第6卷 三角函数的图像与性质（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第6卷 三角函数的图像与性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一） 正弦函数的图像与性质 1. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． 2. “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 3. 正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 （二） 余弦函数的图像与性质 1. “五点法”作图法作余弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 2.余弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 3. 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． 4．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【真题精讲】 考点01 三角函数的图象与性质 1.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 2.（2024·内蒙古·真题T16） 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 3.（2023·内蒙古·真题T18）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为 . 【举一反三】 1．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）函数的最小正周期为（      ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·青海·对口/高职单招）函数的定义域是（      ） A．全体实数 B． C． D． 4．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）已知函数，则函数（      ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 5．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）函数的最小正周期为 . 6．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数 图像向左平移单位长度得到图像，则= . 7．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数（）的图象如图所示，则 ． 8．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度所得的图像经过点，则的值为 . 9．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数的图像向左平移4个单位，得到的图像所对应的函数解析式是 . 10．已知函数. (1)求此函数的最小正周期； (2)当x取何值时，有最大值?最大值为多少? 【拓展提升】 1．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（23-24高三·山东临沂·二模）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）若2，则实数a的取值范围是 . 4．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）函数的周期为 ． 5．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）函数取得最大值时，x的取值集合为 . 6．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）若函数，且，则的最大值为 . 7．（25-26高三·江西·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 8．（24-25高三上·重庆南岸·模拟预测）已知函数 (1)求的值； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间. 9．（23-24高三·山东临沂·二模）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间． 10．（21-22高三下·山东·模拟预测）已知函数． (1)求的最小正周期及函数的单调递减区间； (2)设，求的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第6卷 三角函数的图像与性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 （一） 正弦函数的图像与性质 1. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． 2. “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 3. 正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 （二） 余弦函数的图像与性质 1. “五点法”作图法作余弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 2.余弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 3. 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． 4．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【真题精讲】 考点01 三角函数的图象与性质 1.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合图像的平移变化规律即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 则， 所以，因为， 所以， 故答案为：. 2.（2024·内蒙古·真题T16） 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 【答案】 【解析】 【分析】连接，分别得出的长，再由余弦定理求值即可. 【详解】已知此人步行速度为每分钟米， 所以，， 其中， 因为，所以， 连接， ， 所以. 则该扇形的半径为， 故答案为：. 3.（2023·内蒙古·真题T18）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为 . 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期，最值性质求解即可. 【详解】不妨设函数解析式为：，. 由图可知，该函数最小正周期为， 即，解得， 且该函数值域为，则， 当时，，则有， 则，即. 则函数解析式为：. 故答案为：. 【举一反三】 1．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数与正切函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知在为增函数， 因为，所以，即， 已知在为增函数， 因为，所以，即， 所以， 故选：A. 2．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）函数的最小正周期为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入余弦型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由可知，函数最小正周期为. 故选：. 3．（24-25高三下·青海·对口/高职单招）函数的定义域是（      ） A．全体实数 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的定义域即可得解． 【详解】函数的定义域是． 故选：B． 4．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）已知函数，则函数（      ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】根据角的范围，结合正弦函数的单调性判断各选项． 【详解】令，． 当时，，此时单调递减， 则在上单调递减，故A正确； 当时，， 当时，单调递减，即当时，在单调递减； 当时，单调递增，当时，在单调递增，故B错误； 当时，， 当时，单调递减，即当时，在单调递减； 当时，单调递增，当时，在单调递增，故C错误； 当时，， 当时，单调递增，即当时，在单调递增； 当时，单调递减，当时，在单调递减，故D错误， 故选：A． 5．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式把函数的解析式化为，从而求得它的最小正周期． 【详解】∵函数， ∴函数的最小正周期为. 故答案为：． 6．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数 图像向左平移单位长度得到图像，则= . 【答案】 【分析】利用函数的图象变换规律，诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】将函数 图像向左平移单位长度得到. 则. 故答案为：. 7．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数（）的图象如图所示，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦型函数的图像求解解析式，进而得到函数值. 【详解】因为.所以.解得. 又. 所以. 所以. 所以. 故答案为：. 8．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度所得的图像经过点，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合余弦型函数图像的变换规律，先求出平移以后的函数解析式，将已知点代入，即可求解. 【详解】由题意，将函数的图像向左平移个单位长度得到 , 又函数的图像经过点， 所以. 故答案为：. 9．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）将函数的图像向左平移4个单位，得到的图像所对应的函数解析式是 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数的图象平移即可求解. 【详解】因为函数的图像向左平移4个单位得到，即. 故答案为：. 10．已知函数. (1)求此函数的最小正周期； (2)当x取何值时，有最大值?最大值为多少? 【答案】(1). (2)，时，有最大值为. 【分析】（1）由二倍角公式，两角和差公式及最小正周期公式即可得解. （）由正弦型函数的最值即可得解. 【详解】（1）函数 . 所以函数的最小正周期为. （2）当，. 即，时，y有最大值，最大值为. 【拓展提升】 1．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的值域即可确定最值. 【详解】因为， 则， 所以的最大值为3， 故选：C. 2．（23-24高三·山东临沂·二模）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先整理式子为，求出其取值范围，即可求出的取值范围. 【详解】因为 令， 则， 又因为， 所以. 即， 所以. 故选：C. 3．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）若2，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】由题意，. 因为. 所以. 所以. 所以. 即实数的取值范围是. 故答案为： 4．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）函数的周期为 ． 【答案】/ 【分析】由三角函数的周期公式求解. 【详解】函数的周期为. 故答案为：. 5．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）函数取得最大值时，x的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的最值对应的值求解即可. 【详解】函数取得最大值时,取得最小值. 取得最小值时，. 故函数取得最大值时，x的取值集合为. 故答案为：. 6．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）若函数，且，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】把已知函数化简可得，然后结合正弦函数的性质求解最大值． 【详解】， ∵，， ∴当，即时，有最大值2． 故答案为：2． 7．（25-26高三·江西·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，再根据三角函数的性质求解周期； （2）根据三角函数的性质求解值域． 【详解】（1）， 所以的最小正周期为； （2），，， ，即的值域为. 8．（24-25高三上·重庆南岸·模拟预测）已知函数 (1)求的值； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入，求值，即可. （2）化简后，根据正弦型函数图像及性质，即可求解. 【详解】（1）， . （2）， ， ， ， 的最小正周期， 令，则， 所以的单调递增区间是. 9．（23-24高三·山东临沂·二模）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间． 【答案】(1). (2),. 【分析】（）由二倍角公式及两角和差公式即可得解. （）由正弦型函数的单调区间的即可得解. 【详解】（1）. . 所以函数的最小正周期为. （2）. 所以. 解得. 所以单调增区间为,. 10．（21-22高三下·山东·模拟预测）已知函数． (1)求的最小正周期及函数的单调递减区间； (2)设，求的值域． 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式以及正弦型函数单调区间的求法即可求解. （2）由正弦型函数值域的求法即可求解. 【详解】（1）， 的最小正周期为，                          令， 即，， 得到，，                              函数的单调递减区间为. （2），，              根据正弦函数的性质可知，时，， 时，， ，即， 当时，函数的值域为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $