第5卷 函数的应用（教师讲解卷）浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》

编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第5卷 函数的应用 （教师讲解卷） 【概念回顾】 知识点1 分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。 判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。 知识点2 二次函数的图像与性质 1．二次函数的定义 一般地，函数y＝a＋bx＋c(a≠0)叫作二次函数，它的定义域是R，它的图像是一条抛物线． 2．二次函数 的性质： 图象 定义域 R R 对称轴 顶点坐标 值域 单调区间 减区间 增区间 增区间 减区间 最值 时 时 奇偶性 当 时二次函数是偶函数 3.二次函数 图象的相关性质： (1)与x轴的交点个数，如上图： 图象与x轴有2个交点； 图象与x轴有1个交点； ，图象与x轴没有交点. 【真题精讲】 1.（2025年浙江）已知函数，若有实数，当时，其值域为，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的对称轴和开口方向得到其单调性，再由时的值域，得到，进而得到方程有两个且大于1的实根m和n，由得到，设，分析的性质得到，得到，即可解得. 【详解】函数，可知抛物线开口向上，对称轴为， 所以二次函数在上单调递增， 又当时，其值域为， 得，即， 所以方程有两个且大于1的实根m和n，， 即，解得， 设，开口向上，对称轴为，则， 当时，函数单调递减， 所以当时，，，解得， 综上，. 故选：C 2. （2025年浙江）在一抛物实验中，物体从平台抛出，高度传感器记录了物体在某时刻t（单位：秒）时离地面的高度数据，记实际数据为；若不考虑空气阻力因素，根据物理理论计算得到理论，高度数据为，部分数据如下： t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 3.9 51 52.79 52.18 49.17 43.76 35.95 25.74 13.13 51 52.775 52.1 48.975 43.4 35.375 24.9 11.975 （1）若在35.5米高处安装了警报器，当物体到达该高度时警报器会响. 问：在时刻，警报器是否会响，请说明理由； （2）记，若满足二次函数规律，设，请根据表中数据，求a，b，c值； （3）根据（2）中的条件，判断物体在时，是否已落地，请说明理由. 【答案】（1）不会响，理由见解析 （2），， （3）没有落地，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格结合题意即可求解. （2）根据待定系数法即可求解. （3）根据把代入二次函数，结合题意即可求解. 【小问1详解】 由题意得，在时，，∵，∴警报器不会响. 【小问2详解】 由题意得，， 则解得，，. 【小问3详解】 由（2）得，， 则， ∴ ∴物体在时，没有落地. 3.（2024年浙江）随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣.已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成.假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程与时间的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（ ） A. 6.125km B. 11.2km C. 8.3km D. 10.475km 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像分析求解即可. 【详解】根据已知的函数图像可知，前2h的路程为， 因为2h到5h为一次函数，又因为， 所以路程为， 所以总路程为. 故选：C. 4.（2023年浙江）某公司甲为提高员工的综合素质，聘请专业机构乙对员工进行上岗前专业技术和职业素养培训．培训机构乙在对公司甲每位员工进行培训时，要向公司甲收取相关的培训费，培训机构乙按以下方案和公司甲进行培训费用结算： ①若公司甲参加培训的人员总人数不超过30人，则每人的培训费用为840元； ②若公司甲参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每个人的培训费就相应减少10元，但参加培训的员工人数最多为70人．若公司甲参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元． （1）写出y与之间的函数关系式； （2）若培训机构乙的培训总成本固定为12000元，设培训机构乙的利润为Q，如果公司甲能够参加培训的人数在40~70人之间，则当公司甲参加培训的员工有多少人时，培训机构乙可获得最大利润？最大利润是多少． 【答案】（1） （2）57人，最大利润为20490元 【解析】 【分析】（1）根据题意分段解答; （2）根据利润=单价×数量列出函数，再根据二次函数性质找到最值. 【小问1详解】 由题意可得: 即: 【小问2详解】 由题意可得: 即 ∵ ∴ ∴当人时， 元 答：当培训人数为57人时，培训机构利润最大，最大利润为20490元 【举一反三】 1.（2021年浙江）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上满足二次函数关系，下表记录了三次实验的数据： 加工时间 … 2 3 4 … 可食用率 … 0.28 0.82 0.96 … （1）求可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上的二次函数关系式； （2）若不考虑其它因素，求爆米花可食用率最高时的加工时间. 【答案】（1） （2）3.85 【解析】 【分析】（1）根据关系二次函数，将实验数据代入求解即可. （2）根据（1）求出的函数式，求解对称轴即可求解最佳加工时间即可. 【小问1详解】 设u为可食用率，t为加工时间，设 由已知得：，得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以当时，u有最大值，即最佳加工时间为3.85分钟. 2.（2022年浙江）在2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，已知某运动员从起跳点开始，直到落在雪坡上为止，在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）符合二次函数关系．如图所示，以这个运动员起跳点为坐标原点O，建立平直角坐标系（单位：米）．点A为二次函数图像与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BC垂直于x轴，测得相关数据如下：米，米．． 求： （1）落地点B的坐标； （2）高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式； （3）该运动员飞行到最高点时的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）已知的横坐标，根据几何关系求的纵坐标. （2）由题意可知原点，点和点在二次函数图像上，由三点即可解出二次函数解析式. （3）根据二次函数图像即可求出最高点坐标. 【小问1详解】 因为米，米，所以米， 又因为， 所以， 故点B的坐标为． 【小问2详解】 设所求二次函数的解析式为， 因为此函数图像经过点，点和点， 所以，解得． 所以，所求二次函数的解析式为. 【小问3详解】 因为， 所以，当时，． 该运动员飞行到最高点的坐标为． 3.（2024年浙江）设函数，则满足的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数分别代入两个解析式求出的值，保留属于所给区间的值即可. 【详解】若，则，，所以符合条件； 若，则，则，所以符合条件； 综上满足的值为； 故答案为：. 4.（2024年浙江）某药物进入动物体内一段时间后进行实时监测，药物在血液中的浓度与时间的监测数据如下表： 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 N 0.84 0.88 0.92 0.98 … … 0.92 0.82 … 0.58 0.46 （1）观察数据，比较和这两个时间段，哪个时间段的药物浓度平均增速快； （2）当时，是关于的一次函数，求； （3）当时，是关于的二次函数，且，求为多少时药物浓度达到最高，并求出最高值. 【答案】（1）时段的药物浓度平均增速快 （2） （3）时，药物浓度最高数值为1 【解析】 【分析】（1）根据图表计算出和的增速比较大小即可. （2）根据血液浓度平均增长求解即可.. （3）根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 在时段的药物浓度平均增速快. 【小问2详解】 因为时，是关于的一次函数， 所以时，血液中的浓度平均增长， 所以. 【小问3详解】 因为， ， 当时，药物浓度最高数值为1. 考点02函数的性质 1.（2025年浙江）函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两个函数图象关于x轴对称，则它们的单调区间相反，据此即可求解． 【详解】∵函数的图象与函数的图象关于x轴对称， ∴函数的单调递增区间为函数的单调递减区间， 故选：C． 2.（2024年浙江）函数的图像如图所示，下列区间中函数与均为单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图像，分别写出函数与的单调增区间，即可求解. 【详解】由图可知函数的单调增区间为，； 如图，因为，所以只需将在轴下方的图像翻折到轴上方即可， 由图可知的单调增区间为，，，； 综上函数与均为单调递增的是，； 结合选项单调递增区间为； 故选：B. 3.（2023年浙江）下列函数在其定义域上满足，随着的增大，一直增大的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，二次函数，正弦函数的单调性逐项分析即可. 【详解】指数函数底数为，在定义域上为减函数，故A错误， 指数函数底数为，在定义域上为增函数，故B正确， 二次函数对称轴为，开口向下， 当时为增函数，当时为减函数，故C错误， ，当时，即时为增函数， 当时，即时为减函数，故D错误， 故选：B. 【举一反三】 1.（2022年浙江）函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得当时，函数取最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号. 综上可得，函数的最小值为2. 故选：. 2.（2022年浙江）已知二次函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数最值得到函数对称轴及单调性，再根据对称轴找与相等的函数值，根据单调性判断大小即可. 【详解】因为二次函数的最小值为， 所以二次函数开口向上，且对称轴为， 则， 且在上单调递减，在上单调递增， 则由可得：， 即. 故选：B. 3.（2021年浙江）下列函数图像经过第一、二、三、四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像和性质可判断. 【详解】对A选项，由可知，函数的顶点坐标为，对称轴为，函数图像开口向下. 令，可得或，即与轴交于点和. 所以函数的简图如下： 由图可知，函数图像经过第一、三、四象限，故错误； 对B选项，由可知，函数的顶点坐标为，对称轴为，函数图像开口向下. 令，可得或，即与轴交于点和， 所以函数的简图如下： 由图可知，函数图像经过第一、二、三、四象限，故正确； 对C选项，由于，且函数图像开口向上，所以函数图像位于轴的上方，不符合题意； 对D选项，由于，且函数图像开口向上，所以图像位于轴的上方，不符合题意； 故选：B 4.（2021年浙江）函数的图像关于直线对称，对称轴左边部分图像如图，则在区间（ ）上单调递减. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据图像对称的性质，找出已知图像单调递增区间，关于对称轴对称区间即为单调递减区间. 【详解】由图像可知，函数在区间上单调递增，且关于直线的对称区间为, 依据函数图像对称的性质，函数在区间上单调递减. 故选：C. 【拓展提升】 一、单选题 1．已知，是两个不同的实数，则下列函数在上满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由可得在R上严格单调递增.分别依据指数函数、二次函数、对数函数以及一次函数的性质即可判断其在R上的单调性，即可得解. 【详解】由可得在R上单调递增. A.为指数函数，由于，所以在R上单调递减，A错误； B.依据二次函数的性质，开口向上，对称轴方程为，所以在上单调递减，在上单调递增，B错误； C.依据对数函数的性质，的定义域为，C错误； D.当时，为二次函数，开口向下，对称轴为直线，所以在上单调递增，且， 当时，为一次函数，，所以在上单调递增且，所以在R上单调递增，D正确. 故选：D. 2．函数在区间为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合一次函数和二次函数的单调性即可得解. 【详解】当时，，满足在区间为减函数； 当时，由于的图象的对称轴为， 且函数在区间为减函数， 则，解得. 综上可得，. 故选：C. 二、解答题 3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品百台，其总成本为万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律回答以下问题. (1)要使工厂有盈利，应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？ 【答案】(1) (2)工厂生产400台产品时盈利最大，此时每台产品的售价为240（元/台）. 【分析】（1）依题意表示出利润函数，要使工厂有盈利，即不等式即可. （2）利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）由题意， 设利润为，则， 要使工厂有盈利，即 当时，解不等式， 解得，所以， 当时，解不等式，解得， 所以. 综上所述：要使工厂盈利，x应满足. （2）当时，， 故当时，有最大值3.6； 当时，， 所以当工厂生产400台时，盈利最多， 又时，（万元/百台）（元/台）. 故此时每台产品的售价为240（元/台）. 4．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据分段函数的性质，从内而外依次计算. （2）先根据括号内的范围选择对应法则，再根据不等式求m的取值范围. 【详解】（1）∵, ∴, ∵, ∴. 故. （2）∵， ∴， ∴即， ∴， 解得， 故m的取值范围为 5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，水价包括自来水价格和污水处理价格，即水价为两者价格之和.计费方法如下表: 每户月用水量 自来水价格 污水处理价格 不超过12吨的部分 2元/吨 1元/吨 超过12吨但不超过18吨的部分 5元/吨 超过18吨的部分 8元/吨 (1)若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月的用水量是多少? (2)试建立居民交纳水费y（单位:元）关于居民用水量x（单位:吨）的函数解析式. 【答案】(1)14吨 (2) 【分析】（1）根据题意，先求得用水量为12吨和18吨时应交的水费，易得此户居民本月的用水量在超过12吨但不足18吨，继而求得用水量； （2）根据题意，结合分段函数的概念和应用，分别求出，和时对应的函数解析式，继而求解. 【详解】（1）由题意，用水12吨时，水费为 (元)； 用水18吨时，水费为 (元)， 因此交纳的水费为48元时，用水量超过12吨但不足18吨， 用水量为 (吨)， 即此户居民本月的用水量是14吨； （2）由题意，易得当时，； 当时，； 当时，； 所以水费y关于居民用水量x的函数解析式为. 6．某城市夜间景观照明中，一盏装饰灯的亮度L（单位：）关于开启时间t（单位：）在区间内呈现二次函数关系．技术人员记录的六次测试数据如下： 开启时间 1 2 3 4 5 6 亮度 120 215 280 200 320 295 (1)技术人员发现，数据中有1对开启时间与亮度的数据错误，请根据数据变化规律，指出错误的数据； (2)根据正确的数据，求灯光亮度L关于开启时间t的二次函数关系式； (3)求开启时间为时的灯光亮度，及灯光亮度达到峰值时的开启时间． 【答案】(1) (2) (3)开启时间为时的灯光亮度为；灯光亮度达到峰值时的开启时间为 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的单调性，即可判断求解； （2）根据题意，设出函数解析式，利用待定系数法，即可求解； （3）根据题意，结合函数解析式，将代入，即可求得开启时间为时的灯光亮度，结合二次函数求最值，利用配方法，即可求解. 【详解】（1）观察数据可知，在二次函数中，若函数图像开口向下，函数先递增后递减， 从到，亮度逐渐增加，从到，亮度逐渐减小， 因为时的数据不符合这个“递增-递减”的趋势， 所以错误的数据是. （2）由题意，设二次函数关系式为，， 将数据代入函数解析式得， 消元化简得，两式相减得，解得， 所以， 所以函数关系式为； （3）由（2）知， 所以当时，， 即开启时间为时的灯光亮度为； 因为， 所以当时，函数取得最大值，即， 即灯光亮度达到峰值时的开启时间为. 7．“好风凭借力，送我上青天”这句古诗描绘了放风筝的美妙情境．现有一种风筝的设计，其骨架搭建形状如图1所示，箏面可以抽象为图2中的四边形，其中，，风筝的骨架由3条竹棒AC，BD，EF组成，点E，F分别是CB和CD的中点．现将一根总长为120cm的竹棒截成三段做风筝的骨架．设骨架BD的长度为，箏面的面积为． (1)求S关于x的函数关系式； (2)当骨架BD长度取何值时，风筝筝面的面积最大，最大面积是多少？ (3)在图3中画出S关于x的函数图象． 【答案】(1) (2)，最大面积是． (3)答案见解析 【分析】（1）利用三角形面积公式求解析式即可； （2）化简二次函数利用配方式求最值即可； （3）利用二次函数的图像作图即可. 【详解】（1），，， ，，是的垂直平分线， ． （2）因为 ， 当时，． 即当骨架时，风筝的筝面的面积最大，最大面积是． （3）由解析式与可知， 其为二次函数，且过，，， 又因为其定义域为， 则图像为， 8．教练对小悦推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数解析式为. (1)如图所示，求点的坐标，并指出它表示的实际意义； (2)小悦第一次推铅球对应的抛物线如图所示，其中，当铅球行进的水平距离为时，铅球行进的高度为，求铅球推出的距离的长； (3)小悦第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求第二次铅球行进的最大高度. 【答案】(1)，它表示的实际意义是铅球被推出时的初始高度为 (2) (3) 【分析】（1）令，求点的坐标即可. （2）依题意得到，再代入抛物线经过点，求得参数，再令，求解距离的长. （3）依题意得到，再代入抛物线经过点，求得参数，再根据二次函数的最值求解. 【详解】（1）因为铅球行进的高度与水平距离之间的函数解析式为， 令，则，点的坐标为， 它表示的实际意义是铅球被推出时的初始高度为. （2）由题意得， 又抛物线经过点， ，解得， ， 当时，， 解得，（舍去）， 铅球推出的距离的长为. （3）依题意， 又第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，即抛物线经过点， 所以，解得， ， 当时，， 即第二次铅球行进的最大高度为. 9．一位运动员从球台边缘正上方，以击球高度为的高度向正前方击球，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．记球到球台的竖直高度为，运行的水平距离为，建立如图直角坐标系，并测得如下数据： 水平距离x/cm 0 30 90 150 竖直高度y/cm 28.75 40 49 40 (1)当乒乓球到达最高点时，乒乓球与球台之间的垂直距离是________cm，此时乒乓球到y轴的水平距离是________cm； (2)求满足条件的抛物线解析式（不求定义域）； (3)当乒乓球落在对面球台上点E时，已知此时球到球网的水平距离为，请求出该乒乓球球台的长度． 【答案】(1)49，90 (2) (3) 【分析】（1）分析图表可求出抛物线的对称轴，进而求解； （2）设出顶点式方程，将点代入即可求解； （3）先求出点E横坐标，再利用球网在球台的中间位置列式进而求解. 【详解】（1）已知抛物线具有对称性，点和点纵坐标相同， 则抛物线的对称轴为， 所以乒乓球到达最高点时，到y轴的水平距离是， 从表格中可知，当时，， 所以乒乓球与球台之间的垂直距离是； （2）由（1）可知，抛物线的顶点坐标为 设抛物线的解析式为， 把代入，得,故， 所以抛物线方程为：； （3）已知抛物线方程， 当时，或， x代表水平距离，所以舍，所以点E的坐标为， 球网在球台的中间位置，且水平距离为， 则， 所以该乒乓球球台的长度为. 10．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在某一条件下，每条（尾）鱼的平均生长速度v[单位：千克/（年·条）]是养殖密度x（单位：条/立方米）的函数.当x不超过4条/立方米时，v的值为2千克/（年·条）；当时，v是x的一次函数；当x达到20条/立方米及以上时，因缺氧等原因，v的值为0千克/（年·条）. (1)求v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，每立方米的“活水围网”空间里，鱼的年生长量[单位：千克/（年·立方米）]可以达到最大？并求出最大值. 【答案】(1). (2)条/立方米，最大值为. 【分析】（1））根据题意，分，与三种情况，得到函数解析式； （2）在（1）的基础上，结合函数单调性得到最值，比较后求出最大值. 【详解】（1）由题意可知， 当且时，千克/（年·条）； 当且时，设， 因为，解得 ∴； 当且时，千克/（年·条）. 综上所述，v关于x的函数解析式为. （2）设每立方米的“活水围网”空间里，鱼的年生长量为y[单位：千克/（年·立方米）]， 则， 所以当且时，； 当且时，， 所以当时，； 当且，； 因为， 所以当养殖密度条/立方米时，每立方米的“活水围网”空间里，鱼的年生长量达到最大，最大值为. 11．小云家开了一家小饰品店，经营一些手饰和生活小用品．店里经常从外面市场批发一种工艺品，进货价格为21元／件.经营了一段时间发现，每日的销售量（件）与日销售价（元／件）满足一次函数关系，且它们的关系如表格数据所示（下表为其中4天的数据）： 日销售价（元／件） 25 30 35 40 日销售量（件） 50 45 40 35 (1)求日销售量与日销售价的函数关系式（利润要大于0，且）； (2)当销售价为多少时，有最大日利润？最大日利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售价为元／件时，日利润最大为元 【分析】（）根据题意设出一次函数解析式，将，代入解析式中即可得解. （）设出日利润为，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）根据题意设，将，代入解析式中得， ，解得， 所以. （2）设日利润为元， 则，为二次函数，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为， 则当元／件时，日利润最大为元， 所以当销售价为元／件时，日利润最大为元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第5卷 函数的应用 （教师讲解卷） 【概念回顾】 知识点1 分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。 判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。 知识点2 二次函数的图像与性质 1．二次函数的定义 一般地，函数y＝a＋bx＋c(a≠0)叫作二次函数，它的定义域是R，它的图像是一条抛物线． 2．二次函数 的性质： 图象 定义域 R R 对称轴 顶点坐标 值域 单调区间 减区间 增区间 增区间 减区间 最值 时 时 奇偶性 当 时二次函数是偶函数 3.二次函数 图象的相关性质： (1)与x轴的交点个数，如上图： 图象与x轴有2个交点； 图象与x轴有1个交点； ，图象与x轴没有交点. 【真题精讲】 1.（2025年浙江）已知函数，若有实数，当时，其值域为，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的对称轴和开口方向得到其单调性，再由时的值域，得到，进而得到方程有两个且大于1的实根m和n，由得到，设，分析的性质得到，得到，即可解得. 【详解】函数，可知抛物线开口向上，对称轴为， 所以二次函数在上单调递增， 又当时，其值域为， 得，即， 所以方程有两个且大于1的实根m和n，， 即，解得， 设，开口向上，对称轴为，则， 当时，函数单调递减， 所以当时，，，解得， 综上，. 故选：C 2. （2025年浙江）在一抛物实验中，物体从平台抛出，高度传感器记录了物体在某时刻t（单位：秒）时离地面的高度数据，记实际数据为；若不考虑空气阻力因素，根据物理理论计算得到理论，高度数据为，部分数据如下： t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 3.9 51 52.79 52.18 49.17 43.76 35.95 25.74 13.13 51 52.775 52.1 48.975 43.4 35.375 24.9 11.975 （1）若在35.5米高处安装了警报器，当物体到达该高度时警报器会响. 问：在时刻，警报器是否会响，请说明理由； （2）记，若满足二次函数规律，设，请根据表中数据，求a，b，c值； （3）根据（2）中的条件，判断物体在时，是否已落地，请说明理由. 【答案】（1）不会响，理由见解析 （2），， （3）没有落地，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格结合题意即可求解. （2）根据待定系数法即可求解. （3）根据把代入二次函数，结合题意即可求解. 【小问1详解】 由题意得，在时，，∵，∴警报器不会响. 【小问2详解】 由题意得，， 则解得，，. 【小问3详解】 由（2）得，， 则， ∴ ∴物体在时，没有落地. 3.（2024年浙江）随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣.已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成.假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程与时间的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（ ） A. 6.125km B. 11.2km C. 8.3km D. 10.475km 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像分析求解即可. 【详解】根据已知的函数图像可知，前2h的路程为， 因为2h到5h为一次函数，又因为， 所以路程为， 所以总路程为. 故选：C. 4.（2023年浙江）某公司甲为提高员工的综合素质，聘请专业机构乙对员工进行上岗前专业技术和职业素养培训．培训机构乙在对公司甲每位员工进行培训时，要向公司甲收取相关的培训费，培训机构乙按以下方案和公司甲进行培训费用结算： ①若公司甲参加培训的人员总人数不超过30人，则每人的培训费用为840元； ②若公司甲参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每个人的培训费就相应减少10元，但参加培训的员工人数最多为70人．若公司甲参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元． （1）写出y与之间的函数关系式； （2）若培训机构乙的培训总成本固定为12000元，设培训机构乙的利润为Q，如果公司甲能够参加培训的人数在40~70人之间，则当公司甲参加培训的员工有多少人时，培训机构乙可获得最大利润？最大利润是多少． 【答案】（1） （2）57人，最大利润为20490元 【解析】 【分析】（1）根据题意分段解答; （2）根据利润=单价×数量列出函数，再根据二次函数性质找到最值. 【小问1详解】 由题意可得: 即: 【小问2详解】 由题意可得: 即 ∵ ∴ ∴当人时， 元 答：当培训人数为57人时，培训机构利润最大，最大利润为20490元 【举一反三】 1.（2021年浙江）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上满足二次函数关系，下表记录了三次实验的数据： 加工时间 … 2 3 4 … 可食用率 … 0.28 0.82 0.96 … （1）求可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上的二次函数关系式； （2）若不考虑其它因素，求爆米花可食用率最高时的加工时间. 【答案】（1） （2）3.85 【解析】 【分析】（1）根据关系二次函数，将实验数据代入求解即可. （2）根据（1）求出的函数式，求解对称轴即可求解最佳加工时间即可. 【小问1详解】 设u为可食用率，t为加工时间，设 由已知得：，得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以当时，u有最大值，即最佳加工时间为3.85分钟. 2.（2022年浙江）在2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，已知某运动员从起跳点开始，直到落在雪坡上为止，在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）符合二次函数关系．如图所示，以这个运动员起跳点为坐标原点O，建立平直角坐标系（单位：米）．点A为二次函数图像与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BC垂直于x轴，测得相关数据如下：米，米．． 求： （1）落地点B的坐标； （2）高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式； （3）该运动员飞行到最高点时的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）已知的横坐标，根据几何关系求的纵坐标. （2）由题意可知原点，点和点在二次函数图像上，由三点即可解出二次函数解析式. （3）根据二次函数图像即可求出最高点坐标. 【小问1详解】 因为米，米，所以米， 又因为， 所以， 故点B的坐标为． 【小问2详解】 设所求二次函数的解析式为， 因为此函数图像经过点，点和点， 所以，解得． 所以，所求二次函数的解析式为. 【小问3详解】 因为， 所以，当时，． 该运动员飞行到最高点的坐标为． 3.（2024年浙江）设函数，则满足的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数分别代入两个解析式求出的值，保留属于所给区间的值即可. 【详解】若，则，，所以符合条件； 若，则，则，所以符合条件； 综上满足的值为； 故答案为：. 4.（2024年浙江）某药物进入动物体内一段时间后进行实时监测，药物在血液中的浓度与时间的监测数据如下表： 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 N 0.84 0.88 0.92 0.98 … … 0.92 0.82 … 0.58 0.46 （1）观察数据，比较和这两个时间段，哪个时间段的药物浓度平均增速快； （2）当时，是关于的一次函数，求； （3）当时，是关于的二次函数，且，求为多少时药物浓度达到最高，并求出最高值. 【答案】（1）时段的药物浓度平均增速快 （2） （3）时，药物浓度最高数值为1 【解析】 【分析】（1）根据图表计算出和的增速比较大小即可. （2）根据血液浓度平均增长求解即可.. （3）根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 在时段的药物浓度平均增速快. 【小问2详解】 因为时，是关于的一次函数， 所以时，血液中的浓度平均增长， 所以. 【小问3详解】 因为， ， 当时，药物浓度最高数值为1. 考点02函数的性质 1.（2025年浙江）函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两个函数图象关于x轴对称，则它们的单调区间相反，据此即可求解． 【详解】∵函数的图象与函数的图象关于x轴对称， ∴函数的单调递增区间为函数的单调递减区间， 故选：C． 2.（2024年浙江）函数的图像如图所示，下列区间中函数与均为单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图像，分别写出函数与的单调增区间，即可求解. 【详解】由图可知函数的单调增区间为，； 如图，因为，所以只需将在轴下方的图像翻折到轴上方即可， 由图可知的单调增区间为，，，； 综上函数与均为单调递增的是，； 结合选项单调递增区间为； 故选：B. 3.（2023年浙江）下列函数在其定义域上满足，随着的增大，一直增大的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，二次函数，正弦函数的单调性逐项分析即可. 【详解】指数函数底数为，在定义域上为减函数，故A错误， 指数函数底数为，在定义域上为增函数，故B正确， 二次函数对称轴为，开口向下， 当时为增函数，当时为减函数，故C错误， ，当时，即时为增函数， 当时，即时为减函数，故D错误， 故选：B. 【举一反三】 1.（2022年浙江）函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.（2022年浙江）已知二次函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 3.（2021年浙江）下列函数图像经过第一、二、三、四象限的是（ ） A. B. C. D. 4.（2021年浙江）函数的图像关于直线对称，对称轴左边部分图像如图，则在区间（ ）上单调递减. A. B. C. D. 【拓展提升】 一、单选题 1．已知，是两个不同的实数，则下列函数在上满足的是（    ） A． B． C． D． 2．函数在区间为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品百台，其总成本为万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律回答以下问题. (1)要使工厂有盈利，应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？ 4．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数m的取值范围． 5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，水价包括自来水价格和污水处理价格，即水价为两者价格之和.计费方法如下表: 每户月用水量 自来水价格 污水处理价格 不超过12吨的部分 2元/吨 1元/吨 超过12吨但不超过18吨的部分 5元/吨 超过18吨的部分 8元/吨 (1)若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月的用水量是多少? (2)试建立居民交纳水费y（单位:元）关于居民用水量x（单位:吨）的函数解析式. 6．某城市夜间景观照明中，一盏装饰灯的亮度L（单位：）关于开启时间t（单位：）在区间内呈现二次函数关系．技术人员记录的六次测试数据如下： 开启时间 1 2 3 4 5 6 亮度 120 215 280 200 320 295 (1)技术人员发现，数据中有1对开启时间与亮度的数据错误，请根据数据变化规律，指出错误的数据； (2)根据正确的数据，求灯光亮度L关于开启时间t的二次函数关系式； (3)求开启时间为时的灯光亮度，及灯光亮度达到峰值时的开启时间． 7．“好风凭借力，送我上青天”这句古诗描绘了放风筝的美妙情境．现有一种风筝的设计，其骨架搭建形状如图1所示，箏面可以抽象为图2中的四边形，其中，，风筝的骨架由3条竹棒AC，BD，EF组成，点E，F分别是CB和CD的中点．现将一根总长为120cm的竹棒截成三段做风筝的骨架．设骨架BD的长度为，箏面的面积为． (1)求S关于x的函数关系式； (2)当骨架BD长度取何值时，风筝筝面的面积最大，最大面积是多少？ (3)在图3中画出S关于x的函数图象． 8．教练对小悦推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数解析式为. (1)如图所示，求点的坐标，并指出它表示的实际意义； (2)小悦第一次推铅球对应的抛物线如图所示，其中，当铅球行进的水平距离为时，铅球行进的高度为，求铅球推出的距离的长； (3)小悦第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求第二次铅球行进的最大高度. 9．一位运动员从球台边缘正上方，以击球高度为的高度向正前方击球，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．记球到球台的竖直高度为，运行的水平距离为，建立如图直角坐标系，并测得如下数据： 水平距离x/cm 0 30 90 150 竖直高度y/cm 28.75 40 49 40 (1)当乒乓球到达最高点时，乒乓球与球台之间的垂直距离是________cm，此时乒乓球到y轴的水平距离是________cm； (2)求满足条件的抛物线解析式（不求定义域）； (3)当乒乓球落在对面球台上点E时，已知此时球到球网的水平距离为，请求出该乒乓球球台的长度． 10．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在某一条件下，每条（尾）鱼的平均生长速度v[单位：千克/（年·条）]是养殖密度x（单位：条/立方米）的函数.当x不超过4条/立方米时，v的值为2千克/（年·条）；当时，v是x的一次函数；当x达到20条/立方米及以上时，因缺氧等原因，v的值为0千克/（年·条）. (1)求v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，每立方米的“活水围网”空间里，鱼的年生长量[单位：千克/（年·立方米）]可以达到最大？并求出最大值. 11．小云家开了一家小饰品店，经营一些手饰和生活小用品．店里经常从外面市场批发一种工艺品，进货价格为21元／件.经营了一段时间发现，每日的销售量（件）与日销售价（元／件）满足一次函数关系，且它们的关系如表格数据所示（下表为其中4天的数据）： 日销售价（元／件） 25 30 35 40 日销售量（件） 50 45 40 35 (1)求日销售量与日销售价的函数关系式（利润要大于0，且）； (2)当销售价为多少时，有最大日利润？最大日利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $