6.1.1 两角和与差的余弦公式（课件）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

6.1.1 两角和与差的余弦公式 高教版（第三版）·拓展模块 第六单元 三角计算 学习目标 知识层面 理解两角和与差的余弦公式及其推导过程 能力层面 能够运用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数求值、化简与证明 核心素养层面 过公式的推导和应用，培养逻辑推理和数学运算的核心素养，感受数学的严谨性和实用性 教学流程 教学导入 知识讲授 学以致用 课堂练习 课堂小结 1 教学导入 教学导入 从古至今的三角函数 教学导入 从古至今的三角函数 三角函数的起源与古希腊天文学家的研究密切相关 希帕恰斯 公元前2世纪，制作世界上第一张弦表 托勒密 编写《天文学大成》，完善弦表 引入球面三角学的概念 教学导入 从天文学到数学公式 三角函数最初是为了解决天文学中的问题而产生的 两角和与差的余弦公式在这些早期研究成果的基础上发展而来 让我们一起走进奇妙的两角和与差的余弦公式！ 教学导入 储备知识 单位圆定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的圆就是单位圆. 坐标表示：对于任意角α，在单位圆上，角α的终边与单位圆的交点的坐标为 同角三角函数平方关系： 教学导入 储备知识 特殊角的正弦、余弦值 教学导入 观察与思考 诱导公式一 诱导公式三 其中. 观察这些公式可以发现，等式左边都是两个角的和(或差)的三角函数．其中第一个角是特殊角，第二个角是任意角． 如果这两个角都是任意角，那么它们的和(或差)的三角函数又是怎样的呢？ 教学导入 核心思考 任意角和与差的余弦，即 与角的正弦、余弦之间会有什么关系呢？ 教学导入 观察与猜想 我们设想的值与的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现? 显然 教学导入 早在公元2世纪，人们就推导出了两角和与差的余弦公式 两角和的余弦 两角差的余弦 随着时间的推移和研究的深入，现在数学中已很少使用公元2世纪的推导方法 2 知识讲授 P1 P2 P3 P4 知识讲授 如图所示, 设单位圆与x轴的交点为P1, 角和的终边与单位圆的交点分别为P2、P3和P4, 1 找出终边与单位圆的交点坐标 公式推导 终边 终边 终边 知识讲授 如图所示, 设单位圆与x轴的交点为P1, 角和的终边与单位圆的交点分别为P2、P3和P4, 2 三角形全等证明 公式推导 终边 终边 终边 当P2、O、P3不在同一直线上时 ∠P2OP3=∠P4OP1=, 且|OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|=1 因此 △P2OP3△P1OP4 知识讲授 如图所示, 设单位圆与x轴的交点为P1, 角和的终边与单位圆的交点分别为P2、P3和P4, 2 三角形全等证明 公式推导 终边 终边 终边 △P2OP3△P1OP4 所以 | P2P3|=| P1P4| 当P2、O、P3在同一条直线上时, 容易看出也有 | P2P3|=| P1P4| 知识讲授 3 代入各点坐标计算 公式推导 终边 终边 终边 | P2P3|= | P1P4|= 如图| P2P3|=| P1P4| 两点间的距离公式 知识讲授 公式推导 左边² = = cos² β−2cosβcosα+cos²α+sin²β −2sinβsinα+sin²α = (cos²β+sin²β)+(cos²α+sin²α)−2cosβcosα −2sinβsinα 左边²=2−2cosβcosα−2sinβsinα 右边² =² = cos²−2cos+1+sin² = [cos²+sin²]−2cos+ 1 右边²=2−2cos(β−α) 知识讲授 公式推导 整理可得 2−2cosβcosα−2sinβsinα= 2−2cos(β−α) −2cosβcosα−2sinβsinα= −2cos(β−α) 2cos(β−α)= 2cosβcosα−2sinβsinα 知识讲授 公式推导 由诱导公式 cos()=cosα, 可得 在上式中, 以代替β, 可得 即 知识讲授 公式 1 两角差公式 cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ 简记作 C(α－β) 2 两角和公式 cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ 简记作 C(α＋β) 提示 展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反 知识讲授 新知速记 两角差的余弦公式 两角和的余弦公式 指出下列公式中的错误并改正：cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 知识讲授 例1 案例分析 求cos15°的值. 解： 注意： 知识讲授 例1 案例分析 求cos15°的值. 解： 知识讲授 例2 案例分析 已知 , 并且α和β都是第一象限角, 求的值 解： 知识讲授 例3 案例分析 解： 3 学以致用 学以致用 小组合作 1 计算 2 计算 学以致用 练习 1.下列哪个是两角和的余弦公式？( ) A. B. C. D. [答案]B [分析]根据两角和与差的余弦公式进行判断即可. 故选:B. 学以致用 练习 2.下列哪个是两角差的的余弦公式？( ) A. B. C. D. [答案]C [分析]根据两角和与差的余弦公式进行判断即可. 故选:C. 学以致用 练习 3.化简 的结果是( ) [答案]A [分析]本题直接逆用两角和的余弦公式即可求解. 故选:A. 学以致用 练习 4.证明cos(180°−α) = − cos α. [分析]本题应用两角差的余弦公式化简. 得证. 学以致用 练习 5.下列等式中错误的是：( ) A. B. C. D. [答案]C [分析]根据两角和与差的余弦公式进行判断. 根据诱导公式 故选:C. 学以致用 师生交流 解题思路归纳 解题思路 观察式子的形式，选择使用和角公式还是差角公式 考察公式的正向和逆向应用 解题思路 1.已知角所在象限，判断三角函数值符号 2.利用同角三角函数关系求未知值(由求 、由求) 3.正确应用两角和与差的余弦公式 学以致用 知识回顾 ______________________ ______________________ 4 课堂练习 课堂练习 1.请判断下列各题的正误，正确的打"√"，错误的打"×" （1）( ) （2）( ) （3）( ) （4）( ) 练习 × √ √ × （1） （4） 【解析】 课堂练习 【解析】 2.求下列各式的值 课堂练习 【解析】 2.求下列各式的值 课堂练习 【解析】 2.求下列各式的值 课堂练习 【解析】 课堂练习 【解析】 课堂练习 【解析】 课堂练习 【解析】 课堂练习 6.证明： 练习 【解析】 证明： 两式相减： 得证 5 课堂小结 课堂小结 1 两角和的余弦公式 C(α＋β) 2 两角差的余弦公式 C(α－β) 需熟练背诵 课堂小结 易错提醒 避免误区 cos(α±β) ≠ cosα±cosβ 角的拆分 30°、45°、60° 优先选择特殊角 符号判断 结合象限确定符号 第一象限 全正 第二象限 sin正 第三象限 tan正 第四象限 cos正 课后作业 书面作业 完成《学习指导与练习》相关习题. 查漏补缺 根据个人情况对课堂学习进行复习与回顾. 拓展作业 预习下一节内容，阅读教材扩展延伸内容. $