第5卷 三角恒等变换（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 三角恒等变换 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 2．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 3．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 5．公式的逆用、变形等 （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 【真题精讲】 考点01 二倍角公式 1.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 考点02 两角和与差公式 3.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 4.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为 . 【举一反三】 1．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知， 且， 则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）求值： （ ） A． B． C． D． 3．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若，则角A所在的象限是（ ） A．第二象限 B．第一或第三象限 C．第三象限 D．第三或第四象限 5．若，，则（ ） A． B． C． D． 6．（20-21高三·河北·对口/高职单招）下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．tan22tan 7．（19-20高三·河北·对口/高职单招）计算： . 8.（2021·内蒙古·真题T19）已知，且，求： （1）的值； （2）的值. 9．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，且，. (1)求的值； (2)求的值. 10．已知求下列各式的值. (1) (2) 11．（22-23高三下·天津·职教高考）已知，且是第二象限的角．求： (1)的值； (2)及的值； (3)求的值． 【拓展提升】 1.（2021·内蒙古·真题10）在中，已知，则形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 2．（19-20高三·云南·对口/高职单招）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（20-21高三·云南·对口/高职单招）（ ） A． B． C． D． 4．（2021高三·江西·职教高考）已知，则（ ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）若，则 . 6．（23-24高三·河南·对口/高职单招）的值为 . 7（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 8．（24-25高三下·内蒙古·一模）若，是第二象限的角，，是第三象限的角.求以及值. 9．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）在中，A为锐角，且． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 10．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 三角恒等变换 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 2．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 3．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 5．公式的逆用、变形等 （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 【真题精讲】 考点01 二倍角公式 1.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 2.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 由，且， 得， 由正弦定理， 即. 【小问2详解】 ， ， 所以 . 考点02 两角和与差公式 3.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【小问1详解】 在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 ，则， 则. 4.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】把已知函数化简可得，然后结合正弦函数的性质求解最大值． 详解】， ∵，， ∴当，即时，有最大值2． 故答案为：2 【举一反三】 1．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知， 且， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切差角公式化简求值，然后根据所给范围求角即可. 【详解】因为， 则， 因为，，所以， 综上； 故选：B. 2．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）求值： （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的正弦公式，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由题意得， . 故选：A. 3．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合两角差的正弦公式、同角三角函数的平方关系、正弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 两边平方得， 所以. 故选：C. 4．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若，则角A所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一或第三象限 C．第三象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和角度的正余弦值的符号即可求解. 【详解】根据二倍角公式可知，所以根据， 所以，所以角A在第三象限. 故选：C. 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】所求未知角用已知角表示,再利用两角差正切公式易得答案. 【详解】由题意得. 故选:A. 6．（20-21高三·河北·对口/高职单招）下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．tan22tan 【答案】B 【分析】根据两角和与差的正弦公式，诱导公式，二倍角的正切公式即可求解. 【详解】对A，由两角和与差的正弦公式可得， . 所以A错误. 对B，由诱导公式可得， . 所以B正确. 对C，由诱导公式可得， . 所以C错误. 对D，由二倍角的正切公式可得， . 所以D错误. 故选：B. 7．（19-20高三·河北·对口/高职单招）计算： ． 【答案】 【分析】利用两角和差的正切公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 8.（2021·内蒙古·真题T19）已知，且，求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由已知求解的值，再由两角差的正切公式计算即可. （2）先由将整式化分式，再由分子分母同除构造即可求解. 【小问1详解】 因为， 可得，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以 . 9．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系式依次求得，再利用正切函数的倍角公式即可得解； （2）利用三角函数的基本关系式求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 则， 所以. （2）因为，所以 又，所以， 所以. 10．已知求下列各式的值. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解. （2）根据二倍角公式求解. 【详解】（1）∵ ∴, . （2）∵， ， ∴. 11．（22-23高三下·天津·职教高考）已知，且是第二象限的角．求： (1)的值； (2)及的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系式即可求解； （2）根据二倍角公式即可求解； （3）根据两角和与差的正弦公式即可求解. 【详解】（1）因为是第二象限的角，所以， 又因为，所以. （2）由（1）可知，， 所以， . （3）由（1）可知，， 所以. 【拓展提升】 1.（2021·内蒙古·真题10）在中，已知，则形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理的边化角，再结合两角差的正弦公式化简，进而求解即可. 【详解】由正弦定理可知. 因为 所以 因为和是三角形的内角. 所以即. 则为等腰三角形. 故选：A. 2．（19-20高三·云南·对口/高职单招）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式及余弦的二倍角公式化简计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3．（20-21高三·云南·对口/高职单招）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为. 故选：C. 4．（2021高三·江西·职教高考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以有， 解得. 故选:D. 5．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）若，则 . 【答案】 【分析】根据正余弦齐次式和余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高三·河南·对口/高职单招）的值为 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数半角公式和诱导公式计算. 【详解】根据三角函数的半角公式可知，， 故. 根据诱导公式可知，. 故答案为：. 7（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用二倍角公式求解； （2）由正弦定理求解. 【详解】（1）因为，所以，则． 又因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理， 得． 8．（24-25高三下·内蒙古·一模）若，是第二象限的角，，是第三象限的角.求以及值. 【答案】； 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，先求出的值，结合两角和的正弦公式和余弦公式，即可代入求解. 【详解】因为，是第二象限的角， 所以， 因为，是第三象限的角， 所以， 所以； . 9．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）在中，A为锐角，且． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式求，然后利用余弦定理可求； （2）利用正切的和差角公式结合诱导公式、三角形内角和为进行化简求值即可. 【详解】（1）因为，且A为锐角，则， ； 则的长为. （2）因为，，则， 因为， 则， 因为， 则， 则. 10．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的平方关系、正切函数的定义以及两角和的正弦公式求解即可. （2）根据三角函数的平方关系、再分子分母同时除以，根据（1）中的结果求解即可. 【详解】（1），， ，且， ，， ， . （2） . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $