6.1.1 两角和与差的余弦公式（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 第六章 三角计算 6.1.1 两角和与差的余弦公式 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本课程选用高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》，本节课内容为第六章三角计算的第一节 “两角和与差的余弦公式”。该教材注重知识的逻辑性与实用性，以三角函数的历史发展为切入点，逐步引导学生理解公式的推导过程，符合中职学生的认知规律。本节课是三角计算的基础内容，既是对诱导公式等前期知识的延伸，也为后续两角和与差的正弦、正切公式及三角函数的综合应用奠定了重要基础，在整个三角知识体系中起着承上启下的作用。 五、学情分析 中职学生已具备三角函数的基本概念、单位圆的相关知识以及特殊角的正弦、余弦值等基础内容，能够运用诱导公式进行简单的三角函数变换，具备一定的数学运算能力。但中职学生抽象思维和逻辑推理能力相对薄弱，对公式推导类知识的学习容易产生畏难情绪，且在知识的灵活运用方面存在不足。同时，学生对数学知识的实用性较为关注，通过结合历史背景和实际应用场景，能够有效激发其学习兴趣，提升参与度。 六、教学目标 （一）知识层面 理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟练掌握两角和与差的余弦公式，明确公式中角的取值范围及公式的结构特征。 （二）能力层面 能够运用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数求值、化简与证明，培养学生的数学运算能力和逻辑推理能力，提升学生对公式的正向与逆向应用能力。 （三）核心素养层面 通过公式的推导过程，感受数学知识的严谨性和逻辑性，培养学生的逻辑推理核心素养；在公式的应用过程中，体会数学的实用性，增强学生运用数学知识解决问题的意识，提升数学运算核心素养。 七、教学重点 1.两角和与差的余弦公式的推导过程。 2.公式的准确理解与熟练应用。 八、教学难点 1.利用单位圆和三角形全等思想推导公式的逻辑思维构建。 2.公式的灵活运用，尤其是逆向应用与角的合理拆分。 九、教学方法 1.讲授法：系统讲解公式的推导过程、结构特征及应用方法，确保学生清晰掌握核心知识。 2.探究法：引导学生通过观察、猜想、验证等环节，参与公式推导的部分过程，培养其探究能力和逻辑思维。 3.练习法：通过课堂练习和小组合作练习，巩固学生对公式的应用能力，及时发现并解决学生存在的问题。 4.情境教学法：以三角函数的历史发展为导入情境，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学知识的历史渊源和实用性。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 从古至今的三角函数 角函数的起源与古希腊天文学家的研究密切相关 希帕恰斯 公元前2世纪，制作世界上第一张弦表 托勒密 编写《天文学大成》，完善弦表 引入球面三角学的概念 从天文学到数学公式 三角函数最初是为了解决天文学中的问题而产生的 两角和与差的余弦公式在这些早期研究成果的基础上发展而来 让我们一起走进奇妙的两角和与差的余弦公式！ 储备知识 单位圆定义：在平面直角坐标系中，以原点O(0，0)为圆心，半径为1的圆就是单位圆. 坐标表示：对于任意角α，在单位圆上，角α的终边与单位圆的交点P(x，y)的坐标为(cosα,sinα) 同角三角函数平方关系： 特殊角的正弦、余弦值 α 0 π sinα 0 1 0 cosα 1 0 观察与思考 诱导公式一 诱导公式三 sin(α+k⋅2π)=sinα sin(π+α)=−sinα cos(α+k⋅2π)=cosα cos(π+α)=−cosα tan(α+k⋅2π)=tanα tan(π+α)=tanα 其中 k∈Z 观察这些公式可以发现，等式左边都是两个角的和（或差）的三角函数。其中第一个角是特殊角，第二个角 α 是任意角。 如果这两个角都是任意角，那么它们的和（或差）的三角函数又是怎样的呢？ 核心思考 任意角 α 、β 的和与差的余弦，即 cos(α+β) 、cos(α−β) ，与角 α 、β 的正弦、余弦之间会有什么关系呢？ 观察与猜想 我们设想 cos(α-β)的值与α、β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现? cos(60°-30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30° cos(90°-60°) cos 90° cos60° sin 90° sin 60° 0 1 显然 cos(α-β) ≠ cosα-cosβ 早在公元2世纪，人们就推导出了两角和与差的余弦公式 两角和的余弦 cosαcosβ-sinαsinβ 两角差的余弦 随着时间的推移和研究的深入，现在数学中已很少使用公元2世纪的推导方法 以古希腊天文学家的研究历程为导入，契合教材“知识逻辑性与实用性”特点，既能激发中职学生对数学知识历史渊源的探究兴趣，又能让学生体会数学源于实际需求。储备知识环节针对性回顾单位圆、同角三角函数关系及诱导公式，为公式推导搭建旧知桥梁，降低认知门槛；通过观察诱导公式和特殊数据猜想关系，逐步引导学生进入探究状态，缓解其对抽象推导的畏难情绪，培养猜想意识。 新知讲授 公式推导 如图所示，设单位圆与x轴的交点为 ,角α、β和 的终边与单位圆的交点分别为 和 1找出终边与单位圆的交点坐标 (1, 0) (cosα,sinα) (cosβ,sinβ) 2 三角形全等证明 当 不在同一直线上时 且 因此 所以 当 在同一条直线上时，容易看出也有 如图 3 代入各点坐标计算 两点间的距离公式 左边 左边 右边² 右边 整理可得 公式推导 由诱导公式( 可得 在上式中，以-β代替β，可得 即 公式 1 两角差公式 简记作 2 两角和公式 简记作 提示 展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反 新知速记 两角差的余弦公式 两角和的余弦公式 指出下列公式中的错误并改正： 推导过程遵循“直观感知—逻辑证明—代数运算”的路径，贴合中职学生“抽象思维薄弱”的学情，通过单位圆图形辅助，将抽象的角关系转化为具象的点坐标与线段关系。三角形全等思想的引入，注重培养学生逻辑推理核心素养，同时分“共线”与“不共线”两种情况讨论，体现数学知识的严谨性。 强调公式中“展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反”的规律，帮助学生形成符号意识，提升对数学语言的理解和运用能力。 通过“新知速记”部分回顾两角和与差的余弦公式，帮助学生将新学的公式与已有的三角函数知识进行衔接，形成完整的知识体系。 案例分析 例1 求 的值. 解： 注意： 解： 例2 已知 并且α和β都是第一象限角，求 的值 解： 由 又由 所以 例3 证明 解： 所以 分层设计例题，覆盖公式的正向应用、逆向拆分及综合证明，契合“知识、能力、核心素养”三维教学目标。例1聚焦特殊角拆分，让学生快速熟悉公式用法，建立解题信心；例2结合同角三角函数关系，强化“象限判断—求未知值—代公式计算”的解题流程，培养数学运算能力；例3证明诱导公式，实现知识闭环，让学生体会公式的通用性，提升逻辑推理能力。 学以致用 小组合作 1 计算( 2计算( 练习 1.下列哪个是两角和的余弦公式?( ) [答案]B [分析]根据两角和与差的余弦公式进行判断即可. [详解]根据两角和的余弦公式，有 故选:B. 2.下列哪个是两角差的的余弦公式?( ) [答案]C [分析]根据两角和与差的余弦公式进行判断即可. [详解]根据两角差的余弦公式，有 故选:C. 3.化简 的结果是( ) D.1 [答案]A [分析]本题直接逆用两角和的余弦公式即可求解. [详解] 故选:A. 4.证明 [分析]本题应用两角差的余弦公式化简. [详解] 得证. 5.下列等式中错误的是：( ) [答案]C [分析]根据两角和与差的余弦公式进行判断. [详解]根据两角差的余弦公式，有 根据诱导公式 原式： 故选:C. 师生交流 解题思路归纳 解题思路 观察式子的形式，选择使用和角公式还是差角公式 考察公式的正向和逆向应用 解题思路 1.已知角所在象限，判断三角函数值符号 2.利用同角三角函数关系求未知值(由sin求cos、由cos求sin） 3.正确应用两角和与差的余弦公式 知识回顾 Cα−β:cos(α−β) = Cα+β:cos(α−β) = 小组合作练习侧重公式逆向应用，培养学生互助探究能力与团队协作意识，适配中职学生“关注知识实用性”的特点；选择题直击公式核心特征，快速检验学生对公式的记忆准确性；证明题与易错辨析题针对性突破“角的合理拆分”“公式符号判断”等难点，归纳解题思路，帮助学生形成“观察形式—选择公式—规范运算”的解题思维，强化知识应用能力。 通过师生交流归纳解题思路，帮助学生系统梳理解题步骤，明确在面对不同问题时如何选择和应用两角和与差的余弦公式。同时，回顾公式并强调正负号的差异，巩固学生对公式细节的掌握，培养学生严谨的数学思维和灵活运用知识的能力，提升解题的准确性和效率。 课堂练习 1.请判断下列各题的正误，正确的打"✔"，错误的打"×" (3) (4 ) 【解析】 (1) cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ 2.求下列各式的值. (1)cos105°; (2) cos75°; 【解析】 ) 3.已知 且 求 的值. 【解析】由 得 4.已知 α是第四象限角，求 的值. 【解析】由 α是第四象限角，得 5.证明 【解析】 得证 6.证明：对于任意角α、β，都有 【解析】 证明： 两式相减： 得证 练习设计兼顾基础巩固与能力提升，正误判断题针对性纠正学生对公式结构的常见误区；求值题覆盖特殊角、一般角及平方差形式的转化，拓宽公式应用场景；综合应用题结合象限条件，强化“符号判断”这一易错点，通过分层练习满足不同层次学生需求，让基础薄弱学生巩固公式用法，让学有余力学生提升综合解题能力，同时及时反馈学习效果，便于教师调整教学节奏。 课堂小结 1两角和的余弦公式 2两角差的余弦公式 需熟练背诵 简洁明了的小结聚焦核心知识，帮助学生快速梳理本节课重点，强化公式记忆，形成知识框架，同时呼应课前导入与新知讲授环节，让学生明确公式的推导逻辑与应用价值，实现“知识内化—体系构建”的闭环。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 核心公式 1. 两角差的余弦公式（） cos(α−β) = cosαcosβ + sinαsinβ 2. 两角和的余弦公式（） cos(α+β) = cosαcosβ − sinαsinβ 关键特征：和差符号相反 易错提醒 1. 避免误区：cos(α±β)≠cosα±cosβ 2. 角的拆分：优先选特殊角（30°、45°、60°） 3. 符号判断：结合象限确定sinα、cosα符号 通过板书清晰展示两角和与差的余弦公式及其关键特征，帮助学生直观记忆核心内容。同时，强调易错点和解题技巧，提醒学生避免常见误区，注重角的拆分与符号判断，培养学生的严谨思维和规范解题能力，提升教学的针对性和有效性，确保学生在实际应用中能准确运用公式。 11、 教学反思 本节课的教学设计紧密贴合中职学生学情，通过引入希帕恰斯和托勒密的天文学研究，成功激发了学生的学习兴趣，将抽象的三角公式与实际应用场景相结合，有效缓解了学生对公式推导的畏难情绪，显著提升了课堂参与度。在公式推导环节，采用“单位圆图形辅助—三角形全等证明—距离公式运算”的递进式教学方法，分情况讨论“三点共线与不共线”，兼顾了知识的严谨性和学生的理解能力，使多数学生能够掌握推导核心，培养了逻辑推理核心素养。练习设计分层精准，从基础公式判断到综合应用，难度逐步提升，既巩固了公式记忆，又针对性突破了“角的拆分”“符号判断”等易错点，多数学生能熟练掌握公式的正向与逆向应用。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $