第2章 3 确定二次函数的表达式-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

3确定二次 课内基础闯关 知识点① 用顶点式y=a(x一h)2+k求二次 函数表达式 1.若二次函数的图象如图，则它的表达式是 A.y=2x2-4x B.y=-x(x-2) C.y=-(x-1)2+2 D.y=-2x2+4x 第1题图 2.若二次函数的图象经过点(4，一3)，且当x= 3时，函数有最大值一1，求该二次函数的表 达式 知识点② 用一般式y=ax2+b.x+c求二次 函数表达式 3.已知抛物线过点A(2,0),B(1,2),与y轴正 半轴交于点C,且OC=2,则这条抛物线的表 达式为 A.y=x2-x-2 B.y=-x2+x+2 C.y=x2+x+2 D.y=-x2-x-2 4.已知抛物线y=ax2十bx十c过(1，-1)，(2， 4)和(0,4)三点，那么a= ,b= ,C= 5.如图，已知平面直角坐标系中 的四个点：A(0,2),B(1,0), C(3,1),D(2,3).二次函数y =ax2十b.x+c的图象经过其0123 第5题图 中任意三个点，当a的值最大 时，二次函数的表达式为 36 九年级数学BS版 函数的表达式 6.已知二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)中，函 数y与自变量x的部分对应值如表所示： -1 0 2 10 5 2 (1)求该二次函数的表达式； (2)当x为何值时，y有最小值？最小值是 多少？ 知识点③用交点式y=a(x一x,)(x一x2)求 二次函数表达式 7.(教材第43页题2变式)抛物线与x轴交点 的横坐标分别为-2和1，且过点(2,8)，则 它的表达式为 () A.y=2x2-2x-4B.y=-2x2+2x-4 C.y=x2+x-2 D.y=2x2+2x-4 8.已知点A(一1,0)，B(3,0),C(0,1)在抛物线 y=a.x2+bx+c上. (1)求抛物线的表达式； (2)判断点P(2,1)是否在这条抛物线上，并 说明理由 已课外拓展提高 9.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2 4x一1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧， y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随 x的增大而减小，则所求二次函数的表达式 为 A.y=-x2+2x-5 B.y=a.x2-2a.x+a-3(a>0) C.y=-2x2-4x-5 D.y=a.x2-2ax+a-3(a<0) 10.已知二次函数y=a.x2+bx+c的图象交x 轴于A(x1,0),B(x2,0)两点，交y轴于点 C(0,3),若x1+x2=4,且△ABC的面积为 3,则3a十b+c= 11.（2024西安模拟)如下图，在平面直角坐标 系中，二次函数y=a.x2+bx十c的图象经 过B,C两点，并且与x轴另一个交点为A. 已知直线BC的表达式为y=x一3，且OC =30A. (1)求这个二次函数的表达式和该二次函 数图象的顶点M的坐标； (2)D是点C关于该抛物线对称轴对称的 点，平移该二次函数图象，使得平移后的图 象经过点M,并在图象上可以找到点E,使 得△ECD与△ACD全等.请直接写出平移 过程. 已综合能力提升 12.数学核心素养·创新意识定义：若二次 函数y=a1x2+b1x十C1(a1,b1,c1是常数， a1≠0)与y=a2x2+b2x十c2(a2,b2,c2是常 数，a2≠0)满足a1十a2=0,b1=b2,c1十c2= 0,则称这两个函数互为“旋转函数”， 已知函数y=一2(x+1)(x一40的图象与 x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）， 与y轴交于点C,点A,B,C关于原点的对 称点分别是A1,B1,C1.试证明图象经过点 A,B.C的二次函数与函数y=一2x十 1)(x一4)互为“旋转函数”. 知识要点归纳 1.二次函数的表达式共有三种形式：(1)一般式：y =ax2+bx十c(a,b,c为素数，a≠0：(2)项点式y 三a(x-+k(a,h,k为唐数，a≠0：(3)交点 式：y=a(x一x)(x-x2)(a,x,x为常数，a≠0)： 2.用待定系数法确定二次函数表达式 下册第二章 37△(2)配方法： y=-x2+4x+5 =-(x2-4x)十5 =-(x2-4x+4-4)+5 =-(x-2)2十9， .抛物线的顶点坐标为(2,9)： 公式法：a=-1,b=4,c=5, 品2x=2, 4 4ac-&_4X(-1)X5-4=9, 4×(-1) 抛物线的顶点坐标为(2,9). (3)5≤y≤85≤y≤9 5.D6.C7.C8.B9.C10.号1.①③0 12.解：(1)将B(3,0)代入抛物线y=-x2十mx十3，得0=-32 +3m+3, 解得m=2, .y=-x2十2x+3=-(x-1)2+4, .抛物线的顶点坐标为(1,4). (2)如图，连接BC,交抛物线的对称轴1 于点P,则此时PA十PC的值最小 由(1)可得，点C的坐标为(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx十b. 将C(0,3),B(3,0)代入y=kx+b,得 0=3k+b~解得b=3, k=-1, 3=b, .直线BC的表达式为y=-x+3. .抛物线的对称轴为直线x=1, 且当x=1时，y=-1十3=2， .当PA十PC的值最小时，点P的坐标为(1,2) 3确定二次函数的表达式 1.D 2.解：由题意，可设二次函数的表达式为y=a(x一3)2一1. 将(4，-3)代入，得-3=a(4-3)2-1,解得a=-2, .二次函数的表达式为y=一2(x-3)2一1. 3B41-645y-号-号+2 5 6.解：(1)将(-1,10)，(0,5)，(1,2)代入y=ax2+bx十c中，得 a-b+c=10,a=1, c=5,解得b=-4, a+b+c=2, c=5, 该二次函数的表达式为y=x2-4x十5. (2)由(1)知y=x2-4x十5=(x-2)2十1， .当x=2时，y有最小值，最小值为1. 7.D 8.解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x十1)(x-3). 把C0,1代人，得a·1X(-3)=1,解得a=-号 ∴抛物线的表达式为y=一号(x十1)(x一3)，即y=- +号x+1 (2)点P(2,1)在这条抛物线上.理由如下： 当x=2时y=-号×4+号×2+1=1， .点P(2,1)在这条抛物线上. 9.D10.2 11.解：(1)当x=0时，y=一3，当y=0时，x=3, .C(0,-3),B(3,0),.OC=3. .OC=30A,.OA=1,∴.A(-1,0), 把C(0,-3)代入y=a(x+1)(x-3),得a=1, .抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2一4，.M(1, -4). (2)抛物线向左平移号个单位长度，再向下平移号个单位 长度或抛物线向右平移号个单位长度，再向下平移号个单 位长度 12.证明：当x=0时，y=2, 则点C的坐标为(0,2). 当y=0时，-号(x+1D(x-0)=0, 解得x1=一1，x2=4, 则点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为(4,0) 点A,B,C关于原点的对称点分别是A1,B,C, .易得点A1(1,0),B1(-4,0),C1(0,-2). 设图象经过点A!,B1,C1的二次函数表达式为y=a2(x 1)(x十4)，将C(0,-2)代入，得-4a2=-2,解得a,=立： 1 :图象经过点A,B,C的二次函数表达式为y=合(x 1D(0=r+号-2a===-2 又y=-+1x-40=-r+2+2. a+a=+=06=6=号a+=2-2=0, 3 “图象经过点A,B,C的二次函数与函数y=一号（x十1)G 一4)互为“旋转函数”. 解题技巧专题求二次函数表达式的方法 9a-3b+c=0, fa=1, 1.解：由题意，得c=-3, 解得b=2, 4a+2b+c=5, c=-3, .二次函数的表达式为y=x2十2x-3. .y=x2+2x-3=(x十1)2-4， .图象的对称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1，一4）. c=7, a=1, 2.解：(1)由题意，得3a十b十c=4,解得b=-4, 4a+2b+c=3,c=7, .二次函数的表达式为y=x-4x+7. 当x=5时，y=52-4×5+7=12. 故被污染的数据为12. (2)y=x2-4x+7=(x-2)2+3, 抛物线的对称轴为直线x=2,当x=2时，函数取得最小 值3； 当一2≤x<2时，函数值y随x的增大而减小， 当x=-2时，y=(-2)2-4×(-2)十7=19： 当2<x≤3时，函数值y随x的增大而增大， 当x=3时，y=32-4×3+7=4. 综上，当一2x≤3时，函数值y的取值范围为3≤y≤19. 3.y=(x-2)2-1 4.解：设二次函数的表达式为y=a(x一2)2-2. 把C(0,6)代入y=a(x-2)2-2, 得a(0-2)2-2=6,解得a=2, .二次函数的表达式为y=2(x-2)2-2=2x2-8x十6. 将y=0代入y=2(x-2)2-2,解得x1=1,x2=3, 下册参考答案 161