考点01 二次根式的运算及应用（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

考点01 二次根式的运算及应用 考点一：二次根式有意义的条件 在二次根式中，要求被开方数a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，有意义，当a＜0时，无意义. 考点二： 二次根式的性质 性质 文字语言 应用 一个非负数的算术平方根是非负数 若则a=b=0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式： 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 考点三： 同类二次根式与最简二次根式 最简二次根式定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 同类二次根式定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 考点四： 二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 考点五： 二次根式的加减法 二次根式的加减法法则：二次根式相加减 考点六： 二次根式的混合运算 关键：二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 实质：二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.因此: 1）运算顺序与有理式的运算顺序相同； 2）运算律仍然适用； 3）与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算； 题型一：二次根式有意义的条件 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【易错点】忽视二次根式被开方数非负 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，则的值是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式性质，根据题意得，进而可求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：C． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据题意列出不等式求得结果即可； 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 题型二：二次根式的非负性 （其中a，b，c为常数），则x=a，y=b，z=c. 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则 由，得：． 将代入代数式： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知x，y都是实数，且，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、平方根的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的值，进而得出的值，再根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴， ∵6的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件，可求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三：利用二次根式的性质化简 7．（24-25八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把式子化为，再根据二次根式的性质得出，求出即可． 本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当时，，当时， 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 8．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解． 【详解】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 题型四：利用二次根式的性质化简（数轴） 在解题过程中一定要注意a的取值范围.例：化简. 10．（24-25八年级下·云南玉溪·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，先根据数轴判断的正负，再根据绝对值和二次根式的性质化简，然后算加减即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选B． 11．（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据数a、b在数轴上的位置得到，，然后推出，，，再根据二次根式的性质和绝对值进行化简，再合并同类项． 【详解】解：根据数轴，得， ，， ． 故答案为：4． 12．（24-25八年级下·江苏南京·期中）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴的相关知识及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果； 【详解】解：由数轴可知，且，则， ， 故答案为：a． 题型五：最简二次根式与同类二次根式的识别 1.判断一个二次根式是否是最简二次根式，应从以下三个方面进行:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式;(3)若被开方数是和或差的形式，则先尝试把被开方数写成积的形式，若无法写成积的形式则为最简二次根式，反之不是最简二次根式. 2. 判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，若它们的被开方数相同，则它们是同类二次根式，否则它们不是同类二次根式. 13．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、不能与合并，不符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 、，能与合并，符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 故选：C． 14．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，然后由同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与是同类二次根式，符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 、当时，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 15．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 题型六：已知最简/同类二次根式求参数 17．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 18．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴，则， 故答案为：0． 19．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 题型七：二次根式的乘除运算 1）只有当a≥0，b≥0时，才成立. 2）只有当a≥0，b＞0时，才成立. 3）若被开方数是带分数的，则要先将其化为假分数. 4）二次根式运算时的注意事项： ①结果要化为最简二次根式或整式； ②如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 20．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 21．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ） 填空（每小题分，共分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③； ④； ⑤面积为12的正方形的边长为 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，绝对值，算术平方根，二次根式的乘除运算，正方形的面积，掌握相关知识点是解题的关键． 根据倒数、绝对值、算术平方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解． 【详解】①的倒数是，该题做错了； ②的绝对值是，该题做对了； ③，该题做错了； ④，该题做对了； ⑤面积为的正方形的边为，该题做对了； 得分应是分， 故选：C． 22．（2025·江苏南京·一模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·山东青岛·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型八：二次根式的加减运算 解题步骤：1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号； 2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简； 3）合并被开方数相同的二次根式. 注意：有理数的加法交换律、结合律都适用于二次根式的运算. 24．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 25．（24-25七年级下·上海宝山·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则其周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次根式的加法运算，分长的边为腰和长为的边为腰，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当长为的边为腰时，周长为； 当长为的边为腰时，周长为； 故答案为：或． 26．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）由作图可知，点Q表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴．由题意得，，据此求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴点Q表示的数为， 故答案为：． 27．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 先去括号，然后合并同类二次根式，即可得出答案． 【详解】解：原式． 题型九：二次根式的混合运算 类型一 二次根式与混合运算 28．（25-26九年级上·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先简化表达式为 ，再估计 ，计算数值后判断区间． 【详解】解： ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 值在2和3之间， 故选：B． 29．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减乘除及乘法公式的应用．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：中，与不是同类二次根式，无法合并，结果应为，故错误． 选项B：，而非，故错误． 选项C：利用平方差公式，，结果应为，故错误． 选项D：将除法分配至每一项：结果与选项一致，故正确． 故选：D． 30．（25-26八年级上·全国·月考）小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，清楚运算顺序是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则，求出m，n，即可得答案． 【详解】解：， ，     ， 故答案为：． 31．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，利用完全平方公式计算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先用完全平方公式展开，并去掉绝对值，再计算加减； （2）先计算乘除，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型二 二次根式与乘法公式 32．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）计算题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）运用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）利用算术平方根、零指数幂计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查因式分解的运用，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题关键． （1）通过提公因式法对其进行因式分解，结合题干数据即可求解； （2）将式子变形为含“”与“”的式子，代入即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ． （2）解：，， ，， ． 34．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）已知实数、满足， (1)求的值； (2)试比较的值与3的大小． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运用，实数比较大小． （1）利用完全平方公式将变形为，再代值计算即可； （2）先求出，，再通分化简得，再代值计算，再比较与3的大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． 题型十：根号内外的因式互移 35．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此． 故选：C． 36．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴，则， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 37．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知点在第三象限内，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，点的坐标，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征易得，，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：点在第三象限内， ，， ， 故选D． 38．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义得出，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， 故选：A． 题型十一：二次根式运算的实际应用 39．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形． 因为三个小正方形的面积分别为， 所以三个小正方形的边长分别为：，，． 由图知大正方形的边长为：， 所以． 故选：A． 40．（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的乘法，理解题意是解题的关键．根据风筝的面积为，得到，再根据题中公式即可解答． 【详解】解：四边形的面积 ； ∴， 根据题意可得：， ∴用来做对角线的竹条至少要长． 故选：C． 41．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 42．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 43．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键； （1）依据题意，由铝合金板的长：（分米），可得另一边长为：（分米），则剩余材料的面积：（平方分米），即可得解； （2）依据题意，由，但，即可判断得解． 【详解】（1）解：铝合金板的长：（分米）， 另一边长为：（分米）， 剩余材料的面积：（平方分米）． （2）解：不能裁出；理由：（分米），（分米）， ，但， 不能裁出． 44．（24-25八年级下·云南临沧·月考）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，；（2） ，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）理由如下： 当，时，， ， ， ． （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 题型十二：与二次根式运算有关的新定义问题 45．（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 46．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）定义运算：．例如．若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求平方根、二次根式的乘法，理解题干中的运算定义是解答的关键．根据题干中运算定义得到，进而得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，由得 ∴ 解得 故答案为： 47．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）根据对偶式的定义即可得； （2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：的对偶式为， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ∴ ． 题型十三：与二次根式运算有关的规律探究问题 48．（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质及数字规律，熟练掌握二次根式的性质及数字规律是解题的关键；由题意易得每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字，由此问题可求解． 【详解】解：由数阵可知：每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字， ∴第（是整数，且）行最后一个数是，第一个数字是， ∴从左向右数第个数是； 故选A． 49．（24-25八年级下·河南开封·期末）观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式规律探究，分式的乘法与加减混合运算观察各等式左边为带分数的平方根，右边为整数乘以分数部分的平方根．通过分析整数部分、分子、分母与n的关系，确定通式． 【详解】解：观察左边结构：每个等式左边为，其中整数部分为，分数部分分子为，分母为．例如： 当时，； 当时，． 验证右边结构：右边为，展开后与左边相等． 例如：当时，； 当时，． 则， 故选：A 50．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式： ； 根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及实数的运算，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为；；；…， 所以第n个等式可表示为 当时， 第4个等式为 由上述规律可知， 原式 故答案为：， 51．（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）44 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式即可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：第5个等式： （2）由（1）归纳可得：； （3） ． 1．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）化简计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先最简二次根式，再先计算二次根式的乘除，合并同类项即可； （2）先计算二次根式的乘除，再化简为最简二次根式，合并同类项即可． （3）根据二次根式的混合运算顺序计算即可． （4）先最简二次根式以及平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解∶ ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)99 (2)10 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ∴． （2）解：， ， ． ∴． 3（24-25八年级上·福建福州·期末）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能截出 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 4．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 【答案】(1) (2)① ；②1 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，二次根式的乘法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式中被开方数为非负数，求解即可； （2）①只有同类二次根式才能合并，把化简为最简二次根式，即可求解；②利用二次根式的乘法法则求解即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得； （2）①， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴， 解得； ②由①可得：． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式的运算、二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先化简绝对值以及二次根式，再运算二次根式的加减运算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次根式的非负性、算术平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据二次根式的非负性、立方根的定义，无理数的估算，分别求得a，b，c的值； （2）代入a、b、c的值，根据求一个数的平方根进行计算即可求解． 【详解】（1）∵， ∴，， 则， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，         ∴的平方根是. 7．（23-24八年级上·北京海淀·月考）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ② ， ， ， ． 8．（24-25七年级上·四川成都·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)４； (2) (3) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用．熟练掌握配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用，是解本题的关键． （1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值； （2）当时，由，可得时， 的最小值是； （3）设的面积为a，根据，得．可得四边形的面积，可得当时，四边形的面积的最小值为：． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为4； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，的最大值为； 故答案为：4；； （2）解：当时， ∵， ∴当，即时， 的最小值是：． （3）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴． ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 9．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 二次根式的运算及应用 考点一：二次根式有意义的条件 在二次根式中，要求被开方数a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，有意义，当a＜0时，无意义. 考点二： 二次根式的性质 性质 文字语言 应用 一个非负数的算术平方根是非负数 若则a=b=0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式： 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 考点三： 同类二次根式与最简二次根式 最简二次根式定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 同类二次根式定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 考点四： 二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 考点五： 二次根式的加减法 二次根式的加减法法则：二次根式相加减 考点六： 二次根式的混合运算 关键：二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 实质：二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.因此: 1）运算顺序与有理式的运算顺序相同； 2）运算律仍然适用； 3）与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算； 题型一：二次根式有意义的条件 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【易错点】忽视二次根式被开方数非负 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知，则的值是（   ） A． B．或 C． D．或 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 ． 题型二：二次根式的非负性 （其中a，b，c为常数），则x=a，y=b，z=c. 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知x，y都是实数，且，则的平方根是 ． 6．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 题型三：利用二次根式的性质化简 7．（24-25八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 题型四：利用二次根式的性质化简（数轴） 在解题过程中一定要注意a的取值范围.例：化简. 10．（24-25八年级下·云南玉溪·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 12．（24-25八年级下·江苏南京·期中）实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 题型五：最简二次根式与同类二次根式的识别 1.判断一个二次根式是否是最简二次根式，应从以下三个方面进行:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式;(3)若被开方数是和或差的形式，则先尝试把被开方数写成积的形式，若无法写成积的形式则为最简二次根式，反之不是最简二次根式. 2. 判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，若它们的被开方数相同，则它们是同类二次根式，否则它们不是同类二次根式. 13．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 16．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 题型六：已知最简/同类二次根式求参数 17．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则 ， ． 18．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 19．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 题型七：二次根式的乘除运算 1）只有当a≥0，b≥0时，才成立. 2）只有当a≥0，b＞0时，才成立. 3）若被开方数是带分数的，则要先将其化为假分数. 4）二次根式运算时的注意事项： ①结果要化为最简二次根式或整式； ②如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 20．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 21．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ） 填空（每小题分，共分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③； ④； ⑤面积为12的正方形的边长为 A．分 B．分 C．分 D．分 22．（2025·江苏南京·一模）计算： ． 23．（24-25八年级下·山东青岛·期中）计算： ． 题型八：二次根式的加减运算 解题步骤：1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号； 2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简； 3）合并被开方数相同的二次根式. 注意：有理数的加法交换律、结合律都适用于二次根式的运算. 24．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算 25．（24-25七年级下·上海宝山·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则其周长为 ． 26．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）由作图可知，点Q表示的数为 ． 27．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 题型九：二次根式的混合运算 类型一 二次根式与混合运算 28．（25-26九年级上·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 29．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 30．（25-26八年级上·全国·月考）小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为 ． 31．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）计算： (1) (2) 类型二 二次根式与乘法公式 32．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）计算题． (1)； (2)． 33．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 34．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）已知实数、满足， (1)求的值； (2)试比较的值与3的大小． 题型十：根号内外的因式互移 35．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 36．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ． 37．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知点在第三象限内，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 题型十一：二次根式运算的实际应用 39．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则 ． 42．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 43．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 44．（24-25八年级下·云南临沧·月考）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 题型十二：与二次根式运算有关的新定义问题 45．（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）定义运算：．例如．若，则a的值是 ． 47．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 题型十三：与二次根式运算有关的规律探究问题 48．（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级下·河南开封·期末）观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 50．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式： ； 根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）． 51．（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 1．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）化简计算： (1) (2) (3) (4) 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 3（24-25八年级上·福建福州·期末）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 4．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知化简： ． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 7．（23-24八年级上·北京海淀·月考）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 8．（24-25七年级上·四川成都·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 9．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $