第4卷 函数的图像与性质（教师讲解卷）浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》

编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第4卷 函数的图像与性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、函数的概念 设集合A是一个非空实数集，对A内任意实数，按照某种对应法则f，有唯一确定的实数值y与它对应，则称这种对应关系为集合A上的一个函数，记作 二、函数的三要素 （一）定义域 1.求函数定义域的方法 ①含有分数时，分母不为零； ②含有零指数或负整数指数幂时，底数不为零； 如：中；中。 ③含有偶次根式时，被开方数大于等于0； 含有奇次根式时，定义域为R； 如：中；中。 ④含有对数时，真数大于0，若底数中含有未知数，底数大于零且不等于1； 如：中；中。 ⑤正弦函数、余弦函数的定义域是R， 正切函数的定义域是 ⑥函数是整式时，定义域一般为R； ⑦表示实际问题中的函数关系时，需满足实际意义。 （二）值域 1.求函数值域的方法 （1）基本初等函数的值域 ①一次函数 ②反比例函数 ③二次函数的值域 当时，值域为，当时，值域为 ④指数函数的值域为 ⑤对数函数的值域为R ⑥正弦函数、余弦函数的值域为： 正弦函数型函数的值域为： 正切函数的值域为R （2）利用函数的单调性 （3）利用函数的最值 （4）利用不等式的性质 （5）利用函数的变换 （三）对应法则：自变量x与因变量y之间的对应关系，称为函数的对应法则，用f表示，对应法则可能形式上不一样。 二、函数的表示 1.解析法 2.列表法 3.图象法 三、函数的性质 （一）单调性 1.判断函数单调性的方法 （1）定义法 在给定区间内任意取两个值，若，则称函数在这个区间上是增函数。 在给定区间内任意取两个值，若，则称函数在这个区间上是减函数。 （2）图象法 （二）奇偶性 1.函数奇偶性的判断方法 （1）定义法 若①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有， 则函数为奇函数。 若①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有， 则函数为偶函数。 （2）图象法 若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。 2.函数奇偶性的性质 （1）定义性质 若函数为奇函数，则①定义域关于原点对称；②对定义域A内的任意一个值，都有； 若函数为偶函数，则①定义域关于原点对称；②对定义域A内的任意一个值，都有。 （2）图象性质 奇函数图像关于原点对称。偶函数图像关于y轴对称。 四、基本初等函数 1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 方程的判别式 1. y 1. x1 x1 x2 1. x 1. y x1(x2) 1. x 1. o 1. y 1. x 1. o 二次函数 一元二次方程 有两个不等实根 x1、 x2 有一个实根 x1= x2 没有实根 一元二次不等式 R 一元二次不等式 R 一元二次不等式 一元二次不等式 【真题精讲】 考点01函数的概念及其表示 1. （2025年浙江）函数，的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：. 故选：B. 2. （2025年浙江）已知函数，则__________. 【答案】11 【解析】 【分析】将代入函数解析式求解即可. 【详解】∵函数， ∴. 故答案为：11. 3. （2024年浙江） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分母不为零，偶次根号下大于等于零，对数函数真数大于零可求. 【详解】要使函数有意义， 需满足，化简得 ，解得：； 则函数的定义域为； 故选：B. 4.（2023年浙江）若函数满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】令，即代入解析式中求解即可. 【详解】已知函数满足， 令，得， 所以， 故选：D. 5.（2023年浙江）函数的值域为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为,所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域为. 故选：C. 6.（2023年浙江）函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的图像和性质，即可求解. 【详解】对于，有. 故答案为：. 【举一反三】 1.（2022年浙江）函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式大于等于零即可求解. 【详解】因为， 所以函数的值域为. 故选：A 2.（2021年浙江）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数式中的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式的被开方数为非负数，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则 ，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 3.（2021年浙江）函数，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分，两种情况，由内到外计算，据此可求解. 【详解】①当时，， 所以， 解得或（舍去）； ②当时，， 所以，方程无实根. 综上所述，. 故答案为： 4．（2025年四川）．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根底数为非负，且分母不为零，即可解得. 【详解】要使函数有意义，则， 即，所以函数的定义域为. 故选：B 5（2024年四川）．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将二次函数配方，根据二次函数的性质可求解. 【详解】. 所以函数的值域为[6,+∞)， 故选：D. 考点02函数的性质 1.（2025年浙江）函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两个函数图象关于x轴对称，则它们的单调区间相反，据此即可求解． 【详解】∵函数的图象与函数的图象关于x轴对称， ∴函数的单调递增区间为函数的单调递减区间， 故选：C． 2.（2024年浙江）函数的图像如图所示，下列区间中函数与均为单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图像，分别写出函数与的单调增区间，即可求解. 【详解】由图可知函数的单调增区间为，； 如图，因为，所以只需将在轴下方的图像翻折到轴上方即可， 由图可知的单调增区间为，，，； 综上函数与均为单调递增的是，； 结合选项单调递增区间为； 故选：B. 3.（2023年浙江）下列函数在其定义域上满足，随着的增大，一直增大的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，二次函数，正弦函数的单调性逐项分析即可. 【详解】指数函数底数为，在定义域上为减函数，故A错误， 指数函数底数为，在定义域上为增函数，故B正确， 二次函数对称轴为，开口向下， 当时为增函数，当时为减函数，故C错误， ，当时，即时为增函数， 当时，即时为减函数，故D错误， 故选：B. 【举一反三】 1.（2022年浙江）函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得当时，函数取最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号. 综上可得，函数的最小值为2. 故选：. 2.（2022年浙江）已知二次函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数最值得到函数对称轴及单调性，再根据对称轴找与相等的函数值，根据单调性判断大小即可. 【详解】因为二次函数的最小值为， 所以二次函数开口向上，且对称轴为， 则， 且在上单调递减，在上单调递增， 则由可得：， 即. 故选：B. 3.（2021年浙江）下列函数图像经过第一、二、三、四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像和性质可判断. 【详解】对A选项，由可知，函数的顶点坐标为，对称轴为，函数图像开口向下. 令，可得或，即与轴交于点和. 所以函数的简图如下： 由图可知，函数图像经过第一、三、四象限，故错误； 对B选项，由可知，函数的顶点坐标为，对称轴为，函数图像开口向下. 令，可得或，即与轴交于点和， 所以函数的简图如下： 由图可知，函数图像经过第一、二、三、四象限，故正确； 对C选项，由于，且函数图像开口向上，所以函数图像位于轴的上方，不符合题意； 对D选项，由于，且函数图像开口向上，所以图像位于轴的上方，不符合题意； 故选：B 4.（2021年浙江）函数的图像关于直线对称，对称轴左边部分图像如图，则在区间（ ）上单调递减. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据图像对称的性质，找出已知图像单调递增区间，关于对称轴对称区间即为单调递减区间. 【详解】由图像可知，函数在区间上单调递增，且关于直线的对称区间为, 依据函数图像对称的性质，函数在区间上单调递减. 故选：C. 【拓展提升】 一、单选题 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式函数以及根式函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义，则，即， 解得或. 即函数的定义域是. 故选：D. 2．若函数为偶函数，则实数的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义即可求解． 【详解】函数为偶函数， 满足， ∴， ． 故选：C． 3．函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个函数图象关于x轴对称，则它们的单调区间相反，据此即可求解． 【详解】∵函数的图象与函数的图象关于x轴对称， ∴函数的单调递增区间为函数的单调递减区间， 故选：C． 4．下列函数中，在区间上为增函数的有（   ） ①；②；③；④． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用一次函数，二次函数，对数函数的单调性可判断. 【详解】，与轴平行，不存在单调性，①错误； 一次函数，斜率为在上为增函数，在区间上为增函数，②正确； 二次函数，开口向上，对称轴为，则在为增函数，③错误； 对数函数，，则其在区间上为增函数，④正确； 综上②④正确； 故选：C. 5．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数单调性求解即可. 【详解】因为函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且离更远， 则在上，， ， 则值域为. 故选：C. 6．下列函数中，满足“在其定义域上任取，都有”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义及一次函数 、二次函数、指数函数、对数函数的单调性即可得解. 【详解】函数在其定义域上任取，都有，所以函数在定义域内单调递增， 选项A，，定义域为，在定义域内为减函数，故不符合题意； 选项B，，定义域为，对称轴为，图像为开口向上的抛物线， 则函数在定义域内先单调递减，再单调递增，故不符合题意； 选项C，，定义域为，在定义域内单调递减，故不符合题意； 选项D，，定义域为，在定义域内单调递增，符合题意. 故选：D. 7．已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内该函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性得到，再根据得到，即可求解. 【详解】因为一次函数，随着的增大而减小， 所以函数在定义域内单调递减，故，排除CD项， 又，所以， 当时，，故A选项符合，B选项错误. 故选：A. 8．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的定义域和根号下大于等于零求解即可解得. 【详解】由题可得，，解得， 故选：C 9．函数，则（   ） A．8 B．5 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式求出即可得解. 【详解】函数，则， 所以， 故选：. 10．已知函数的图像与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数形结合，根据分段函数的图像，根据交点个数判断直线位置，确定的取值范围. 【详解】如图，根据这个分段函数图像， 当时，图像与直线有三个不同的交点. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：浙江省（单考单招）《数学真题同源卷》专辑，立足浙江省单独考试文化招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 浙江省单考单招《数学真题同源卷》 第4卷 函数的图像与性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、函数的概念 设集合A是一个非空实数集，对A内任意实数，按照某种对应法则f，有唯一确定的实数值y与它对应，则称这种对应关系为集合A上的一个函数，记作 二、函数的三要素 （一）定义域 1.求函数定义域的方法 ①含有分数时，分母不为零； ②含有零指数或负整数指数幂时，底数不为零； 如：中；中。 ③含有偶次根式时，被开方数大于等于0； 含有奇次根式时，定义域为R； 如：中；中。 ④含有对数时，真数大于0，若底数中含有未知数，底数大于零且不等于1； 如：中；中。 ⑤正弦函数、余弦函数的定义域是R， 正切函数的定义域是 ⑥函数是整式时，定义域一般为R； ⑦表示实际问题中的函数关系时，需满足实际意义。 （二）值域 1.求函数值域的方法 （1）基本初等函数的值域 ①一次函数 ②反比例函数 ③二次函数的值域 当时，值域为，当时，值域为 ④指数函数的值域为 ⑤对数函数的值域为R ⑥正弦函数、余弦函数的值域为： 正弦函数型函数的值域为： 正切函数的值域为R （2）利用函数的单调性 （3）利用函数的最值 （4）利用不等式的性质 （5）利用函数的变换 （三）对应法则：自变量x与因变量y之间的对应关系，称为函数的对应法则，用f表示，对应法则可能形式上不一样。 二、函数的表示 1.解析法 2.列表法 3.图象法 三、函数的性质 （一）单调性 1.判断函数单调性的方法 （1）定义法 在给定区间内任意取两个值，若，则称函数在这个区间上是增函数。 在给定区间内任意取两个值，若，则称函数在这个区间上是减函数。 （2）图象法 （二）奇偶性 1.函数奇偶性的判断方法 （1）定义法 若①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有， 则函数为奇函数。 若①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有， 则函数为偶函数。 （2）图象法 若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。 2.函数奇偶性的性质 （1）定义性质 若函数为奇函数，则①定义域关于原点对称；②对定义域A内的任意一个值，都有； 若函数为偶函数，则①定义域关于原点对称；②对定义域A内的任意一个值，都有。 （2）图象性质 奇函数图像关于原点对称。偶函数图像关于y轴对称。 四、基本初等函数 1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 方程的判别式 1. y 1. x1 x1 x2 1. x 1. y x1(x2) 1. x 1. o 1. y 1. x 1. o 二次函数 一元二次方程 有两个不等实根 x1、 x2 有一个实根 x1= x2 没有实根 一元二次不等式 R 一元二次不等式 R 一元二次不等式 一元二次不等式 【真题精讲】 考点01函数的概念及其表示 1. （2025年浙江）函数，的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：. 故选：B. 2. （2025年浙江）已知函数，则__________. 【答案】11 【解析】 【分析】将代入函数解析式求解即可. 【详解】∵函数， ∴. 故答案为：11. 3. （2024年浙江） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分母不为零，偶次根号下大于等于零，对数函数真数大于零可求. 【详解】要使函数有意义， 需满足，化简得 ，解得：； 则函数的定义域为； 故选：B. 4.（2023年浙江）若函数满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】令，即代入解析式中求解即可. 【详解】已知函数满足， 令，得， 所以， 故选：D. 5.（2023年浙江）函数的值域为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为,所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域为. 故选：C. 6.（2023年浙江）函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的图像和性质，即可求解. 【详解】对于，有. 故答案为：. 【举一反三】 1.（2022年浙江）函数的值域为（ ） A. B. C. D. 2.（2021年浙江）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3.（2021年浙江）函数，若，则______. 4．（2025年四川）．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5（2024年四川）．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点02函数的性质 1.（2025年浙江）函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两个函数图象关于x轴对称，则它们的单调区间相反，据此即可求解． 【详解】∵函数的图象与函数的图象关于x轴对称， ∴函数的单调递增区间为函数的单调递减区间， 故选：C． 2.（2024年浙江）函数的图像如图所示，下列区间中函数与均为单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图像，分别写出函数与的单调增区间，即可求解. 【详解】由图可知函数的单调增区间为，； 如图，因为，所以只需将在轴下方的图像翻折到轴上方即可， 由图可知的单调增区间为，，，； 综上函数与均为单调递增的是，； 结合选项单调递增区间为； 故选：B. 3.（2023年浙江）下列函数在其定义域上满足，随着的增大，一直增大的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，二次函数，正弦函数的单调性逐项分析即可. 【详解】指数函数底数为，在定义域上为减函数，故A错误， 指数函数底数为，在定义域上为增函数，故B正确， 二次函数对称轴为，开口向下， 当时为增函数，当时为减函数，故C错误， ，当时，即时为增函数， 当时，即时为减函数，故D错误， 故选：B. 【举一反三】 1.（2022年浙江）函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.（2022年浙江）已知二次函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 3.（2021年浙江）下列函数图像经过第一、二、三、四象限的是（ ） A. B. C. D. 4.（2021年浙江）函数的图像关于直线对称，对称轴左边部分图像如图，则在区间（ ）上单调递减. A. B. C. D. 【拓展提升】 一、单选题 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．若函数为偶函数，则实数的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2 3．函数的图象如图所示，若函数的图象与函数的图象关于x轴对称，则函数的单调递增区间为（    ）    A． B． C． D． 4．下列函数中，在区间上为增函数的有（   ） ①；②；③；④． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 5．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 6．下列函数中，满足“在其定义域上任取，都有”的是（   ） A． B． C． D． 7．已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内该函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 9．函数，则（   ） A．8 B．5 C．1 D．2 10．已知函数的图像与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $