20.2.2 勾股定理及其逆定理的综合应用课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 20.2.2 勾股定理及其逆定理的综合应用 第二十章 勾股定理 授课教师： Home . 班 级： . 时 间：2026年01月19日 . 新疆吐鲁番市托克逊县第一中学 1 李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺． （1）你能替他想办法完成任务吗？ 连接对角线AC，BD，只要分别量出AB，BC，AC，AD和BD的长度即可． 若AB2＋BC2＝AC2， 则△ABC为直角三角形． 同理可得到△ABD为直角三角形． 合 作 探 究 （2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm． AD边垂直于AB边吗？ 解：因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500＝BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A＝90°． 所以AD边垂直于AB边． 合 作 探 究 （3）小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？ 当刻度尺较短时，有很多办法， 如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度， 或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边， 从而可根据勾股定理的逆定理得到结论． 合 作 探 究 返回 不垂直 1. 一根电线杆高12 m，为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5 m处之间加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13．2 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面________(填“垂直”或“不垂直”)． 中考考法 5 数学思想 实际问题 数学问题 转化 建模 合 作 探 究 例1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里． 如果知道“远航” 号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个方向航行吗？ 合 作 探 究 解：根据题意， PQ＝16×1.5＝24， PR＝12×1.5＝18 ， QR＝30 ． ∵ 242＋182＝302， 即PQ2＋PR2＝QR2， ∴ ∠QPR＝90°， 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1＝45°． 因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 合 作 探 究 返回 2. A [教材P36例2变式][2025广州期中]如图，某港口C在南北方向的海岸线上，甲、乙两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向匀速航行，已知甲、乙两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道甲船沿北偏西50°方向航行，那么乙船航行的方向为(　　) A．南偏西40° B．北偏西40° C．南偏西50° D．北偏西50° 中考考法 如何有效解决实际问题： 1．构建对应几何图形． 2．标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求． 3．应用数学知识解决问题． 合 作 探 究 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AD= ,DC= .如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由， A B D C 解：因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°. 在Rt△ABC中,根据勾股定理， AC²=AB²-BC²=5²-3²=16.所以AC=4. 在△ACD中， AC²+AD²=4²+（）²=，CD=（）²= , 所以AC²+AD²=CD². 因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD. 合 作 探 究 勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反．勾股定理是直角三角形的性质，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化． 合 作 探 究 如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3 m，BC＝4 m，∠ABC＝90°，AD＝12 m，CD＝13 m，学校欲在此空地上铺草坪，已知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这块空地共需花费多少元． 合 作 探 究 解：如图，连接AC，在Rt△ABC中， ∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25， ∴AC＝5 m． ∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169， ∴AC2＋AD2＝CD2， ∴∠CAD＝90°， 该区域面积＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2）， 铺满这块空地共需花费24×80＝1 920（元）． 答：用草坪铺满这块空地共需花费1 920元． 合 作 探 究 3. (12分)如图，社区有一块面积为500 m2的正方形空地ACDE，空地的B处有一个凉亭，BC，AB为两条小路，现在△ABC内种植月季花，其余地方种植郁金香(小路的宽度不计)，测得AB＝10 m，BC＝20 m． (1)求正方形空地的边CD的长； 中考考法 解：∵AB＝10 m，BC＝20 m， ∴AB2＝100，BC2＝400， ∵AC2＝CD2＝500， ∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°. (2)求∠ABC的度数； 中考考法 16 (3)求郁金香的种植面积． 返回 中考考法 17 返回 4. C 如图，若AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AC边上的中线BD的长为(　　) 中考考法 返回 5. 90° 中考考法 返回 6. 如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AC＝4，CD＝3，AD＝5，则AB的长为________． 中考考法 7. 中考考法 返回 中考考法 返回 8. B 如图，某校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　) A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2 中考考法 返回 9. A 中考考法 24 10. (8分)[2025台州期中]某市夏季经常会出现台风天气，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为AC＝300 km，BC＝400 km，且AB＝500 km．根据实测数据，在台风中心半径260 km范围内的地区会受到台风影响． 中考考法 25 (1)海港C受台风影响吗？为什么？ 中考考法 26 (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续 8 h，求台风中心的移动速度． 返回 中考考法 27 实际问题 抽象 数学模型 勾股定理及其逆定理 答案 实际意义 课 堂 总 结 解：∵正方形ACDE的面积为500 m2， ∴CD2＝500，∴CD＝10 m. 解：由(2)知∠ABC＝90°， ∴△ABC为直角三角形， ∴S△ABC＝AB·BC＝×10×20＝100(m2)， ∴郁金香的种植面积为500－100＝400(m2)． A．5 B．4 C．2 D．2 如图是一个零件的平面示意图，经测量，∠ACB＝90°，AB＝5 ，BC＝5，CD＝6，AD＝8，则∠D＝________． 4 (4分)如图，在四边形ABDE中，C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4， AE＝．求证：∠ACE＝90°． 证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2， ∴AC＝＝＝. 在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4， ∴CE＝＝＝2 . ∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65， ∴AE2＝AC2＋CE2， ∴△ACE是直角三角形，AE是斜边， ∴∠ACE＝90°. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，垂足分别为M，N，若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为(　　) A． B． C． D．3 解：海港C受台风影响． 理由如下：如图①，过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝240 km. ∵240 km<260 km，∴海港C受台风影响． 解：如图②，设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港．由题意，得CE＝CF＝260 km. ∵CD＝240 km，CD⊥AB，∴ED＝FD＝＝100 km， ∴EF＝2ED＝200 km.又∵受台风影响持续8 h， ∴移动速度为＝25(km/h)． 答：台风中心的移动速度为25 km/h. $