2026年河南省对口招生考试《数学高频考点冲刺卷》（四）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据河南省对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第4卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 河南省2026年普通高等学校对口招收中等职业学校 毕业生考试试卷 数学 高频考点冲刺卷（四） 考试时间：150分钟，满分：100分 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．，“”是“”的（   ）． A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 3．已知函数，则＝（   ） A． B． C．3 D．27 4．下列函数中既是偶函数，在上又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是（    ）. A． B． C． D． 6．等差数列中，已知，则数列的前20项的和是（    ） A．10 B．120 C．140 D．150 7．已知，，，若，则锐角等于（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 8．已知复数，则（   ）． A． B． C． D． 9．下列命题中，正确的是（   ） A．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 B．若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线垂直于另一个平面 C．若空间中两条直线无公共点，则这两条直线平行 D．若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直 10．2023年5月22日，是我国著名数学家陈景润诞辰90周年，也是陈景润关于哥德巴赫猜想“1+2”的详细证明发表50周年，这一结果至今仍在哥德巴赫猜想研究中保持世界领先水平，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其积是奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．已知全集，集合，集合，则 ． 12．函数是定义在的偶函数，则 13．求值： . 14．设，向量，，且，则 . 15．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 里. 16．若直线过抛物线的焦点，则的值是 . 17．如图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态．如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体．圆锥的高，圆锥与半球的半径，则组合体的表面积为 ．    18．若，则 三、解答题（每小题8分，共24分） 19．已知函数，且. (1)求的值. (2)判定的奇偶性. 20．已知的内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若是边上的一点，且的面积为8，求的长． 21．已知直线与两坐标轴的交点为和，求： (1)该直线的方程； (2)以点为圆心、以线段为半径的圆的方程. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22．如图所示，已知在中，为斜边的中点，为所在平面外一点，.求证：平面平面. 23．在数列中，，且对于任意正整数n都有，求证：数列是等差数列. 五、综合题（共10分） 24．已知点、，向量，． (1)若，求与夹角的余弦值； (2)若向量与平行，求实数的值． ( 34 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据河南省对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第4卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 河南省2026年普通高等学校对口招收中等职业学校 毕业生考试试卷 数学 高频考点冲刺卷（四） 考试时间：150分钟，满分：100分 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式的性质以及求解二次方程、交集的定义求解即可. 【详解】. 所以. 故选：A. 2．，“”是“”的（   ）． A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则不一定小于，例， 所以“”不能推出“”， 若，则， 所以“”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D. 3．已知函数，则＝（   ） A． B． C．3 D．27 【答案】D 【分析】先求的值，再求的值. 【详解】由题知，则. 故选：D. 4．下列函数中既是偶函数，在上又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项判断函数的单调性和奇偶性即可得解. 【详解】选项，即，定义域为，，，所以不是偶函数，故错误， 选项，即，定义域为，，， 所以为偶函数，因为图像开口向上，对称轴为轴，所以增区间为，故正确， 选项，定义域为不关于原点对称，不具备奇偶性，故错误， 选项，即，定义域为，，，所以不是偶函数，故错误， 故选：. 5．已知，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的诱导公式化简求解. 【详解】因为，所以： ， 故选：B. 6．等差数列中，已知，则数列的前20项的和是（    ） A．10 B．120 C．140 D．150 【答案】D 【分析】由等差数列的性质可得，代入可求解. 【详解】由等差数列的性质可知 ， 由已知得 ， 故数列的前20项的和. 故选：D 7．已知，，，若，则锐角等于（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】由向量的线性运算及向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以， 又因为，且， 所以，即， 因为为锐角，所以. 故选：C． 8．已知复数，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据共轭复数的概念得出，再由复数的运算法则计算即可. 【详解】因为复数，则， 所以 ， 故选：C. 9．下列命题中，正确的是（   ） A．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 B．若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线垂直于另一个平面 C．若空间中两条直线无公共点，则这两条直线平行 D．若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直 【答案】A 【分析】根据平面及直线平行与垂直的判定与性质定理即可选出正确答案. 【详解】如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行， 故A选项正确； 两平面垂直时，平面内的直线可能与另一个平面相交、平行或垂直，故B选项错误； 若空间中两条直线无公共点，则这两条直线平行或异面，故C选项错误； 直线垂直于平面需要满足直线垂直于平面内的两条相交直线，仅仅垂直于平面内的无数条直线，不足以判断这条直线与这个平面垂直，故D选项错误. 故选：A 10．2023年5月22日，是我国著名数学家陈景润诞辰90周年，也是陈景润关于哥德巴赫猜想“1+2”的详细证明发表50周年，这一结果至今仍在哥德巴赫猜想研究中保持世界领先水平，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其积是奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出所有可能的取法以及满足积为奇数的取法，再根据古典概型概率公式进行计算即可求解. 【详解】从“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数有: ， ，共10种取法， 其中积为奇数有6种， 所以其积是奇数的概率是. 故选：B. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．已知全集，集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据补集及并集的定义即可得解. 【详解】全集，集合，集合， ，则， 故答案为：. 12．函数是定义在的偶函数，则 【答案】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以定义域关于原点对称， 所以，即，经检验，满足题意. 故答案为：. 13．求值： . 【答案】/ 【分析】根据特殊角的正切值和两角差的正切公式求解. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 14．设，向量，，且，则 . 【答案】 【分析】利用向量共线与模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，， 所以，解得， 则， 所以. 故答案为：. 15．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 里. 【答案】96 【分析】由题意可知，每天所走路程为等比数列，利用等比数列求和公式求得第一天走的路程，进而求出第二天走的路程即可. 【详解】由题意可知，每天所走路程形成等比数列， 由题意可设该等比数列首项为即第一天走的路程，公比， 由题意，一个人6天走了378里路， 由等比数列求和公式可得， 解得，则， 即第二天走了里. 故答案为：. 16．若直线过抛物线的焦点，则的值是 . 【答案】 【分析】先判断焦点在轴上,再根据直线的方程求出与轴的交点坐标易得答案. 【详解】因为,所以焦点在轴上, 因为,当时,, 所以焦点坐标为, 所以. 故答案为:. 17．如图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态．如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体．圆锥的高，圆锥与半球的半径，则组合体的表面积为 ．    【答案】 【分析】利用圆锥和球体表面积公式，计算可得答案. 【详解】依题意，圆锥的高，圆锥与半球的半径， 所以圆锥母线，得到圆锥侧面积， 半球表面积， 所以组合体的表面积， 故答案为：. 18．若，则 【答案】0 【分析】根据二项式系数和令和即可求解. 【详解】， 令可得， 令可得：， . 故答案为：0. 三、解答题（每小题8分，共24分） 19．已知函数，且. (1)求的值. (2)判定的奇偶性. 【答案】(1). (2)奇函数. 【分析】（）由列出方程即可得解. （）求出函数定义域，利用奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）∵. ∴. （2）因为. 则定义域为. ∵. ∴为定义在上的奇函数. 20．已知的内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若是边上的一点，且的面积为8，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的性质结合正弦定理即可求解. （2）根据三角形的面积公式结合已知条件列式可得，再根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理，得． （2）在中，， 即，解得， 由余弦定理，得 ， 所以． 21．已知直线与两坐标轴的交点为和，求： (1)该直线的方程； (2)以点为圆心、以线段为半径的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点求直线斜率，再用点斜式求直线的方程； （2）根据圆心坐标和半径求圆的方程. 【详解】（1）设直线方程为 ， 因为直线过 和， 将代入方程得 ， 将代入方程得， 把代入得，解得， 所以直线方程为. （2）已知，， 则， 所以以为圆心， 为半径的圆的方程为： ，即. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22．如图所示，已知在中，为斜边的中点，为所在平面外一点，.求证：平面平面. 【答案】证明见详解 【分析】由线面垂直定理与面面垂直定理即可得解. 【详解】因为. 所以. 又因为. 所以. 又因为. 所以. 所以. 因为且平面,平面. 所以平面. 又因为平面. 所以平面平面. 23．在数列中，，且对于任意正整数n都有，求证：数列是等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】先将可化为，再根据等差数列的性质，即可证明. 【详解】因为数列中，，且， 所以， 即可化为， 又，即数列是首项为1，公差为的等差数列. 五、综合题（共10分） 24．已知点、，向量，． (1)若，求与夹角的余弦值； (2)若向量与平行，求实数的值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求出的坐标，进而由求出，再由向量夹角的坐标表示求出向量的夹角即可； （2）先求出向量与的坐标，再由向量平行的坐标运算求出k的值即可. 【详解】（1）由已知可得， 则， 所以； （2）因为，， 向量与平行，故， 解得. 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