第三章 第二节 一次函数及其应用-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

2024次运算后得到点(2,1). 3.B[解析]如图所 示，分别过点A和 B 点B作x轴的垂 M N x 线，垂足分别为M 和N.由旋转可知，OA=OB,∠AOB= 90°，.∴.∠AOM+∠BON=∠A ∠AOM=90°，∴.∠A=∠BON.在 [∠A=∠BON, △AOM和△OBN中，∠AMO=∠ONB, OA-OB. ..△AOM≌△OBN(AAS),..BN= MO,ON=AM.点A为（一4,6）， ∴.BN=MO=4,ON=AM=6,.点B 为(6,4) 4.4,一4)[解析]过点D作DE⊥y轴 于点E,如图. A E D 点A(0,一2)，B(1,0),.OA=2,OB= 1.线段AB平移得到线段DC,·AB∥ CD,AB=CD,∴.四边形ABCD是平行 四边形..∠ABC=90°，.四边形ABCD 是矩形，∴.∠BAD=90°，BC=AD.,BC= 2AB,∴.AD=2AB..∠BAO+∠DAE= 90°，∠BAO+∠ABO=90°，.∠ABO= ∠EAD.∠AOB=∠AED=90°， AABO△DAE.AO_BO-AB ·DE AE DA 7,.DE=20A=4,AE=20B=2 .OE=OA十AE=4,.D(4,-4). 5.D[解析]下层圆柱底面半径大，水面 上升快，上层圆柱底面半径稍小，水面上 升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对 应图象是第一段比较陡，第二段比第一 段缓，第三段比第二段缓. 6.D 7.A[解析]当点P运动到C处时， △ABP的面积y=6,即2 ACX BC- 6,即ACX BC=12.又由图象可知，点P 从点A出发沿A→C→B以1cm/s的 速度速运动至点B的时间为7s,即 AC+BC=7,.(AC+BC)2=49, ∴.AC2+BC2+2AC×BC=49,.AC2+ BC2=25..AC2+BC2=AB2,..AB=5. 8.A 第二节一次函数及其应用 知识网络 ①0②减小 ④(0，b) ⑤横坐标⑥自变量⑦一条直线 x=a, ⑧ (y=b 当堂检测 1.D[解析]A.正比例函数图象经过第 二、四象限，则<0，则一次函数y=x 十飞的图象应该经过第一、三、四象限， 选项错误；B.正比例函数图象经过第一 三象限，则k>0,则一次函数y=x十 的图象应该经过第一、二、三象限，选项 错误；C.正比例函数图象经过第一、三象 限，则>0，则一次函数y=x十的图 象应该经过第一、二、三象限，选项错误； D.正比例函数图象经过第一、三象限， 则>0，则一次函数y=x十的图象应 该经过第一、二、三象限，选项正确. 2.C[解析]，一次函数y=(m-3)x+ m十2经过第一、二、四象限，∴m-3< 0,m+2>0,解得一2<m<3. 3.x<1 4.y=x+1(答案不唯一)[解析]，直线 y=x十b与两坐标轴围成的三角形是 等腰三角形，.可设直线y=kx十b与x 轴的交点坐标为（一1,0），与y轴的交点 坐标为(0,1).把（一1,0），(1,0)分别代 入y=x+6得厂&+6=0， 解得 b=1, =1:此时直线解析式为y=x十1. b=1, (答案不唯一) 5.5[解析]由题图知快递车行驶2nm所 需时间为(40一30)min,∴.快递车行驶 总时间为3×(40一30)=30min,.快递 车在每个驿站卸包裹的时间为(40一30) ÷2=5min. 6.(-3,1) 安徽十年精选 1.D 2.D[解析]：当x=1时，y=ax十a2与 y=a2x十a两函数的值都是a2十a, .两直线的交点的横坐标为1.若a>0, ·8· 则一次函数y=ax十a2与y=a2x十a 的图象都是自左向右呈上升趋势，且都 交y轴的正半轴；若a<0,则一次函数 y=ax十a2图象自左向右呈下降趋势、 交y轴的正半轴，y=a2x十a图象自左 向右呈上升趋势、交y轴的负半轴，且两 直线的交点的横坐标为1.故选项D的 图象符合题意. 【变式训练】 1.D 2.D[解析]根据题图可知当k>0时， b>0;当k<0时，b>0或b=0或b <0.故不存在“k>0,b<0”的情况， 由此可知函数y=kx十b的图象不可 能是选项D中的图象. 3.5[解析]设直线AB的解析式为y1= k1x十b1,将点A(0,2),B(2,3)的坐标代 入，得 b1=2, 解得 6,1 21 2k1十b1=3, b1=2, 十6=多设直线AC的怒折式 为y2=k2x十b2,将点A(0,2),C(3, b2=2, 1)的坐标代入，得 解得 3k2十b2=1, 1 2=二32十b2=3,设直线 b2=2, BC的解析式为y3=k3x十b3,将点B (2,3),C（3,1)的坐标代入，得 2ka十b3=3, 解得 3k3十b3=1, b3=7, =561+6=号k,十6：=号， 十b3=5,其中最大的值为5. 3.B[解析]根据题意设函数解析式为 y=kx十b(k≠0)，由题意知，x=22时， y=16,x=44时，y=27, 16=22k+b, 解得 k 1 2’函数解 27=44k+b, b=5, 析式为y=7x十5.当x=38时y= 1 ×38+5=24. 2 【变式训练】 解：（1)员工生产30件产品时，两种方案 付给的报酬一样多。 (2)设方案二的函数图象解析式为y= kx十b,将点(0,600)，点(30,1200)代入 30k十b=1200, 解析式中，得 解得 b=600, k=20, 即方案二y关于x的函数表达式 b=600, 为y=20x+600. (3)由两方案的图象交于点(30,1200) 可知：若销售量x的取值范围为0<x 30,则选择方案二；若销售量x=30,则 选择两个方案都可以；若销售量x的取 值范围为x>30,则选择方案一 全国真题汇编 1.A[解析]由图象可得，b1=2,b2=一1， k1>0,k2>0,∴.b1十b2>0,故选项A正 确，符合题意；b1b2<0,故选项B错误， 不符合题意；k1十k2>0,故选项C错误， 不符合题意；k1k2>0,故选项D错误，不 符合题意. 2.A[解析]当m十1>0，即m>一1时， y随x的增大而增大，.当x=5时，一 次函数y=(m十1)x十m2+1有最大值 6,∴.5(m+1)+m2+1=6,解得m1=0, m2=一5（舍去）.当m十1<0，即m< 一1时，y随x的增大而减小，.当x=2 时，-次函数y=(m十1)x十m2十1有 最大值6，∴.2(m+1)+m2+1=6,解得 m1=-3,m2=1(舍去).综上，当2≤ x≤5时，一次函数y=(m十1)x十m2十 1有最大值6，则实数m的值为0或一3. 3.B[解析]当x=8时，y=是×8=6， 点B的坐标为(8,6)，.OB= √(8-0)2+(6-0)=10.，四边形 AOBC是菱形，且AO在x轴上，∴.BC= OB=10,且BC∥x轴，∴.点C的坐标为 (8-10,6),即(-2,6). 4.B 5.x=一2[解析]OA=2,.一次函数 y=x十b(≠0)的图象与x轴相交于 点A(一2,0)，.关于x的方程x+b= 0的解为x=一2. 6合<a<号 7.解：(1)直线y=一kx+3过点(2,1)， ,一2k十3=1，解得k=1.将点(2,1)代 入y=x十b,得2十b=1,解得b=一1. (2)m≥1. [解析]如图，由图象可得，m≥1. y=-x+3 v=mx 2 5-4-3-2 -5H 8.A[解析]蛇的长度y(cm)是其尾长 x(cm)的一次函数，设y=kx十b,把 x=6时，y=45.5;x=8时，y=60.5代 (6k+b=45.5, 入得 解得 8k+b=60.5, 使=1.5y b=0.5, 与x之间的关系式为y=7.5x十0.5. 9.解：(1)设一个甲种品牌毽子m元，一个 乙种品牌毽子n元，由题意得 (10m+5n=200, m=15, 解得 所以购 15m+10n=325, n=10. 买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个 乙种品牌毽子需10元. (2)设购买甲种品牌键子x个，则购买乙 种品牌毯子100.15z-(100-名=) 10 ≥(1o0-含小 个.由题意得 解得 <16(1o0-g), 58普≤8：x和(10-号)均 为正整数，∴.当x分别取60,62,64时， (100-三)分别取10,74共有3 种购买方案， (3)设商家获得总利润为y元，则y= 5z+4(100-2）=-x+40.6= 一1<0，y随x的增大而减小，.当 x=60时，y大=-60+400=340.答： 学校购买甲种品牌毽子60个，乙种品牌 毽子10个，商家获得利涧最大，最大利 润是340元. 10.(1)70300[解析]由题图可知，甲 车名小时行驶的路程为(200-180) km,∴.甲车行驶的速度是(200-180) ÷号-70(km/.70×(4+号）-30 (km),填图如下. ·9· yIp (300) 286 M .x/h (2)解：由题图可知E,F的坐标分别为 (停，0,4,180)，设线段EF所在直 线的函数解析式为y=kx十b,则 5 2十b=0,解得 k=120, .线段 b=一300， 4k+b=180, EF所在直线的函数解析式为y= 120x-300. 5 .25 (3)h或3h [解析]由题意知，A, C两地的距离为(4+号)×70=30 (km),乙车行驶的速度为300÷2 70=50(km/h),C,B两地的距离为 50×4=200(km),A,B两地的距离为 300-200=100(km).设两车出发x小 时时，乙车距B地的路程是甲车距B 地路程的3倍，分两种情况：甲、乙相遇 前，200一50x=3(100一70x),解得x= 8;甲、乙相遏后，200-50x=3(70zx 综上，两车出发日h 25 100),解得x= 25 或13 时，乙车距B地的路程是甲车 距B地路程的3倍. 第三节反比例函数及其应用 知识网络 ①反比例 ②x≠0③ab④k ⑤双曲线 ⑥中心 ⑦二、四⑧减小 ⑨增大①(-a,一b)①系数 ②函数解析式 当堂检测 1.B 2.B[解析]，a≤x≤b(b,a为常数，且 b>a>0),当k>0时，函数y=冬图 象在第一象限，y随x的增大而减小，y2= 2炎图象在第四象限，y随x的增大而 装大，心m=会=一 2k, 2=-1 21第二节 一次函数及其应用 知识网络 概念：一般地，如果有y=x十b(k,b为常数，且≠0)，那么y叫x的一次函数.特别地， 当b=① 时，称y是x的正比例函数 k>0 k<0 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 图象 y 米 0*x 经过第一、 经过第一、 经过第一、 经过第 一、 经过第二、 经过第二、 二、三象限 三象限 三、四象限 二、四象限 四象限 三、四象限 y随x的增大而增大 y随x的增大而② 次函数与坐标轴的交点坐标：一次函数y=kx十b(k≠0)与x轴的交点是③ ,与y轴的 次 交点是④ 写出函数解析式的一般形式 把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程（组） 其 确定一次函数解析式→待定系数法 应 解方程或方程组，求出待定系数 将求得的待定系数的值代回所设解析式 1.一元一次方程kx十b=0(k≠0)的根就是一次函数y=kx十b的图象与x轴 交点的⑤ 2.一元一次不等式x十b>0(或x十b<0)(k≠0)，它的獬集可以看作是一次 与一次方程（组）、 函数y=x十b取正值（或负值）时对应⑥ 的取值范围 不等式的关系 3.利用图象法解二元一次方程组时，一般按下列步骤： (1)在同一平面直角坐标系内画出每个一元一次方程所对应的⑦ (2)观察这两条直线是否有交点，如果有，找出交点坐标(a,b) (3)写出方程组的解：⑧ 应用步骤：(1)设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用 函数性质解决问题 基础考点讲练 名师讲解【Q, 典例1(2024·六安模拟) 若m为常数且m<5,则一次函数y=(m-6)x十 7一m的图象可能是 40 第三章函数与图象 【解析】根据一次函数图象的性质进行分析即 11.,15 .11 4t+ 2 <0,y1一y2随t的增大而 可得到答案.m<5,.m-6<0,7-m>0, .一次函数y=(m一6)x十7一m的图象在第 一、二、四象限 减小当1=0时，取得最大值号 【答案】B 方法总结 典例2 本题以同一坐标系中两条直线相交为背景， 如图，在直角坐标系中，点A(2,m)在直线y三 考查了待定系数法和一次函数图象的性质， 解决问题(2)的关键是求出y1一y2的表达 2x- 2上，过点A的直线交y轴于点B(0,3). 式，结合t的取值范围，利用一次函数的性 质求出答案。 典例3(2024·桐城三模) 某体育用品商店第一次购入30个排球和70个 足球，共花费4550元.第二次购入60个排球和 40个足球，共花费4100元.商店将排球和足球 (1)求m的值和直线AB的函数表达式； 分别以50元/个和70元/个的价格出售，前两次 (2)若点P(t,y1)在线段AB上，点Q(t-1,y2) 进货很快销售一空 在直线)=2x一上，求1-：的最大值 (1)求每个排球和足球的进价； (2)该商店准备第三次购入排球和足球共200 5 【解析】(1)将点A(2,m)代入y=2x-号，求 个，根据市场需求，排球的购买个数不少于 40个且不超过100个.购买时生产厂家对排 出m,进而利用待定系数法求出直线AB的函 数表达式.(2)分别用t表示出y1和y2,列出 球进行了优惠，规定购买排球不超过50个 y1一y2与t的函数表达式，利用函数的性质求 时保持原价，超过50个时超过的部分打八 出答案。 折.设第三次进货销售完的总利润为W元（利 润=销售额一成本)，其中购进排球x个 【答案】解：(1)把点A(2,m)代入y=2x一2 ①求W与x的函数关系式 ②商店为了回馈顾客，开展促销活动.将其中 中，得4 ，m=2设直线AB的函数 5 的m(m为正整数)个排球定价为30元/个， 表达式为y=x十6，把A(2,),B(0,3)代入， 3m个足球按50元/个进行销售.若第三次 进货销售完后，获得的最大利润不能低于 3 k=- 3000元，求m的最大值， 得 2k+b= 2’解得 4’.直线AB的函 b=3, b=3, 【解析】(I)设排球的进价为每个a元，足球的 进价为每个b元，根据第一次购入30个排球和 3 数表达式为y= 4x十3. 70个足球共花费4550元、第二次购入60个排 球和40个足球共花费4100元，列出关于a,b (2),点P(t,y1)在线段AB上，.y1= 的二元一次方程组，即可解答 3,且t的取值范围为0≤t≤2.：点Q(t-1,y2) (2)由(1)可知足球和排球的进价，根据总价= 在直线y=2x- 9上，y2=21) 5 单价×数量可列出x在不同取值范围关于W 的解析式，进而解答， y-=-+3-(2-) 9 3 2t- 【答案】解：(1)设排球的进价为每个a元，足 第二节一次函数及其应用 41 球的进价为每个b元，得 130a+106=4550解 当堂检测 60a+40b=4100, a=35, 1.(2024·六安模拟)函数y=x十k和y=ko 得 故排球的进价为每个35元，足球的 b=50, 在同一坐标系中的大致图象是 进价为每个50元. (2)①当40≤x≤50时，W=(50-35)x十(70 50)(200-x)=-5x+4000;当50<x≤100 时，W=50x-[35X50+35×0.8X(x-50)]+ (70-50)(200-x)=2x十3650. 2.若一次函数y=(m一3)x+m+2的图象经过第 1-5x+4000(40≤x≤50)， ∴.W= ·、二、四象限，则m的取值范围是 2x+3650(50<x≤100). A.m<-2 B.m<3 ②当40≤x≤50时，得W=(50-35)(x-m)+ C.-2<m<3 D.m>-2 (30-35)m+(70-50)(200-x-3m)+(50 3.一次函数y=ax+2的图象经过点(1,0).当 50)×3m=-5x+4000-80m..-5<0,∴.W y>0时，x的取值范围是 随x的增大而减小，∴.当x=40时，W的值最 4.(2024·宁夏)在平面直角坐标系中，一条直 大，最大值为-80m+3800,∴.-80m+3800≥ 线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形， 3000,解得m≤10.当50<x≤100时，W= 则该直线的解析式可能为 [50·(x-m)+30m]-[35×50+35× (写出一个即可). 0.8(x-50)]+(70-50)(200-x-3m)+ 5.(2024·池州模拟)某 ↑S/m (50-50)×3m=2x+3650-80m..2>0, 快递车从公司出发， 3n .W随x的增大而增大，∴.当x=100时，W的 2n 到达A驿站，卸完包 值最大，最大值为3850-80m,∴.一80m+ 裹后立即前往B驿 30 40 t/min 3850≥3000，解得m≤10.625..m是正整数， 站，再卸完包裹后按原路返回公司.快递车行 .m的最大值为10. 驶速度恒定，在两个驿站卸包裹的时间一样， 方法总结 快递车到公司的距离S与时间t的关系如图 1.分段函数问题 所示.快递车在每个驿站卸包裹的时间为 分段函数是在不同区间有不同对应方式的 min. 函数，要特别注意自变量取值范围的划分， 6.(2024·广安)如图，直线y=2x十2与x轴、 既要科学合理，又要符合实际 y轴分别相交于点A,B,将△AOB绕点A逆 2.函数的多变量问题 时针方向旋转90°得到△ACD,则点D的坐 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的 标为 关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根 =2x+2 据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数. 3.建立一次函数模型解决实际应用问题时， 需弄清自变量的取值范围，根据一次函数的 增减性确定函数的最大（小）值. 42 第三章函数与图象 安徽十年精选 考点①一次函数的图象和性质 函数表达式y1=k1x十b1,y2=k2x十b2, 1.(2023·安徽)下列函数中，y的值随x值的 y3=3x十b3.分别计算k1十b1,2+b2, 增大而减小的是 k3十b3的值，其中最大的值等于 A.y=x2+1 B.y=-x2+1 考点②一次函数的实际应用 C.y=2x+1 D.y=-2x+1 3.(2021·安徽)某品牌鞋子的长度ycm与鞋 2.(2022·安徽)在同一平面直角坐标系中，一 子的码数x之间满足一次函数关系.若22码 次函数y=ax十a2与y=a2x十a的图象可 鞋子的长度为16cm,44码鞋子的长度为 能是 27cm,则38码鞋子的长度为 A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm 来 【变式训练】 我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售 量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两 【变式训练】 种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可 1.一次函数y=kx一1的函数值y随x的增大 以任选一种方案与公司签订合同.看图解答 而减小，当x=2时，y的值可以是( 下列问题， A.2 B.1 C.-1 D.-2 (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方 2.已知点A(k,b)在如图所示的一次函数图 案付给的报酬一样多； 象上，则一次函数y=x十b的图象不可 (2)求方案二y关于x的函数表达式； 能是 (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如 何指导员工根据自己的生产能力选择 方案？ y/元 方案一 方案二 1200 1000 800 600 400 200 0102030405060x/件 变式训练2 变式训练3 3.在“探索一次函数y=kx十b的系数k,b与 图象的关系”活动中，如图，老师给出了直 角坐标系中的三个点：A(0,2),B(2,3), C(3,1).同学们画出了经过这三个点中每 两个点的一次函数的图象，并得到对应的 第二节一次函数及其应用 43 全国真题汇编 考点①一次函数的图象和性质 5.(2024·扬州)如图，已知一次函数y=kx十b 1.(2024·通辽)如图，在同一平面直角坐标系 (k≠0)的图象分别与x,y轴交于A,B两点， 中，一次函数y=k1x十b1与y=k2x十b2(其 若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx十b= 中k1k1卡0，k1,k2,b1,b2为常数)的图象分别 0的解为 为直线11，l2.下列结论正确的是 ( B A.b1+b2>0 B.b1b2>0 C.k1+k2<0 D.k1k2<0 6.(2024·日照)已知一次函数y1=ax(a≠0)和 x十1，当x≤1时函数y的图象在函数 1 y2= y1的图象上方，则a的取值范围为 7.(2024·北京)在平面直角坐标系xOy中，函 第1题图 第3题图 数y=kx十b(k≠0)与y=一kx+3的图象交 2.(2024·南充)当2≤x≤5时，一次函数y 于点(2,1). (m+1)x+m2+1有最大值6，则实数m的 (1)求k,b的值； 值为 ( (2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y A.-3或0 B.0或1 mx(m≠0)的值既大于函数y=kx十b的 C.-5或-3 D.-5或1 值，也大于函数y=一x十3的值，直接写 3.(2024·辽宁)如图，在平面直角坐标系xOy 出m的取值范围， 中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上， 3 顶点B在直线y= 4x上，若点B的横坐标 是8，则点C的坐标为 ( A.(-1,6) B.(-2,6) C.(-3,6) D.(-4,6) 考点③一次函数的实际应用 考点②一次函数与方程、不等式的关系 8.(2024·山西)生物学研究表明，某种蛇在一 4.(2024·广东)已知不等式kx十b<0的解集 定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的 是x<2,则一次函数y=x+b的图象大 次函数，部分数据如下表所示，则y与x之 致是 间的关系式为 ( 尾长(cm) 6 8 10 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5 C.y=15x D.y=15x+45.5 44 第三章函数与图象 9.(2024·黑龙江龙东地区)为了增强学生的体 10.(2024·牡丹江)一条公路上依次有A,B,C 质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活 三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C 动，需购买甲、乙两种品牌键子.已知购买甲 地；乙车从C地出发，沿公路驶向B地.甲、 种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需 乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌 时到达目的地，甲、乙两车之间的 毽子10个共需325元. (1)购买一个甲种品牌键子和一个乙种品牌 y(km)与两车行驶时间x(h)的函数关系如 键子各需要多少元？ 图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (2)若购买甲乙两种品牌键子共花费1000元， (1)甲车行驶的速度是 km/h,并在 甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌键子 图中括号内填上正确的数； 数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量 (2)求图中线段EF所在直线的函数解析式 的16倍，则有几种购买方案？ (不要求写出自变量的取值范围)； (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是 (3)请直接写出两车出发多少小时时，乙车 5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是 距B地的路程是甲车距B地路程的 4元，在(2)的条件下，学校如何购买键子 3倍. 商家获得利润最大？最大利润是多少元？ y/km D 200外- M 180--- E 52 x/h 第二节一次函数及其应用 45