第3卷 指数函数与对数函数（教师讲解卷） 内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第3卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 二、对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 【真题精讲】 考点01 指数函数与对数函数的运算法则 1.（2025·内蒙古·真题T03）已知函数，且，若，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件列出等式，再进行计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 因为，所以，解得. 因为，所以，进而. 故选：C. 2.（2024·内蒙古·真题T13） 已知函数，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合对数函数的定义域、对数的运算及函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为函数，所以， 此不等式等价于，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数， 又，所以. 故答案为：. 考点02 指数函数与对数函数的图象与性质 3.（2025·内蒙古·真题T13）已知函数，且，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由指数幂的运算法则，代入计算即可. 【详解】函数，且， ，则， . 故答案为：. 4.（2024·内蒙古·真题T03）若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的定义可得列式求出a的值，由此可得函数的解析式即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以得，解得， 所以．则. 故选：D. 5.（2023·内蒙古·真题T03） 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与幂函数单调性，结合特值依次判断即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，即，， 因为，， 所以，即. 所以. 故选：D 6.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，所以在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 又因为最大值与最小值之差为， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 【举一反三】 一、单选题 1．已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 【答案】C 【分析】由对数式与指数式的互化，得到，进而求出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 2．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数指数幂的运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）由正数构成的等比数列中 ，，则（     ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质结合对数的运算法则计算即可. 【详解】在等比数列中，， 则， 则 ， 故选：C. 二、填空题 4.（2022·内蒙古·真题T14）若，， ． 【答案】 【解析】 【分析】由对数定义及指数的运算即可得解. 【详解】，. 所以. 故答案为：. 5．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测） ． 【答案】 【分析】根据指对数的运算即可求解. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 6．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据指数函数，对数函数的概念代数求解. 【详解】∵， ∴， ， ， ， . 故答案为:. 7．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）若函数，则的值为 ． 【答案】17 【分析】根据题意，结合对数函数求函数值，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故答案为：17. 8．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用换底公式可将原式对数的底数都换成以9为底的对数，再根据对数的运算性质进行运算即可. 【详解】===， 故答案为：. 三、解答题 9．（24-25高三下·重庆·职教高考）若函数的图像过点． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递减 【分析】（1）将点代入解析式中列方程求解即可. （2）首先由对数的运算法则化简，再根据对数函数的单调性判断即可. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 则有，即，所以. （2）由（1）可得，， 则， 其中底数，所以函数在上单调递减. 10．（24-25高三下·河南·职教高考）已知函数. (1)判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. (2)若函数的定义域为，求的取值范围. 【答案】(1)存在使函数为偶函数，此时函数的值域是 (2) 【分析】（）根据偶函数的定义得出即可得出函数解析式，根据复合型对数函数的性质即可得解. （）根据对数函数的定义域为，可得恒成立，利用判别式即可得解. 【详解】（1）若函数为偶函数，则恒成立， 即，根据对数函数性质可得， 化简得对任意恒成立，所以， 此时，因为，所以， 所以函数的定义域为，且为增函数， 所以，所以函数的值域是. （2）因为函数的定义域为， 所以恒成立， 则二次函数的图像恒在轴上方，即， 展开得，即，因式分解得， 解得， 所以的取值范围. 【拓展提升】 一、单选题 1．计算的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据对数的运算规则，即可求解. 【详解】， 故选：B 2．（23-24高三下·四川·职教高考）已知，，，则之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上为增函数， 且，，， 其中， 所以， 即. 故选：D. 3．（24-25高三下·吉林·职教高考）已知，，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】∵在上单调递减， ∴，，又， ∴. 故选：C. 4．（25-26高三上·四川·一模）函数与在同一直角坐标系中的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数、指数函数的图像求解即可. 【详解】函数的图像经过第一、三象限，为减函数且图像经过第一、二象限. 故选：C. 5．（25-26高三上·四川·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数特性初判的范围，再对同一范围内的，通过对数运算化为相同的底数后再比较即可. 【详解】由于，即， ，即， ，即， 继续比较， ， 所以. 故选：B 6．（24-25高三上·四川·一模）若是方程的两个实根，则的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【分析】根据题意，由韦达定理列式即可求解. 【详解】∵是方程的两个实根， ∴， 即， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】利用偶次根号下大于等于零、分母不为零、真数大于零求定义域即可. 【详解】要使函数有意义，只需， 解得， ，解得， ，解得， 综上函数的定义域是； 故答案为：. 8．（23-24高三·内蒙古通辽·一模） . 【答案】 【分析】根据指数的计算和利用对数的运算法则化简求值易得答案. 【详解】由题意得. 故答案为:. 三、解答题 9．（25-26高三上·四川·一模）已知函数的图像经过点． (1)求a的值及的定义域； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，将点代入函数解析式，结合对数的运算，即可求得的值，继而求得函数解析式，结合对数式有意义需满足的条件，即可求得函数的定义域； （2）根据题意，结合对数函数的单调性，及二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）因为函数的图像经过点， 所以， ，得到， 所以，解得， 故， 所以，解得， 即函数的定义域是. （2）由（1）得， 又，即， 所以， 因为在定义域上是增函数， 所以，即， 方程的根为, 解得，又， 所以， 即不等式的解集为. 10．（23-24高三上·四川·一模）已知指数函数（且）的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入指数函数即可求解. （2）根据是增函数，可将题给不等式化为，求解即可. 【详解】（1）因为指数函数（且）的图像经过点， 所以，所以， 所以. （2）因为在R上是增函数，且不等式， 所以， 即，解得或， 所以x的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第3卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 二、对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 【真题精讲】 考点01 指数函数与对数函数的运算法则 1.（2025·内蒙古·真题T03）已知函数，且，若，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 2.（2024·内蒙古·真题T13） 已知函数，若，则_________. 考点02 指数函数与对数函数的图象与性质 3.（2025·内蒙古·真题T13）已知函数，且，若，则__________. 4.（2024·内蒙古·真题T03）若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5.（2023·内蒙古·真题T03） 若，则下列各不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6.（2023·内蒙古·真题T04）设，若在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【举一反三】 一、单选题 1．已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 2．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）由正数构成的等比数列中 ，，则（     ） A．5 B． C． D． 二、填空题 4.（2022·内蒙古·真题T14）若，， ． 5．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测） ． 6．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）已知函数，则 ． 7．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）若函数，则的值为 ． 8．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知，，则 . 三、解答题 9．（24-25高三下·重庆·职教高考）若函数的图像过点． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性． 10．（24-25高三下·河南·职教高考）已知函数. (1)判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. (2)若函数的定义域为，求的取值范围. 【拓展提升】 一、单选题 1．计算的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高三下·四川·职教高考）已知，，，则之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·吉林·职教高考）已知，，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川·一模）函数与在同一直角坐标系中的大致图像是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川·一模）若是方程的两个实根，则的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 二、填空题 7．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）函数的定义域是 . 8．（23-24高三·内蒙古通辽·一模） . 三、解答题 9．（25-26高三上·四川·一模）已知函数的图像经过点． (1)求a的值及的定义域； (2)求关于x的不等式的解集． 10．（23-24高三上·四川·一模）已知指数函数（且）的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $