第20章 20.2 勾股定理的逆定理及其应-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 要点提示 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2十b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾殷数. O1固基础 6.（2025赣州寻乌月考)如下图，已知在 △ABC中，D是AB上一点，且AC=20, 知识点1勾股定理的逆定理 CD=12,BC=15,DB=9.求△ABC的 1.在△ABC中，∠B=35°，BC2-AC2=AB2, 面积. 则∠C的度数为 A.35° B.55° C.65 D.90° 2.(2025瑞金月考)下列由线段a,b,c组成的 三角形是直角三角形的是 A.a=4,b=5,c=6B.a=3,b=4,c=5 C.a=2,b=3,c=4D.a=1,b=√2，c=3 3.已知a-5|+√b-12+(c-13)2=0,则以 a,b,c为边长的三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 知识点2勾股数 C.钝角三角形 D.无法确定 7.五根小棒，其长度（单位：cm)分别为7,15， 4.已知△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,AC= 20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形， 10cm,则△ABC的面积是 cm2. 其中正确的是 () 5.如下图，在3×4的正方形网格中，每个小正 24 方形的边长都是1，点A,B,C,D均在小正 3 725 方形的顶点上， 15 25 C D (1)分别求出线段AB,CD的长度. (2)在图中画出一条线段EF,使得EF= 8.有下列几组数：①9,12,15；②8,15,17；③7， 24,25;④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整 √5.以AB,CD,EF三条线段为边能否构成 数).其中是勾股数的有 ( 直角三角形？请说明理由. A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 》易错点 忽略勾股数为正整数致错 9.若3,4，a为一组勾股数，则a的值为 A.7 B.5 C.5或7 D.5或/7 下册第二十章 02提能力 (2)写出正确的解题过程. 10.△ABC的三边长分别为a,b,c,有下列条 件：①∠A=∠B-∠C;②a2=(b+c)(b -c);③a:b：c=3：4:5.其中能判断 △ABC是直角三角形的有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.如图，在△ABC中，BC=25,AC=20,AB …… O3拓思维)之… =15,∠ABC和∠ACB的平分线交于点 15.新定义题定义：如下图，点M,N把线段 D,则∠ABD+∠ACD的度数为( AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN, A.45 B.55 NB为边的三角形是一个直角三角形，则 C.60 D.75 称M,N是线段AB的“勾股分割点”， (1)已知点M,N把线段AB分割成AM, MN,NB,若AM=2,MN=4,BN=2√3， 则M,V是线段AB的“勾股分割点”吗？ 第11题图 第13题图 12.古代数学文化我国清代数学家罗士琳钻 请说明理由. (2)已知M,N是线段AB的“勾股分割 研出一种求勾股数的方法，对于任意正整 点”，且AM为直角边.若AB=12,AM= 数m,n(m>n),取a=m2-n2,b=2mn,c 5,求BN的长. =m2十n2,则a,b,c就是一组勾股数.结 A M N B 合这种方法，85（三个数中最大），84和 可以组成一组勾股数， 13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°， AB=3,BC=4,CD=5,DA=5√2，则BD 的长为 14.纠错题已知a,b,c为△ABC的三边长， 且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断 △ABC的形状.阅读下列解题过程： 解：a2c2-b2c2=a4-b4, .c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),第-步 .c2=a2+b2,第二步 .△ABC为直角三角形.第三步 (1)上述解题过程，从第 步开始 出现错误， 数学八年级RJ版 第2课时勾股定理的逆定理的实际应用 要点提示 勾股定理的逆定理不仅在数学中有广泛应用，还在日常生活和工程建筑中有着重要作用，比如，在建筑设计中， 我们可以通过这个定理来判断角度是否为90°. O1固基础乡 一根拉线.拉线工人发现所用线长为13.2m (不计捆缚部分)，则电线杆与地面 知识点 勾股定理逆定理的实际应用 (填“垂直”或“不垂直”) 1.(2025赣州于都模拟)一名木工师傅测量了 5.下图是某超市购物车的侧面简化示意图，测 一块等腰三角形木板的腰、底边和高的长， 得支架AC=24cm,CB=18cm,两轮中心 但他把这三个数据与其他数据弄混了.下列 的距离AB=30cm.求点C到AB的距离 数据中，属于正确数据的是 (结果保留整数). A.13,12,12 B.12,12,8 C.13,10,12 D.5,8,4 2.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都 是400m/min,甲客轮用30min到达A处， 乙客轮用40min到达B处.若A,B两处的 直线距离为20000m,甲客轮沿着北偏东 30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能 是 () A.北偏西30° B.南偏西30 6.小明计划制作一架小型飞机 C.南偏东60° D.南偏西60 模型，右图所示的四边形材料 3.如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然 是飞机垂直尾翼，小明测量发 后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的 现AB=13cm,AD=5cm,∠DBC=90°， 长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角 BC=16cm,CD=20cm.根据设计要求需 形，其中长为5个结间距的边所对的角便是 保证AD∥BC.请判断该尾翼是否符合设计 直角.依据是 要求，并说明理由. (13) (1) 、(12 11) (3) 10) (9) (4) (5)(6)(7)(8) 第3题图 4.一根电线杆高12m,为了安全起见，在电线 杆顶部到与电线杆底部水平距离5m处加 下册第二十章 02提能力多 7.某景区内有一块四边形空地如下图所示，景 区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪， 需要测量其面积.经技术人员测量∠ABC= 90°，AB=20m,BC=15m,CD=7m,AD =24m. (1)请你帮助管理人员计算出这个四边形对 角线AC的长度. (2)请用学过的知识帮助管理人员计算出这 。 O3拓思维 块空地的面积. 9.在学校组织的研学活动中，某小组合作搭建 帐篷.下图所示的是他们搭建帐篷的支架示 意图.在△ABC中，一根支架AD⊥BC于 点D,另一根支架AE的端点E在线段BD 上，且AE=BE,测得BD=1.6m,AD= 1.2m,AC=1.5m.根据测量结果，解答下 面的问题： (1)求AE的长. (2)按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的 角为直角时，帐篷最为稳定.请通过计算说 明该小组搭建的帐篷是否是最稳定的 8.应用意识(2025佛山南海区月考)图①、图 ②分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意 图.根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿 DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即 DE=BC=AB=60cm,点B,F在线段AC 上，点C在DE上，支杆DF=30cm.当EC =24cm时，B,D相距48cm,连接BD,试 判定BD与DE的位置关系，并说明理由 图① 图② 2 数学八年级RJ版设BC=x,则AE的长即为代数式√+4十 √/(12一x)2+9的最小值. 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得到长方 形ABDF,则AB=DF=2,AF=BD=12, .EF=ED+DF=3+2=5, .AE=√AF+EF=√122+5=13， 即√/x2+4+√(12-x)2+9的最小值为13. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.B2.B3.B4.24 5.解：(1)AB=√2+32=√/13， CD=√22+2=8=2√2. (2)如图，线段EF即为所求， 能构成直角三角形.理由如下： AB2=(√13)2=13，CD2= (2√2)2=8，EF2=(W5)2=5, .∴.CD2+EF2=AB2, ,∴.以AB,CD,EF三条线段为边能 构成直角三角形 6.解：CD2+BD2=144+81=225,BC2=225, .CD2+BD2=CB2,∴.CD⊥AB. ∴.∠ADC=90°，∴.AD=√AC2-CD=16, .AB=AD+DB=16+9=25, 1 △ABC的面积=2X25X12=150. 7.C8.D9.B10.D 11.A【解析】.BC=25,AC=20,AB=15, .AC2+AB2=202+152=625,BC2=625, ..AC2+AB2=BC2, ∴.△ABC是直角三角形，且∠A=90°， ∴.∠ABC+∠ACB=90°. :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∠ABD=∠ABC,∠ACD= ∠ACB, 1 ·∠ABD+∠ACD=Z∠ABC+Z∠ACB= 2∠ABC+∠ACB)=号×90r=45 12.13 13.√65【解析】过点D作DM⊥BC,交 BC的延长线于点M,如图所示，则 ∠M=90°， ∴.∠DCM+∠CDM=90° ∠ABC=90°，AB=3,BC=4, .AC2=AB2+BC2=25,AC=5. AD=5√2，CD=5,∴.AC2+CD2=AD, .△ACD是直角三角形，∠ACD=90°， .∠ACB+∠DCM=90°，∴∠ACB=∠CDM. 数学八年级RJ版 I∠ACB=∠CDM, 在△ABC和△CMD中，∠ABC=∠M=90°， AC=CD. .△ABC≌△CMD(AAS),∴.CM=AB=3,DM= CB 4,.BM BC CM =7,.BD √BM+DM=√/72+4=√65 14.解：(1)二 (2)a2c2-bc2=a4-b,.c2(a2-b2)=(a2+ b2)(a2-b2),.∴.c2=a2+b2或a2=b2, ∴.△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三 角形. 15.解：(1)M,N是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： .'AM=2,MN=4,BN=2√3， .AM2+BN2=22+(25)2=4+12=16,MN2=4 =16, ..AM+BN=MN2, 以AM,MN,NB为边的三角形是直角三角形， ∴M,N是线段AB的“勾股分割点”. (2)设BN=x(x>0). AB=12,AM=5, ..MN=AB-AM-BN=12-5-x=7-x. ,M,N是线段AB的“勾股分割点”，且AM为直 角边， ∴.分以下两种情况讨论： ①若MN为斜边，则AM+BN2=MN2, 即52十x2=(7-x)2, 12 解得x=7: ②若BN为斜边，则AMP+MN=BN2, 即52+(7-x)2=x2, 37 解得x=7 12.37 综上所述，BN的长为气或7 第2课时勾股定理的逆定理的实际应用 1.C2.C 3.如果三角形的三边长a,b,c满足a2十b2=c2,那么这 个三角形是直角三角形 4.不垂直 5.解：设点C到AB的距离为hcm.242+182=302, .AC2+BC2=AB2,.△ABC是直角三角形，且 AC·BCAB· ∠ACB=90°，∴S△Ac= 2 2 ,.24×18 =30·h,解得h≈14.故点C到AB的距离约为 14cm. 6.解：该尾翼符合设计要求.理由如下： :∠DBC=90°，.△DBC是直角三角形。 根据勾股定理，得BD2=CD2一BC2=202一162=144. .AB=13 cm,AD=5 cm, .AB2=169,AD2=25,.AD2+BD=AB2, △ABD是直角三角形，∠ADB=90°， ∠ADB=∠DBC,∴.AD∥BC. 7.解：(1)如图，连接AC.在Rt△ABC 中，：∠B=90°，AB=20m,BC= 15m, ∴.AC=√AB2+BC=√20+15= 25(m). 故这个四边形对角线AC的长度为25m. (2)在△ADC中，CD=7m,AD=24m,AC=25m, ∴.AD2+CD2=242+72=252=AC2, ∴.△ADC为直角三角形，∠ADC=90°， SaMD=Sar+Sac=2×15X20+2×7X 1 24=234(m2). 故这块空地的面积为234m2. 8.解：BD⊥DE.理由如下： 在△BDC中，BD=48cm,BC=60cm,CD=60-24= 36(cm). :BC2=602=3600,CD2+BD2=362+482=3600, ..BC2=CD2+BD2, .△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， ∴.BD⊥DC,即BD⊥DE. 9.解：(1)设AE=xm,则BE=AE=xm, .'ED=BD-BE=(1.6-x)m. :AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD十ED=AE2, 1,2+1.6-=x解得x=号 5 AE的长为年m (2)在Rt△ABD中，BD=1.6m,AD=1.2m, .AB=√BD2+AD=√1.62+1.2=2(m). 在Rt△ADC中，AD=1.2m,AC=1.5m,.CD= √AC2-AD2=√1.5-1.2=0.9(m), ∴.BC=BD+CD=2.5m. AB2+AC2=22+1.52=6.25,BC2=2.5=6.25, .AB2+AC2=BC2, ∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°， 该小组搭建的帐篷是最稳定的 本章小结 1.C2.B3.B 4.2.5【解析】如图，连接AB,AC.由勾股 定理，得AB2=0.92+1.22=1.52,∴AC =√1.52+2=2.5(m),∴.电梯内能放 入这些木条的最大长度是2.5m. 1.2m 5.号【解析1由图②及等腰三角形的性质4 可知， MG=BC=6,AB=DF,∠M=∠C, .在图③中，∠DMC=∠DCM,∴.DM=DC. 在图③中，：∠DMC+∠G=∠DCM+∠DCG=90°， .∠G=∠DCG,∴.DG=CD,∴DC=DM=DG= 2MG=3 设AB=DF=x,则AC=AD十CD=x十3. 在Rt△ABC中，AB+BC2=AC2, x2+62=(x+3)2, 9 9 解得x=2…AB=2 6.解：(1)，在Rt△OAC中，AC=25m,AO=7m, ∴由勾股定理得AO2十CO2=AC2, 即7+C02=252,解得C0=24(负值已舍去). 故云梯顶端C与墙角O的距离CO的长为24m. (2):CD=4m,C0=24m, ∴.OD=C0-CD=24-4=20(m). 在Rt△OBD中，BD=25m,OD=20m, 由勾股定理得OD2十OB2=BD2, 即202+0B=252,解得OB=15(负值已舍去). :OA=7m,∴.AB=OB-OA=15-7=8(m). 故云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为8m. 7.C8.C 9.直角【解析】由题意，得S,=x×(分AC)- 1 AC2, S,=x×(分BC)=xBC,S=x×(3AB)'= 4πAB. :S,+S,=S,即AC+BC=AB, AC2+BC2=AB2,∴.△ABC为直角三角形. 10.解：(1)△ABC为直角三角形. 理由：：DE⊥AC,DE=4m,△ACD的面积是 26m2, .AC=13m. .'AB=12 m,BC=5 m, ..AB2+BC2=AC2, .△ABC为直角三角形. (2)由(1)知△ABC为直角三角形， 1 .S四边形ABCD=S△ABC十S△ACD= 2AB·BC+26二 ×12×5+26=56(m2), .这块四边形绿地ABCD的面积为56m. 第二十一章四边形 21.1四边形及多边形 21.1.1四边形及其内角和 1.D2.240° 3.解：图①：四边形的内角和等于360°， ∴.x十2x+4x十3x=360,解得x=36. 图②：依题意，得x十2x+3x+120=360,解得x=40. 下册参考答案