第20章 20.1 勾股定理及其应用-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理 要点提示 1.勾股定理：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 如右图，a2十b2=c2→a2=c2-b2,b2=c2-a2. 2.勾股定理的验证：通常运用拼图的方法验证勾股定理，关键是利用两种不同的方法表示同一个图 形的面积，得到一个关于a,b,c的恒等式，经化简整理得到a2十b2=c2 O1固基础之 学定理之一，也是历史上第一个把数与形联 系起来的定理，其证明是论证几何的发端. 知识点①勾股定理 下面四幅图中，能证明勾股定理的有 1.若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别 个 为8和10，则另一条直角边的长是( ) A.3 B.9 C.6 D.36 2.(2025南昌期中)如图所示的 是由一个直角三角形和三个正 图① 图② 图③ 图④ 方形组成的图形.若正方形B, 第5题图 C的面积分别为16,25，则正 6.如右图，在Rt△ABC和Rt△BDEC可 第2题图 方形A的面积为 中，∠C=∠D=90°，AC=BD= 3.古代数学文化勾股定理在《九章算术》中的 a,CB=DE=b,AB=BE=c,且 表述是“勾股各自乘，并而开方除之，即 B,C,D三点在同一条直线上.试D 利用图形证明勾股定理， 弦”，即c=√a2十b2(a为“勾”，b为“股”，c 为“弦”).若“勾”为3，“股”为5，则“弦”最 接近的整数是 4.(教材变式)在Rt△ABC中，AB=c,BC= a,AC=b,∠B=90° (1)已知a=5,b=13,求c. (2)已知a=8,c=15,求b. 〉易错点 对斜边、直角边分类不清致错 7.已知一个直角三角形的两条边长分别 为3和5，则第三条边长为 A.4 B.2或/34 知识点2勾股定理的验证 C.4或√34 D.2或2√6 5.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数 下册第二十章 02提能力◆ 03拓思维之 8.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC= 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB= 16,D为BC的中点，DE⊥AB于点E,则 10,BC=6.若点P从点A出发，沿折线A DE的长为 ( -C-B-A运动，每秒移动1个单位长度， A.1.2 B.1.6 设运动时间为ts(t>0) C.2.4 D.4.8 (1)若点P在AC上，且满足PA=PB,求 t的值. S2 (2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求 A S B t的值. 第8题图 第9题图 9.如图，在四边形ABCD中，∠DAB= ∠BCD=90°，分别以四边形ABCD的四条 边为边向外作四个正方形，面积分别为S1, S2,S3,S4.若S1=48,S2+S3=135,则S4 备用图 () A.183 B.87 C.119 D.81 10.如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，分别以各边 为直径作半圆，图中阴影部 第10题图 分在数学史上称为“希波克 拉底月牙”.当AC=3,BC=4时，阴影部 分的面积为 11.在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD= 12,则BC的长为 12.如右图，在△ABC中，AB= AC,CD⊥AB,垂足为D.已知 BC=10,CD=8,求AC的长. 数学八年级RJ版 第2课时勾股定理的实际应用 要点提示 勾股定理的实际应用：将实际问题建立直角三角形模型，通过勾股定理解决实际问题 O1固基础念 的高度为 ( 。。 A.6m B.8 m C.10mD.12m 知识点 勾股定理的实际应用 5.（2025南昌期中)如下图，《九章算术》中记载 1.(教材变式)如图，为了测出湖两岸A,B之 了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末 间的距离，观测者在C处设桩，使△ABC恰 折抵地，去本三尺，问折者高几何.题意是一 好为一个直角三角形（∠ABC=90).通过 根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处 测量得到AC的长为10km,BC的长为 折断，竹梢触地处离竹根3尺，问折断处离 8km,那么A,B之间的距离为 地面多高（竹子垂直于地面）.请你解答这个 A.8 km B.6 km 问题， C.10 km D.11km B· 第1题图 第2题图 2.如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB 为1.5m,为了方便卸货，常用一块木板AC 搭成一个斜面.已知B,C的距离为2m,则 木板AC的长为 () 6.如下图，在笔直的公路旁边有A,B两个村 A.2m B.2.2mC.3m D.2.5m 庄，村庄A到公路的距离AC=8km,村庄 3.图①是中央红军长征集结出发地的新地标集 B到公路的距离BD=14km,测得C,D两 结大桥，它是单塔双索面斜拉景观大桥.图② 点之间的距离为20km.现要在C,D两点之 是其截面示意图.已知AB⊥CD,AB=90m, 间建一个服务区E,使得A,B两个村庄到 BC=BD=120m,则拉索AC的长是() 服务区E的距离相等，求CE的长。 图① 图② 第3题图 A.150mB.160mC.180mD.200m 4.小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树 上.他想知道风筝距地面的高度，于是他先 拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出 1m,然后把风筝线沿直线向后拉开5m,发 现风筝线末端刚好接触地面.风筝距离地面 下册第二十章 02提能力 (2)求改造后A,B之间的管道减少的长度， 7.如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒 的内部底面直径是9cm,内壁高为12cm. 若铅笔的长为20cm,则这支铅笔露在笔筒 外面的长度！的取值范围是 () A.9cm≤l≤12cmB.5cm≤l≤8cm C.5 cm<l<9 cm D.12cm≤l≤20cm 感应器1A ……心O3拓思维之… C 第7题图 第8题图 10.应用意识如下图，A城气象台测得台风中 8.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个 心在A城正西方向600km的B处.台风 感应器，感应器离地面的距离AB=2.5m, 以200km/h的速度向北偏东60°的方向移 当人进入感应器的感应范围内时，感应门就 动，距台风中心500km的范围内是受台风 会自动打开.一个身高1.6m的学生CD正 影响的区域. 对门，缓慢走到离门1.2m的地方(BC= (1)A城是否受到这次台风的影响？为 1.2m)时，感应门自动打开，则AD= 什么？ m. (2)若A城受到这次台风的影响，则A城 9.入冬前，某区对部分旧城区暖气管道进行修 遭受这次台风影响有多长时间？ 缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太 北 多，容易带来安全隐患，决定进行改造.管道 A→B改造方案如下图所示（实线为改造前， 609 虚线为改造后，所有实线均平行或垂直). 100m 20m 70m B 120m 30m 170m (1)求改造前原有管道的长度， 16 数学八年级RJ版 第3课时勾股定理的作图与计算 要点提示 利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点 O1固基础念 A为圆心，AB的长为半径画弧，交网格线 于点D,则ED的长为 () 知识点1勾股定理与无理数 A.√5 B.3 1.(2025赣州寻乌月考)如图，长方形ABCD C.2 D.13 的顶点A,B在数轴上，点A表示一1，AB= 3,AD=1.若以点A为圆心，对角线AC的 知识点③勾股定理与图形变换 长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M,则 5.如图，有一张直角三角形纸片ABC,∠ACB 点M所表示的数为 =90°，AC=4cm,BC=3cm.将三角形纸片 沿AD翻折，使点B落在直角边AC延长线 A.√/10-1 B.√10 上的点E处，则CE的长为 () C.√10+1 D.√10+2 A.1cm B.1.5 cm C.2 cm D.3 cm 2-1012 第1题图 第2题图 2.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为 (一2,3)，以点O为圆心，OP的长为半径画 C D 第5题图 第6题图 弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐 6.如图，小明将一张长为20cm、宽为15cm的 标在 长方形纸(AE>DE)剪去了一角.量得AB A.3与4之间 B.-4与-3之间 =3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的 C.-5与-4之间 D.4与5之间 斜边长为 知识点2勾股定理与网格 A.5cm B.12 cm 3.如图所示的是一个围棋棋盘的局部.若棋盘 C.16 cm D.20 cm 是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、 7.如图，在长方形ABCD中，AD=3.将长方形 白两棋子的距离为 ( ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到长方 A.√2 B.3 C.23 D.25 形AEFG,点B的对应点E落在CD上，且 DE=EF,则AB的长为 第3题图 第4题图 4.如图，网格中每个小正方形的边长均为1， A,B,E均为格点（小正方形的顶点），以点 第7題图 下册第二十章 02提能力 8.如图，边长为1的4个小正方形拼成了1个大 正方形，连接其中三个格点（正方形的顶点）可 得△ABC,则AC边上的高是 () 3√2 3√5 、45 A. B. c.35 2 10 5 0.5 第8题图 第9题图 …… O3拓思维 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A 12.应用意识如右图，C为线 为圆心，AB的长为半径作弧交CB于点D, 段BD上一动点，分别过点 1 再分别以点B,D为圆心，大于2BD的长为 B,D作AB⊥BD,ED⊥ B 半径作弧，两弧交于点P,作射线AP交BC BD,连接AC,EC.已知AB=5,DE=1, 于点E.若AB=6,AC=8,则CD= BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC+CE的长， (2)当点C满足什么条件时，AC+CE的 10.如图，正方形网格中的每个小正方形边长 值最小？ 都是1，小正方形的顶点叫作格点，以格点 (3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式 为顶点分别按下列要求画图， √x2+4+√(12-x)2+9的最小值， (1)在图①中，画一个三角形，使它的三边 长都是有理数。 (2)在图②中，画一个直角三角形，使它们 的三边长都是无理数 (3)在图③中，画一个正方形，使它的面积 是10. 图① 图② 图③ 11.如右图，在平面直角坐标系中， 四边形OABC为长方形，OA= 6,OC=8.将△ABC沿对角线 AC翻折，使点B落在点B处， AB'与y轴交于点D.求点D的坐标. ⊙ 数学八年级RJ版S,=(a+b) =(5)3=5√5， asb S。=a+b)0 =(5)°=125. abs 14.解：(1)3+2√2 (2):点B关于点A对称的点为C, ∴.x=1-(W2-1)=2-2, :x+2=2-2+。2 2-√2 =2-√2+ 2(2+√2) 【2-22+@2=2++322-2+2+D 2 =4. 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理 1.C2.93.6 4.解：(1)：∠B=90°，a=5,b=13, ∴.c2=b2-a2=132-52=144,.c=12. (2)∠B=90°，a=8,c=15, .b2=a2+c2=82+152=289.∴.b=17. 5.3 6.证明：：AC=BD,CB=DE,AB=BE, ∴.△ACB≌△BDE(SSS), ∴.∠BAC=∠EBD :∠C=90°， ∴.∠ABC+∠BAC=90, .∠ABC+∠EBD=90°， ,∴.∠ABE=90°. :S AABC十S ABDE十S AABE=S#形ACDE, a6+2+0=2a+6 1 1 1 ∴.2ab+c2=a2+2ab+b2, .∴.a2+b2=c2. 7.C 8.D【解析】AB=AC=10,BC=16,D为BC的中 点，∴ADLBC,且BD=CD=BC=8.在R△ABD 中，根据勾股定理得AD=√AB2一BD=√102一8 -6.SAm =BD AD =AB DE,8x6= 2 2 2 10·DE 2 ,解得DE=4.8. 9.B【解析】由题意，知S1=AB2,S =BC2,S =CD2,S=AD*. S2 如图，连接BD. 在Rt△ABD和Rt△BCD中，由勾 股定理，得BD2=AB2十AD2=CD2十BC2, 即S1+S4=S3+S2,∴.S4=135-48=87. 数学八年级RJ版 10.6【解析】由题意，得阴影部分的面积=以AC为直 径的半圆面积十以BC为直径的半圆面积十S△A 以AB为直径的半圆面积.在Rt△ACB中，由勾股定 理，得AB=√AC+BC=√32十4=5，∴.S關影= 日x(2)广+x×()+号x3x4-日x× ()=6. 11.14或4【解析】分以下两种情况讨论： ①如图①.在Rt△ACD中，AC=13,AD=12, .CD=√AC-AD=√13-12=5.在Rt△ABD 中，AB=15,AD=12,∴.BD=VAB-AD= 15-12=9,∴.BC=BD+DC=9+5=14; ②如图②..在Rt△ACD中，AC=13,AD=12, ∴.CD=√AC2-AD=√132-12=5.在Rt△ABD 中，AB=15,AD=12,.BD=√AB2-AD= √15-12=9，∴.BC=DB-DC=9-5=4. 综上所述，BC的长为14或4. 图① 图② 12.解：.CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC=90°. 在Rt△BCD中，BD=√BC2-CD=6. 设AC=AB=x,则AD=x一6. 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2, 即r=(-6)+8,解得=空AC=写 3 13.解：(1)在Rt△ACB中，AB=10,BC=6, ∴.AC=√AB2-BC=√102-6=8. 由题意，得PA=PB=t,则PC=8一t. 在Rt△PCB中，由勾股定理，得PC2+BC2=PB, 即(8-t)2+62=t2, 解得(-空放：的值为5 (2)如图，过点P作PE⊥AB于点E,A PC=t-8,PB=BC-PC=14-t. :AP平分∠BAC,且PC⊥AC, PE=PC.又AP=AP, ,.Rt△PAC≌Rt△PAE(HL), ..AE=AC=8, ∴.BE=AB-AE=2 在Rt△PEB中，由勾股定理，得PE+EB=PB2, 即(t-8)2+22=(14-t)2, 解得-积 故：的值为号 第2课时勾股定理的实际应用 1.B2.D3.A4.D 5.解：如图，设折断处离地面的高度AB为x 尺，则AC=(10一x)尺. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC =AC2, .x2+32=(10-x)2,解得x=4.55, 即折断处离地面的高度为4.55尺. 6.解：设CE=xkm,则DE=(20-x)km 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE2=AC2十CE2. 在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2=BD2十DE2」 由题意，得AE=BE,∴AC2十CE2=BD2+DE2, .82+x2=14+(20-x)2,解得x=13.3, ∴.CE的长为13.3km. 7.B 8.1.5【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点 感应器A E,BE=CD=1.6 m,ED=BC=1.2 m,D. ∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9(m).在 Rt△ADE中，由勾股定理，得AD= √JAE+ED2=√/0.92+1.2=1.5(m). 9.解：(1)170+30+120+70+100+20=510(m). 故改造前原有管道的长度是510m. (2)如图，过点B作BC⊥ 100m 120m AM于点C. 70m B 由图可知，AC=170-(120 -100)=170-20=150 120m 30m (m),BC=30+(70-20)A9 170mC =30+50=80(m), .AB=√AC2+BC=√150+80=170(m), 510-170=340(m). 故改造后A,B之间的管道减少的长度为340. 10.解：(1)A城受到这次台风的影响.理北 由如下： G/C 过点A作AM⊥BC,垂足为M,如图. M 在Rt△ABM中，∠ABM=30°，AB= 1 600 km,AM=2AB=300 km. .300<500, .A城受到这次台风的影响. (2)在BC上取一点D,使DA=500km,再取一点G, 使AG=500km. :DA=AG,∴.△ADG是等腰三角形. .AM⊥BC ∴.AM是DG的垂直平分线， ∴.MD=GM. 在Rt△ADM中，DA=500km,AM=300km. 由勾股定理，得MD=√AD-AM产=400km, 则DG=2DM=800km, ∴.A城遭受这次台风影响的时间为800÷200= 4(h). 第3课时勾股定理的作图与计算 1.A2.B3.D4.A5.A6.D7.32 8.C【解析】设AC边上的高是h. 1 由题意知，Sa=2X2-2X2X1X2-2X1X1= 3 2AC=V+2=5. 2,解得h=36 5 35 AC边上的高是 99 【解析】：∠BAC=90°，AB=6,AC=8,.BC= √AB+AC=√62+8=10. 根据作图过程可知，AP是BD的垂直平分线， .BE=DE,AE⊥BD, 1 1 六SaA=2AB·AC=ZBC·AE, AE-器 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE=√AB一AE √6-(T-BD=2BE- 51 cD=B0-BD=10-25-4 10.解：(1)如图①所示，△ABC即为所求. (2)如图②所示，△DEF即为所求（答案不唯一） (3)如图③所示，正方形PQRS即为所求. 图① 图② 图③R 11.解：由折叠的性质，可知∠B'AC=∠BAC. 四边形OABC是长方形，∴.OC∥AB, ∴.∠BAC=∠DCA,∴.∠B'AC=∠DCA, ∴.AD=CD. 设OD=x,则DC=AD=8-x. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2+OD2=AD2, 即62+x2=(8-x),解得x=4 “点D的坐标为(0，-子)】 12.解：(1)AC+CE=√BC+AB+√CD2+DE= √(8-x)2+25+√x2+1. (2)当A,C,E三点共线时，AC+CE的值最小. (3)如图，作BD=12,过点B作A AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使 D AB=2,ED=3,连接AE交BD 于点C. 下册参考答案 设BC=x,则AE的长即为代数式√+4十 √/(12一x)2+9的最小值. 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得到长方 形ABDF,则AB=DF=2,AF=BD=12, .EF=ED+DF=3+2=5, .AE=√AF+EF=√122+5=13， 即√/x2+4+√(12-x)2+9的最小值为13. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.B2.B3.B4.24 5.解：(1)AB=√2+32=√/13， CD=√22+2=8=2√2. (2)如图，线段EF即为所求， 能构成直角三角形.理由如下： AB2=(√13)2=13，CD2= (2√2)2=8，EF2=(W5)2=5, .∴.CD2+EF2=AB2, ,∴.以AB,CD,EF三条线段为边能 构成直角三角形 6.解：CD2+BD2=144+81=225,BC2=225, .CD2+BD2=CB2,∴.CD⊥AB. ∴.∠ADC=90°，∴.AD=√AC2-CD=16, .AB=AD+DB=16+9=25, 1 △ABC的面积=2X25X12=150. 7.C8.D9.B10.D 11.A【解析】.BC=25,AC=20,AB=15, .AC2+AB2=202+152=625,BC2=625, ..AC2+AB2=BC2, ∴.△ABC是直角三角形，且∠A=90°， ∴.∠ABC+∠ACB=90°. :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∠ABD=∠ABC,∠ACD= ∠ACB, 1 ·∠ABD+∠ACD=Z∠ABC+Z∠ACB= 2∠ABC+∠ACB)=号×90r=45 12.13 13.√65【解析】过点D作DM⊥BC,交 BC的延长线于点M,如图所示，则 ∠M=90°， ∴.∠DCM+∠CDM=90° ∠ABC=90°，AB=3,BC=4, .AC2=AB2+BC2=25,AC=5. AD=5√2，CD=5,∴.AC2+CD2=AD, .△ACD是直角三角形，∠ACD=90°， .∠ACB+∠DCM=90°，∴∠ACB=∠CDM. 数学八年级RJ版 I∠ACB=∠CDM, 在△ABC和△CMD中，∠ABC=∠M=90°， AC=CD. .△ABC≌△CMD(AAS),∴.CM=AB=3,DM= CB 4,.BM BC CM =7,.BD √BM+DM=√/72+4=√65 14.解：(1)二 (2)a2c2-bc2=a4-b,.c2(a2-b2)=(a2+ b2)(a2-b2),.∴.c2=a2+b2或a2=b2, ∴.△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三 角形. 15.解：(1)M,N是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： .'AM=2,MN=4,BN=2√3， .AM2+BN2=22+(25)2=4+12=16,MN2=4 =16, ..AM+BN=MN2, 以AM,MN,NB为边的三角形是直角三角形， ∴M,N是线段AB的“勾股分割点”. (2)设BN=x(x>0). AB=12,AM=5, ..MN=AB-AM-BN=12-5-x=7-x. ,M,N是线段AB的“勾股分割点”，且AM为直 角边， ∴.分以下两种情况讨论： ①若MN为斜边，则AM+BN2=MN2, 即52十x2=(7-x)2, 12 解得x=7: ②若BN为斜边，则AMP+MN=BN2, 即52+(7-x)2=x2, 37 解得x=7 12.37 综上所述，BN的长为气或7 第2课时勾股定理的逆定理的实际应用 1.C2.C 3.如果三角形的三边长a,b,c满足a2十b2=c2,那么这 个三角形是直角三角形 4.不垂直 5.解：设点C到AB的距离为hcm.242+182=302, .AC2+BC2=AB2,.△ABC是直角三角形，且 AC·BCAB· ∠ACB=90°，∴S△Ac= 2 2 ,.24×18 =30·h,解得h≈14.故点C到AB的距离约为 14cm. 6.解：该尾翼符合设计要求.理由如下： :∠DBC=90°，.△DBC是直角三角形。 根据勾股定理，得BD2=CD2一BC2=202一162=144. .AB=13 cm,AD=5 cm, .AB2=169,AD2=25,.AD2+BD=AB2,