些图形能围成左侧的正方体？在括号里画“√” 正方体展开图共有11种 四四P中甲- 3-3型 2-3-1型 2-2-2型 23 ⑨课堂笔记)数学五年级下册人教 长方体或正方体6个面的面积之和，叫作它的表面积。 在日常生活和生产中，经常需要计算一些长方体或正方体的表面积。 长方体的侧面积=底面周长×高 1 制作尺寸如下图所示的长方体和正方体保温箱，各需要多少平方分米的泡沫板？ (单位：dm) 想：求需要多少平方分米的泡沫板就是要求什么？ 求需要多少平方分米泡沫板 先观察长方体保温箱： 就是求保温箱的表面积 上、下每个面，长6dm,宽5dm,i 面积是30dm2; 前、后每个面，长6dm,宽4dm, 面积是24dm2; 6个面的面积之和 左、右每个面，长5dm,宽4dm, 面积是20dnm2。 6个面的面积相加… 长方体相对的面面积 相等，我先算… 6×5×2+6×4×2+5×4×2 (6×5+6×4+5×4)×2 =148(dm2) =148(dm2） 想一想：正方体6个面都相同，表面积可以怎样计算？ 先求一个面的面积，再求6个面的面积和。 5×5×6=150(dm2) 划重点 长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n倍。 做一做目 m 一个长0.75m、宽0.5m、高1.6m的简易衣柜需要换布罩 (如右图，没有底面)。至少需要用多少平方米布料？ 解题关键 在实际生活中，并不是所有形状为长方体的物体都有6个面 例如：长方体的鱼缸只有5个面。 0.75m 3 长方体和正方体 练习六 提示先确定四个侧面，再 确定上、下面 1.在展开图上找出相对的面，并用“上、 2.将下面的展开图围成正方体后，哪两个 下、前、后、左、右”标出，再用a、b、 面分别相对？ c标出每条棱。 晨钟 冬 夏 春对 秋 暮鼓 秋对 春 暮鼓对 3 N 3 cm cm 4cm 2cm 3 cm 2cm (1)计算各长方体中前面的面积。 (2)计算各长方体中右侧面的面积。 (3)计算各长方体中上面的面积。 (4)计算各长方体的表面积。 4.做一个长5dm、宽4dm、高3dm的长方体布艺收纳盒，至少需要多少平方分米的布？ 提示求6个面的面积和。 5.一个长方体的饼干盒，长10cm,宽6cm,高12cm。如果围着它贴一圈商标纸（上、 下面不贴)，这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 提示商标纸的面积就是长方体的侧面积。 6. 提示求红纸面积就是求正方体的表面积。 把一个棱长46cm的正方体纸箱各面都贴上红纸，作为捐款箱。 (1)至少需要多少平方厘米的红纸？（开口处忽略不计。) (2)如果只在棱上粘贴一圈胶带纸，一卷4.5m长的胶带纸够 用吗？ 25 ⊙课堂笔记)数学五年级下册人教 7.先根据给出的数据判断物体是正方体还是长方体，再计算表面积。 图形名称 长 宽 高 表面积 15cm 15 cm 10cm 12m 12m 12m 13 dm 12 dm 10 dm 8.一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3dm,制作这个鱼缸至少需要多 少平方分米的玻璃？（上面没有盖。) 提示求5个面的面积和。 9.一个正方体礼品盒的棱长为1.2dm。如果包装这个礼品盒的用纸是其表面积的1.5倍， 至少要用多少平方分米的包装纸？提示求表面积的1.5倍是多少。 10.一个新建的游泳池长50m,长是宽的2倍，深2.5m。现在要在游泳池的四周和底 面贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？ 11.学校要粉刷教室。已知教室的长是8m,宽是6m,高是3m,门窗的面积是11.4m。 如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这个教室需要多少涂料费？ 提示门窗、地面不刷。 12.右面这个颁奖台是由3个长方体拼成的。它的前后两 面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色 油漆和红色油漆的面积各是多少？（单位：cm) 提示两个图形重叠部分的面积不能算在表面积之内。 ←40→4040K --- 13.如何把右面这个长方体木块分成两个棱长为4cm的 正方体？这两个正方体的表面积之和与原长方体的 表面积相等吗？ 提示增加了两个切面的面积。 8cm 4 cm 26 长方体和正方体 3 长方体和正方体的体积 体积和体积单位 石头占有一定的空间，水面升高。 说一说：乌鸦是怎样喝到水的？ 实验观察： 1.准备两个同样大小的空杯子，将其中一杯装满水； 2.取一块小石头放进空杯子里，将第一杯中的水倒进这个杯子里； 小石头占有一定的空间 3.换一块大一点的石头再试一试。 原本正好能装下 的水有了剩余。 你发现了什么？ 石头占了一部分空 石头越大，剩下的 间，水就剩下了。 水就越多。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 大小不同的物体所 占空间有大有小。 上面的洗衣机、电饭锅和手机，哪个体积最大？哪个体积最小？ 提示大的物体所占的空间大，小的物体所占的空间小。 洗衣机的体积最大，手机的体积最小。