5.1.1 有理数指数幂（课件） 高教版（第三版）《数学 基础模块下册》【上好课】

5.1.1 有理数指数幂 高教版（第三版）·基础模块 第五单元 指数函数与对数函数 学习目标 知识层面 理解并掌握n次方根、分数指数幂和实数指数幂的概念 能力层面 能将根式与分数指数幂相互转换，能运用指数幂运算法则进行计算 核心素养层面 通过指数幂的运算培养数学思维和解决问题的能力，提升数学核心素养 教学流程 教学导入 知识讲授 学以致用 课堂练习 课堂小结 1 教学导入 教学导入 数学史中的指数发展 欧几里得 被认为是第一个已知的指数用法，他用“幂”这个词来表示一个数自乘的次数. 阿基米德 他在《数沙者》中提出通过幂的运算表示极大的数来表示这些大数.例如，他用 表示一个“单位”，并进一步用这些单位的幂来表示更大的数. 教学导入 数学史中的指数发展 笛卡尔 开始用符号表示“正整数幂”. 欧拉 对指数函数的发展做出了巨大贡献，包括引入了作为自然对数的底数. 教学导入 一个关于米粒的故事 教学导入 一个关于米粒的故事 这些都是初中所学的“整数幂”！ 教学导入 整数指数幂的概念及其运算 定义回顾 基本规则 ① 当时， ② 当时， 个相同因子的连乘积记作,称为的次幂,其中称为幂的底数,简称底,称为幂的指数. 个 2 知识讲授 知识讲授 完成以下填空 1.如果一个正方形的面积是，那么它的边长就是 . 2.如果一个立方形的体积是，那么它的边长就是 . 读作的平方根 读作的立方根 知识讲授 平方根和立方根的概念 平方根 定义：如果 ，那么 叫做 的平方根. 性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数. 记法：记作 . 立方根 定义：如果 ，那么 叫做 的立方根. 性质：一个数的立方根只有一个. 记法：记作 . 推广到一般情形，的次方根是一个什么概念?试给出其定义. 知识讲授 的平方根 次方根 的立方根 次方根 一般地,如果数的次方等于,即,那么称数为的n次方根.称为被开方数． 的次方根 知识讲授 的次方根 偶数方根 1 正数的偶数方根有两个： 2 叫做算术根 3 负数没有偶数方根 它们互为相反数 奇数方根 无论正负数，它的奇数次方根都只有唯一一个： 0的n次方根 0的n次方根是0，记作： 知识讲授 的次方根 2 ①次方根表示为 . ②次算术根表示为 . ③的平方根有 个，表示为 ； ④16的4次方根能表示吗？ 不能 完成填空 知识讲授 的次根式 被开方数 根指数 知识讲授 的次根式 概念理解 （1）的次方根满足 ，因此求的次方根就是求一个数，使得它的次方等于. （2）次方根，实际上就是平方根与立方根的推广. （3）次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算. 知识讲授 观察 分析共同特征 1 找出它们的共同特征 2 各小组尝试用符号语言表达 知识讲授 正分数指数幂 负分数指数幂 这样，就把整数指数幂推广到了有理数指数幂 如果指数是最简分数，规定： 知识讲授 强化记忆 子里母外 知识讲授 有理数指数幂运算法则 法则适用条件： 1 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 2 幂的乘方，底数不变，指数相乘 3 积的乘方，等于因数乘方的积 知识讲授 新知速记 请合上书本，背诵以下内容 1 n次方根的定义 2 偶次方根的特点 3 奇次方根的特点 4 0的n次方根 知识讲授 新知速记 请合上书本，背诵以下内容 1 n次方根的定义 2 偶次方根的特点 3 奇次方根的特点 4 0的n次方根 一般地,如果数的次方等于,即,那么称数为的n次方根.称为被开方数． 知识讲授 新知速记 请合上书本，背诵以下内容 1 n次方根的定义 2 偶次方根的特点 3 奇次方根的特点 4 0的n次方根 1 正数的偶数方根有两个： 2 叫做算术根 3 负数没有偶数方根 它们互为相反数 知识讲授 新知速记 请合上书本，背诵以下内容 1 n次方根的定义 2 偶次方根的特点 3 奇次方根的特点 4 0的n次方根 无论正负数，它的奇数次方根都只有唯一一个： 0的n次方根是0，记作： 知识讲授 新知速记 请默写分数指数幂的公式 其中： 为整数， 知识讲授 例1 分数指数幂 → 根式 根式 → 分数指数幂 案例分析 例2 知识讲授 例3 案例分析 将下列各分数指数幂写成根式的形式. 知识讲授 例4 案例分析 将下列各根式写成分数指数幂的形式. 3 学以致用 学以致用 练习 [答案]B [分析]根据根式与指数幂的互化即可求解. 故选:B. 学以致用 2.已知 ，则 等于（ ） 练习 [答案]D [分析]正数的偶数方根有两个： [详解] 故选:D. 学以致用 3.用分数指数幂表示下列各式. 练习 [详解 学以致用 师生交流 绘制有理数指数幂的分类 有理数指数幂 整数指数幂 (正整数、零、负整数) 分数指数幂 (正分数、负分数) 学以致用 知识回顾 分数指数幂 正分数指数幂 负分数指数幂 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义． 学以致用 师生交流 我们已经学习了整数指数幂和有理数指数幂的运算 新的问题 当幂的指数为无理数时，指数幂是否有意义？ 拓展思考 4 课堂练习 课堂练习 将下列各分数指数幂写成根式的形式. 解析 课堂练习 将下列各分数指数幂写成根式的形式. 解析 课堂练习 将下列各根式写成分数指数幂的形式. 解析 课堂练习 将下列各根式写成分数指数幂的形式. 解析 课堂练习 将下列各分数指数幂写成根式的形式. 解析 课堂练习 将下列各分数指数幂写成根式的形式. 解析 课堂练习 下列根式转化成分数指数幂不正确的是( ) 解析 5 课堂小结 课堂小结 知识结构图 1 2 n次方根 定义 偶次方根 奇次方根 分数指数幂 正分数指数 负分数指数 根式转换 0的n次方根 课堂小结 需背诵知识点 1 n次方根的定义 2 分数指数幂的转换规则 3 有理数指数幂的运算法则 子里母外 负取倒 课后作业 书面作业 完成《学习指导与练习》相关习题. 查漏补缺 根据个人情况对课堂学习进行复习与回顾. 拓展作业 预习下一节内容，阅读教材扩展延伸内容. $