2.5.1直线与圆的位置关系（1） 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系 第 1 课时　直线与圆的位置关系 【学习目标】1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题. 【学习重难点】重点：判断直线与圆的三种位置关系. 难点：直线位置关系的简单应用. 【知识梳理】 1．直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有 公共点 相切 只有 公共点 相离 公共点 2.直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _____ _____ _____ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元， 计算一元二次方程的判别式 __ __ __ 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　 ) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(　 ) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　 ) (4)过圆外一点的直线与圆相离．(　 ) 2．若直线与圆相离，则点与圆的位置关系为(　 ) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 3．已知圆与直线相切，则＝(　 ) A． B． C． D． 【典例分析】 例1、已知直线方程，圆的方程.当为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 变式、已知圆，是过点的直线，则(　　) A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上三个选项均有可能 例2、求直线被圆截得的弦长．（代数法、几何法） 变式、已知直线与交于两点，写出满足“面积为”的的一个值____________． 例3、已知点，圆.求过点的圆的切线方程． 变式、由直线上任一点向圆引切线，则该切线长的最小值为(　　) A． B． C. D． 【当堂训练】 1.已知圆，过点向圆作切线，切点为，则＝(　 ) A. B. C. D． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1　直线与圆的位置关系 第 1 课时　直线与圆的位置关系 【学习目标】 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题. 【学习重难点】重点：判断直线与圆的三种位置关系. 难点：直线位置关系的简单应用. 【知识梳理】 1．直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _____ _____ _____ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d____r d___r d____r 代数法：由 消元，计算一元二次方程的判别式Δ Δ____0 Δ___0 Δ___0 【概念辨析】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　 ) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(　 ) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　 ) (4)过圆外一点的直线与圆相离．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆O的位置关系为(　 ) A．点P在圆O内 B．点P在圆O上 C．点P在圆O外 D．无法确定 解析：选A　由题设O(0,0)与直线ax＋by＝1的距离d＝>1，即a2＋b2<1，所以点P(a，b)在圆O内． 3．已知圆C：x2＋y2＝25与直线l：3x－4y＋m＝0(m>0)相切，则m＝(　 ) A．15 B．5 C．20 D．25 解析：选D　易知C的圆心为原点O，设O到直线l的距离为d，因为圆C与直线l相切，则d＝＝5，解得m＝25. 【典例分析】 例1、已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解　方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝ . (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 变式、已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　) A．l与圆C相交 B．l与圆C相切 C．l与圆C相离 D．以上三个选项均有可能 答案　A 解析　将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3,0)在圆内． ∴过点P的直线l必与圆C相交． 例2、求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． 解：法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解，解得所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)，所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|＝＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2＝2＝2. 变式、已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值____________． 解析：设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1,0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.由S△ABC＝，得××＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±. 答案：2 例3、已知点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.求过点M的圆C的切线方程． 解：由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2. ∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部． 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0. 又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，∴直线x＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0， 则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝. ∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. 变式、由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 答案　C 解析　圆心C(3,0)到直线y＝x＋1的距离 d＝＝2. 所以切线长的最小值为l＝＝. 【当堂训练】 1.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，过点A(－2，－1)向圆C作切线，切点为B，则|AB|＝(　 ) A. B. C. D．3 解析：选C　圆(x－1)2＋(y＋2)2＝4的圆心C(1，－2)，半径r＝2，又A(－2，－1)，则|AC|＝＝，则|AB|＝＝＝. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $