第4卷 任意角的三角函数及诱导公式（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第4卷 任意角的三角函数及诱导公式 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 5．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【真题精讲】 考点01 诱导公式 1.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 考点02 同角三角函数的基本关系 3.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1.（2022·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. B. C. D. 2.（2021·内蒙古·真题T06）下列说法正确的是（ ） A. 第二象限的角大于第一象限的角 B. 终边在直线上的角的集合为 C. 角与是相等的角 D. 的角是第三象限角 3．（24-25高三上·四川德阳·一模）已知角的终边经过点，且，则m等于（    ） A． B．3 C． D． 4．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）（    ） A． B． C． D． 5．，，则角a的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知，，则（      ） A． B． C． D．不确定 7．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知， 且， 则（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知，则 . 10.（2021·内蒙古·真题T19）已知，且，求： （1）的值； （2）的值. 【拓展提升】 一、单选题 1．（24-25高三下·内蒙古·一模）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若，则角A所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一或第三象限 C．第三象限 D．第三或第四象限 3．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，则（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知角的终边上有点，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）设，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·贵州·职教高考）下列三角函数值为正值的有（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，且，则 ． 9．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则 . 三、解答题 10．（23-24高三下·云南·职教高考）化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第4卷 任意角的三角函数及诱导公式 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 5．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【真题精讲】 考点01 诱导公式 1.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 2.（2024·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求出的值，再由的范围和特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】已知， 所以，所以为象限角第二或者第三象限角， 即， ， 则时，；时，； 即， 故选：B. 考点02 同角三角函数的基本关系 3.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由方程有两个相等的实数根求解判别式，再由与的关系求解即可. 【详解】因为方程有两个相等的实数根， 所以有， 即，所以有， 因为，所以， 所以，即， ， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 【举一反三】 1.（2022·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据诱导公式求出，进而求解的值，即可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以. 故选:C. 2.（2021·内蒙古·真题T06）下列说法正确的是（ ） A. 第二象限的角大于第一象限的角 B. 终边在直线上的角的集合为 C. 角与是相等的角 D. 的角是第三象限角 【答案】D 【解析】 【分析】根据象限角的定义、终边相同的角的集合逐一判断即可. 【详解】对A，因为是第二象限角，是第一象限角，且，故A错误. 对B，终边在直线上的角的集合为，故B错误. 对C，当时，角与角是终边相同的角，不是相等角，故C错误. 对D，因为角，所以是第三象限角，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高三上·四川德阳·一模）已知角的终边经过点，且，则m等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义易得答案. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以， 所以， 所以，所以， 解得. 故选：B. 4．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：. 5．，，则角a的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据三角函数的符号确定象限即可. 【详解】由得，角a的终边在第三，四象限，或在轴负半轴， 由得，角a的终边在第一，三象限， 所以角a的终边在第三象限， 故选：C. 6．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知，，则（      ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据诱导公式进行化简，再由已知角的范围求出角即可解得. 【详解】由题，， 则，故. 故选：A 7．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知， 且， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切差角公式化简求值，然后根据所给范围求角即可. 【详解】因为， 则， 因为，，所以， 综上； 故选：B. 8．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据诱导公式求出，进而求解的值，即可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以. 故选:C. 9．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知，则 . 【答案】 【分析】根据正弦余弦和正切的关系，即可求解. 【详解】由题，上下同时除以可得 ，解得. 故答案为:. 10.（2021·内蒙古·真题T19）已知，且，求： （1）的值; （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由已知求解的值，再由两角差的正切公式计算即可. （2）先由将整式化分式，再由分子分母同除构造即可求解. 【小问1详解】 因为， 可得，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以 . 【拓展提升】 一、单选题 1．（24-25高三下·内蒙古·一模）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：B. 2．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若，则角A所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一或第三象限 C．第三象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和角度的正余弦值的符号即可求解. 【详解】根据二倍角公式可知，所以根据， 所以，所以角A在第三象限. 故选：C. 3．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合三角函数在各象限的符号，及同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】因为，， 所以是第四象限角， 所以. 故选：B. 4．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简出，再代数求值. 【详解】， ， ， ， ， . 故选:C. 5．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知角的终边上有点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由诱导公式化简余弦值，再由角的终边过点即可求解. 【详解】因为角的终边上有点， 所以， 所以， 所以. 故选:A. 6．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由同角三角函数关系求出，再利用诱导公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 故选：A. 7．（24-25高三下·贵州·职教高考）下列三角函数值为正值的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用诱导公式，再根据角所在的象限，判断三角函数值的正负. 【详解】A. . 由于在第一象限，因此为正值，从而为负值， B. 由于， 位于第一象限，因此为正值，从而为负值. C. 由于， 由于，因此为正值. D.. 由于位于第一象限，因此其正弦值为正，从而为负. 故选：C. 二、填空题 8．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，且，则 ． 【答案】/ 【分析】先判断得，再利用三角函数的平方关系式，化简求值即可. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以. 故答案为：. 9．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据诱导公式化简，再由同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】由，可得， 因为，所以， 则， 故答案为：. 三、解答题 10．（23-24高三下·云南·职教高考）化简：． 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数基本关系式进行化简即可得解. 【详解】原式， 所以原式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $