精品解析：福建省龙岩高级中学2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试卷

九年级（上）12月月考数学试卷 一．选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义与辨别，熟练掌握概念是解题的关键． 根据轴对称图形是沿一条直线折叠后两侧能完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形，对选项逐一分析即可． 【详解】解：A．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D．图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. “篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义判断即可得． 【详解】解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是随机事件， 故选：A． 3. 将二次函数向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的新函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像平移，利用“左加右减，上加下减”的平移规则求解即可． 【详解】解：将二次函数向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的新函数是， 故选B． 4. 如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接， 则，； ∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长； 在中，， 由勾股定理得：， 即的最小值为； 故选：B． 5. 已知是方程的根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 0或1 D. 0或2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，掌握一元二次方程的解能够使方程左右两边相等是解题关键．把代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值即可． 【详解】解：是方程的根， ， 解得：， 故选：B． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 经过三点确定一个圆 C. 优弧一定比劣弧长 D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，包括等弧、确定圆的条件、优弧与劣弧的比较以及圆心角与弦的关系．需根据初中数学知识逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵等弧需在同圆或等圆中定义，长度相等的弧不一定重合，故A错误； 三点共线时不能确定圆，故B错误； 优弧与劣弧长度比较需在同圆中成立，否则不一定，故C错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，这是圆心角定理，故D正确． 故选：D． 7. 一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 首先求得圆锥的底面周长，即侧面的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：底面周长是， 则侧面积是：． 故选：B． 8. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 9. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，根据旋转图形的对应边是相等的，进行作答即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E， ∴， 故选：． 10. 已知点，是二次函数的图象上任意两点，设，若当且时，都有，则的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】把点，代入可得，，则，即，故有，又，则，然后分当时，当时两种情况分析求解即可． 【详解】解：∵点，是二次函数的图象上任意两点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∴当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上可得的取值范围是或． 二．填空题（每小题4分，满分24分） 11. 如图是一个转盘，转盘共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针指向白色区域的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出白色区域面积是整个圆形转盘面积的几分之几即可求出自由转动转盘，停止后指针落在白色区域的概率． 【详解】P（指针落在白色区域）=， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了几何概率的计算方法，在解题时能够计算出红色区域面积占整个圆形转盘面积的比例是本题的关键． 12. 已知函数，当时的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据x的范围得出时，求得函数的最大值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时， 当时，y的最小值为， 当时，y的值为， 当时，y的值为， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 13. 如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为3， ∴，， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，勾股定理，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 14. 已知抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．利用抛物线的对称性，对称轴是两交点连线的垂直平分线，因此两交点的中点在对称轴上． 【详解】解：设点的坐标为， 由于抛物线与轴交于点和点，且对称轴为直线，则点和点的中点的横坐标等于对称轴的横坐标， 即， 解得， 故点的坐标为． 故答案为． 15. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论． 本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1， 过作于， 在正十二边形中， ， ∴正十二边形的面积为, ， , 的近似值为3， 故答案为：3． 16. 如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 把所在的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把所在的圆补全为，连接，，，，交于点，可知点与点关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程∶ （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是解本题的关键； （1）先把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先移项把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 18. 如图，在 中，是直径，是弦，且于点 E，若，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接 ，因为是直径，是弦，且，由垂径定理得，在 中，用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接 ， ∵是直径，， ∴， ∵，， ∴， 在 中，． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， ∴方程总有两个实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程跟的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系进行解题． （1）利用根的判别式判断出即可解题； （2）根据根与系数的关系得到方程，解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，且， ∴，， 即：， 解得：，． 20. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后延时服务时间里开展了“剪纸社团、足球社团、文学社团、合唱社团”活动．该校从全校540名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢”一种社团活动（每人必选且只选一种）的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）条形统计图中的值为_____，扇形统计图中的度数为_____； （2）根据调查结果，可估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有_____人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙三名同学中随机选取两名去参加演讲比赛和诗词大会，每人限参加一项，请用列表或画树状图的方法求出恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率． 【答案】（1）15； （2）99 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先求出参加问卷调查的学生人数，即可求出的值；利用剪纸社团所占百分比乘以即可求出的度数； （2）用540乘以样本中最喜欢“合唱社团”的人数占比即可得到答案； （3）用列表或画树状图的方法先得到所有等可能的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，参加问卷调查的学生人数为（人）， ，扇形统计图中的度数为． 故答案为：15；． 【小问2详解】 解：由题意得，（人）， 估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有99人． 故答案为：99． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 乙甲 丙甲 乙 甲乙 丙乙 丙 甲丙 乙丙 由列表可得，共有6种等可能的结果，恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的结果有1种， 恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率． 答：恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率为． 21. 如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将绕点B顺时针旋转到的位置． （1）连接，的形状是_______三角形． （2）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长． 【答案】（1）等腰直角；（2）6 【解析】 【分析】（1）根据旋转的定义解答； （2）先根据旋转的性质求出∠BPC=135°，再求出∠C=90°，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解． 【详解】(1)根据旋转的性质知，BP=BP′， ∵旋转角为90°， ∴△BPP′是等腰直角三角形. 故答案为：等腰直角. (2)∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC=90°，BA=BC. ∵△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置， ∴BP′=BP=4，P′C=PA=2， ∠P′BP=∠ABC=90°，∠BP′C=∠BPA=135°， ∴△BPP′为等腰直角三角形， ∴PP′=PB=4，∠PP′B=45°， ∴∠PP′C=∠BP′C−∠PP′B=135°−45°=90°， ∴△CPP′为直角三角形， ∴PC===6． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，正方形的性质，勾股定理的应用，难度不大，熟练掌握旋转的定义与性质是解题的关键． 22. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【答案】（1） （2） 解：不能，理由如下： 根据题意则有，即， ， 不能围成500平方米的矩形花园． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意得到，即可得到的长； （2）根据题意可得方程，将其转化为一般形式，再利用根的判别式即可判断． 【小问1详解】 解：设矩形花园，则， 则有， 解得：或， 墙最长可利用28米， ， ， 的长为； 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，，． （1）在线段上找一点，连接，使得；（尺规作图） （2）在（1）的条件下，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，点为所作； ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图以及等腰三角形的性质． （1）作的垂直平分线交于点，则点满足条件； （2）先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，． ， ， ， ． 24. 已知，如图，抛物线的图像经过与． （1）求抛物线解析式； （2）已知四边形为平行四边形，其中、两点在线段上，、两点在直线上方的抛物线上． ①若轴，求线段的取值范围； ②若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把代入，求出的值即可； （2）先求出直线的解析式，再作与平行且与抛物线有唯一公共点，求得解析式为，联立方程组，求出交点坐标即可求出的取值范围；②根据平行四边形的性质可得，作辅助等腰直角三角形，设，则点，代入可得：，解方程求得，从而可得点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的图像经过与， ∴把代入，得，， 解得，， 所以，抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 ①设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 设与平行 与抛物线有唯一交点的直线解析式为， 与抛物线联立方程得， 整理得， ∴ ∴ ∴ 解得， ∴， ∴ ∵是平行四边形一边， ∴线段的取值范围为； ②过作轴于点E，则 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 设的延长线交x轴于点R，则 过点作于点，则四边形是矩形， ∴, 设 则， ∴ 解得，， ∴ 【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、平行四边形的性质等知识点． 25. 如图，在半径为3的作内接矩形，点E是弦的中点，，连结并延长交于点F，点G是的中点，连结分别交于点H、点P． （1）证明：； （2）求的长； （3）若存在一个实数m，使得，试求出m的值． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，证明，即可证明． （2）连接，利用垂径定理求得，利用相似三角形的判定和性质求得，再证明，利用勾股定理求得的长，据此求解即可； （3）用勾股定理求得的长，证明，再证明，推出，连接，推出，利用勾股定理分别求得和的长，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，分别交、于点、， ∵是的中点， ∵矩形内接于， 为的直径， ∵是弦的中点，， ∴， ∴， ∵半径为3， ∵， 【小问3详解】 解：∵， 连接， ∵为的直径， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）12月月考数学试卷 一．选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. “篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 必然事件 3. 将二次函数向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的新函数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 无法计算 5. 已知是方程的根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 0或1 D. 0或2 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 经过三点确定一个圆 C. 优弧一定比劣弧长 D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 7. 一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 8. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 10. 已知点，是二次函数的图象上任意两点，设，若当且时，都有，则的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二．填空题（每小题4分，满分24分） 11. 如图是一个转盘，转盘共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针指向白色区域的概率是__________． 12. 已知函数，当时的取值范围是______． 13. 如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为___________． 14. 已知抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是，则点的坐标是______． 15. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为________． 16. 如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程∶ （1） （2） 18. 如图，在 中，是直径，是弦，且于点 E，若，求的长． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 20. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后延时服务时间里开展了“剪纸社团、足球社团、文学社团、合唱社团”活动．该校从全校540名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢”一种社团活动（每人必选且只选一种）的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）条形统计图中的值为_____，扇形统计图中的度数为_____； （2）根据调查结果，可估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有_____人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙三名同学中随机选取两名去参加演讲比赛和诗词大会，每人限参加一项，请用列表或画树状图的方法求出恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率． 21. 如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将绕点B顺时针旋转到的位置． （1）连接，的形状是_______三角形． （2）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长． 22. 如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 23. 如图，在中，，． （1）在线段上找一点，连接，使得；（尺规作图） （2）在（1）的条件下，求的度数． 24. 已知，如图，抛物线的图像经过与． （1）求抛物线解析式； （2）已知四边形为平行四边形，其中、两点在线段上，、两点在直线上方的抛物线上． ①若轴，求线段的取值范围； ②若，求点的坐标． 25. 如图，在半径为3的作内接矩形，点E是弦的中点，，连结并延长交于点F，点G是的中点，连结分别交于点H、点P． （1）证明：； （2）求的长； （3）若存在一个实数m，使得，试求出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $